Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 25
Текст из файла (страница 25)
если существует 6)0, такое, что для любой функции х( )енКС'([1ы 1,], й"), х(1,)=хы х(1,)=х„для которой 11х(.)— — х( )Цпи. ач(6 выполняется неравенство 2'(х(.))». > 9'(2( )). Поскольку множество функций, среди которых доставляется сильный экстремум, шире, чем для слабого экстремума, то если функция х( )енС'([(ы 1,], К") доставляет сильный, то она доставляет и слабый экстремум. Поэтому для таких функций необходимое условие слабого экстремума является необходимым условием сильного, а достаточное условие сильного экстремума является достаточным условием слабого.
Приведем пример задачи, в которой допустимая экстремаль доставляет слабый локальный минимум, но не доставляет сильного. 127 ! Пример. оУ (х ( ! )) = ~ хо!(/ -»1п1; х(0) = О, х (1) = 1. Уравнение о Эйлера: — Зх'=0 оо Зх'= С »ах= сапой и Общее решение: х(/)=С!/+Сь Единственная допустимая экстремаль: х(/) =й Покажем, что экстремаль доставляет слабый локальный минимум. Действительно, пусть /!( )а=Со'([О, 1]), Тогда ! ! ! оу(х( )+/о( )) — 'У(х( ))=~(1+А)о!(/ — ~ Ш=~/!о(3+/!)й. о о о Отсюда видно, что если Ц/!( )Ц!(3, то 3+6(!))О и, значит, .9'(х( )+/1( ) ) = 5'(х( ) ), т. е. х( ) ~1осш(п.
Покажем, что х( ) не доставляет сильного экстремума. Рассмотрим последовательность функций — 7 и, / Е= [О, 1/и), О, /ы[1/п, 1/2[, /1„(/)=) д„(т)Нт, п)2. о 2/1/и, / ен (1/2, 1[; й (!) = 128 Легко понять, что й„( )~У(Со!([О, Ц) и Цй,( )Цо-»О при и-» оо. Положим х,( ) =Х( )+/!л(.). Получим последователь- ность допустимых (в задаче на сильный экстремум) функций Цх ( )), х„(.) -Я(.) в С([0, 11) и ! ! ! ! оУ(х„( ))=~(1+6„)оШ=~(1+у )ой=1+3~уз!(/+~уЧ/= о, о о о !!л ! 112 8 -=1-1 ~' (Зп — пз/г),(/-~- ~ ' — -~-=' (/= — ~/и-(-О(1) -» — д~ л лотл ) о !!2 при п-»оо, т. е.
5 !,= — оо и функция Я( ) не доставляет силь- ного локального минимума. В дальнейшем нам придется использовать следующий ре- зультат. Л ем м а о округлении углов. Если функция Е(г, х, х) мелрерывна по совокупности аргументов, та !п(оУ(х( )) = 1п(оУ(х( )), х(.) =КС ([(„(,)) х(.)~С ([/„/,[), х(/о)=хо х(/!)=х! х(/о)=хо. х(/!)=х! [АТФ, с. 69). Еще некоторые определения. Пусть в простейшей задаче (з) классического вариационното исчисления х(.)енС~([го, (1), )(") — некоторая фиксированная экстремаль, т.
е. на х( ) удовлетворяетсд уравнение Эйлера. Далее предполагаем, что интегрант Ь по меньшей мере дважды непрерывно дпффсренцируем в некоторой окрестности траектории х( ). Говорим, что на х( ) выполнено условие Лежандра, если Ь„;(() >О Чан[1о, Ц и усиленное условие Лежандра, если С.;„Р) ~0 У( [(„г,1. При наших допущениях относительно гладкости интегранта Ь функционал У имеет вторую производную в точке х(.) следующего вида д"(х( ))Ей( ),Ь( )1=Х(Ь(.))=~Я „К й)+ + 2 (Т 'И, Ь) + (1.„„Ь, Ь)) Ш, где Пусть далее Е"( ), 1, ( ), Ь,„( )енС'([го, (1), й")ивыполненоусиленное условие Лежандра. Уравнение Эйлера для функционала Л", т.
е. уравнение — — „', (Е;о(г)Ь(()+Е.„(г)й(~))+Х„(Г)Ь(г)+Е„,(()й(()=0, называется уравнением Якоби для исходной задачи на экстре- мали х(-). Пусть на х(. ) выполнено усиленное условие Лежандра. Точка т называется сопряженной к точке (о, если существует иетриииальное решение й( ) уравнения Якоби, для которого й(~о)=й(т)=0.
Говорят, что на х(.) выполнено условие Якоби, если в интервале (го, 11) нет точек, сопряженнмх с 1о, и усиленное условие Якоби, если в полуинтервале ((о, г1) нет точек, сопряженных с 1о. Уравнение Якоби — линейное уравнение второго порядка, которое (из-за усиленного условия Лежандра) можно разрешить относительно второй производной.
Пусть Н(т, 1о) — матричное решение уравнения Якоби с условиями Н((о, (о)=0, Н((о, (о) невырождена (обычно полагают Н((о, (о) =1). Очевидно, что точка т — сопряженная к го тогда и только тогда, ког.да матрица Н(т, Го) является вырожденной. Это дает аналитическое средство находить сопряженные точки. 129 .5 зак.
7 Пусть 1: К"-~-1ч — дифференцируемая функция и перемен. ' иых. Функцию 8 (х, х') = ~ (х') — 1(х) — (Г' (х), х' — х) (1) назовем функцией Вейерштрасса, соответствующей ). Геомет рический смысл 4 таков: 4 (х, х') — разность в точке х' между значением 1 и значением аффинной функции, касательной к графику ) в точке х. Отсюда ясно, что если 1 выпукла, то а (х,х') > О т'х, х''еи 11". Можно показать, что верно и обратное. Если функция х-~-Е(1, х, х) выпукла в некоторой окрестности множества У=((Г, х(1)) ~~ен[Гы (,Ц, то говорят, что инте- грант Е квазирегулярен на экстремали х( ), если строго вы пукла, то регулярен на х(.). Пусть Š— интегрант функционала 5' простейшей задачи классического вариационного исчисления.
Функция а (г, х, х, и) =Ь(1, х, и) — Е(1, х, х) — Е. (1, х, х) (и — х) (1') называется функцией Вейерштрасса функционала Э'. Из сопоставления (1) и (У) видно, что 4(1, х,, ) — функция Вейерштрасса функции х- Е(1, х, х), где 1, х играют роль параметров. Из сказанного следует, что квазирегулярность (регулярность) интегранта Ь в области У равносильна тому, что Д (г', х, х, и) ) О (Д (г, х, х, и) ) О, х Ф и) У (1, х) еи У, (и, х) я $Р". Т е о р е м а (необходимые условия минимума в простейшей задаче к. в.'и.).
А) Пусть функция х( )яС'([(ы 111, 11") доставляет сильный локальный минимум в задаче (з) и инте- грант ЬеиС'(У), где У вЂ” некоторая окрестность графика. ((1, х(Г), Х(1)) ~(ен[1ы 1,1), тогда на х(.) выполняется уравнение Эйлера и удовлетворяется условие Вейерштрасса 8((, х((), х(1), и) >О т'иенй", (а[ты Я где в (г, х, х, и) = Е (1, х, и) — Е (Г, х, х) — Е; (1, х, х) (и — х) — функ ция Вейерштрасса.
Если при этом суи(ествует Е.Я, с~[ге, г11, хх то выполняется также условие Лежандра: Х„„(1)) О: Б) Пусть функция х( )~Се([(ь, 1,], К") доставляет слабый локальный минимум в (з)' и ЕыСз(У). Тогда выполняются 130 уравнение Эйлера, условие Лежандра, и если выполнено усиленное условие Лежандра (Ьй;(1)>0 Иеи[(ыЯ, то выполняется и условие Якоби, т.
е. на интервале (1ы 1,) нет сопряженных точек. 0 А) Формализуем задачу (з) как задачу оптимального управления ~ь(1, х, и)д(-» 1п1; х=и, х(1»)=хо, х(1,)=х,. н Условие «х(.) доставляет сильный минимум в (з)» равносильно, тому что пара (2( ), й(-)), где и(1)=х(1), является оптимальным процессом в задаче оптимального управления (з'). Согласно принципу максимума Понтрягина найдутся множители Лагранжа Хы Хь Хз и 'р( )~КС1([1ы 1Д, К"), не все равные нулю и такие, что для функции Лагранжа задачи (з') Я= ~ (Х Е(1, х, и)+р(1) (х — и)) й(+Х х(1)+Хх(11) и выполняются условия: а) стационарности по х — уравнение Эйлера р(г)=Х,7,„(1) т(~ [1,, 1[1 б) трансверсальности по х р((о) =Хь Р(11) = — Хм в) оптимальности по и пн(п (Х»Е(1, х(1), и) — р(1) и) = Х,Ц8, х (1), х(1))— «е а — рЯ хф Ч1 ел[1„111. Если Хе — — О, то цз в) вытекает, что р(1) внО, а из б) — что все множители Лагранжа нули.
Значит, ХзФО. Полагаем Хе=1. Тогда нз в) следует, что Е,' (1) =р(1) (необходимое условие 1 порядка минимума функции и переменных 1.(1, 2(1), и)— — р(1)и) и Х;,(1))0 (необходимое условие П порядка). Подставляя р=Е» в условие стационарности по х, получаем уравнение Эйлера. Условие оптимальности по и при Х,=1 и р=ь; есть не что иное, как условие Вейерштрасса. Б) Уравнение Эйлера и условие Лежандр а. Поскольку х( )~1осппп(з') (слабый), то для любой функции "(')еиСо'([(о, 111, Р") функция ~р(Х)=У(х( )+ХА(.)) имеет локальный минимум в нуле. Тогда по необходимому условию минимума функции одного переменного (п.
2.1.1) у'(0) =0 и 131 ~р"(0) ~0. В п. 4.2.2 было показано, что первое условие равно. сильно выполнению уравнения Эйлера на функции Х(.), а второе условие эквивалентна неотрнцательности функционала У" (х( ))Р$( ), Ь( )1=У(Ь( ))= 1 ((Е„; Ь, Ь)+2 (Тэ„й, Ь)+ Ь а +(Х„.Ь,Ь))((=~1(~,Ь,Ь)(()0 УЬ( ) ~С,'([(„(,1, Я"). Из неотрицательности и вида функционала К следует, что Е(г) — 0 доставляет абсолютный минимум (слабый) в задаче йр(Ь(.)) (и(; Ь(.) С',(р„(1), Я"). (з") По лемме о скругленин углов функция Ъ(() 0 доставляет в (з") н сильный минимум. Тогда в силу уже доказанного пункта А в задаче (з") на И выполняется условие Лежандра, т.
е. Х„.„. (г))0, что эквивалентно условию Лежандра в (з) для к: ь,„р))о угнан~ 1,1. Условие Якоби. Предположим противное, что условие Якоби не выполнено и существует тек((м г,) и нетривиальное (ЬчмО) решение Ь( ) уравнения Якоби, для которого Ь((э)= Ь(т) =О. Отметим, что из нетривиальности решения Ь(.) однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с условием Ь(т)=0 вытекает, что 6(т)ФО. Положим Ь (() Ь (().
то ~ ~( ~~ т~ О, т<Хг,. Так как Ь( ) удовлетворяет условию Якоби, то после интегрирования по частям получим Ю(Ь( ))= ~ ((Х;; Ь, Ь)+2 (Х„Ь, Ь)+ (Т.„,Ь, Ь))е(= с, т =) ( — К„;Ь'+Т.„.Ь)'+Т.„, Ь'+Т„Ь,Ь) а=а. в Таким образом, Л'(Е( )) =О, а это означает, что 6( ) доставляет (наряду с функцией 6( ) = — 0) сильный минимум в (з"). Проводя рассуждения, аналогичные проведенным в п. А, для функции И( ), получим, что найдется функция р( )Ы ~КС'(((о, 1~1, й"), для которой выполняется уравнение Р (Г) = Ей (Г, Ь (Г), И (()) С=Ф р (~) = 2 (1 „' ~ (Г) И (т) + Екк (~) Ь (~)). 132 Поскольку при !)ч Й(!)жО, то р(т+0)=0 и в силу непрерыв- ности р(.) О=р(т — 0)=2Х;„(т)й(т — 0)=21„;(т)й(т)=0, отку- да Ь(ч)=0 (ибо 2„., (ъ) обратима из-за усиленного условия Лежанд- ра).
Пришли к противоречию с условием й(т)ФО. Таким обра- зом, условие Якоби выполнено. 9.2.2. Задача Больца. Т е о р е м а (необходимые условия слабого минимума в задаче Больна). Пусть в задаче Больца ц сй) (х ( )) = ~ Б (1, х, х) й(+ ! (х (! ), х (1,)) -ь 1п( а функция х( )а=С'([(ь, 1,], )ч ) доставляет слабый локальный минимум и интегрант ! еяС'(И), (! — окрестность графика ((г, х(!), х(!)) ~!я[1,, 1,]), терминант 1~Сз(т), т' — окрест- ность точки (х(!ь>, Х(1,)).
Тогда выполняются: в а) уравнения Эйлера — — Б (!)+ !., (!) = 0 и условие ! 2 трансверсальности Е„. (!ь>= !мць Х„(! ) = — !мс,>', б) условие Лежандра Ц„(!))~0 ч!я [!ь, 11]; в) если имеет место усиленное условие Лежандра (Х ° (!)) ) О У(ев [!ь, !г]), то удовлетворяется условие Якоби (в ин- тервале нет сопряженных точек); г) если удовлетворяются усиленные условия Лежандра (Х;;(!))О У!ея[!ь,1]) и усиленное условие Якоби (на полу- интервале (гь, 1,] нет сопряженных точек), то квадратичная форма Р+О (заданная на )чы) должна быть не отрицательна, где Я(Ь„Ц) = !" (х (1,), х(1,)) [(Ь,, й,), (Ьы йг)], Р(йы Ь,)=(Б.„(! ) (Н (1~)Я+Н,(1,)Л,), й >— — (!.2„((,>(Н,((,>й,+Н,(г,)й,>, й,>+(Е (1,> й„й,>— (~ ~1!ь>йо ~ь> а Н;( ) — решения уравнения Якоби с краевыми условиями Н;(!!)=Ьц! (60 — символ Кронекера, ! — единичная матрица), , 1=0, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
