Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 23
Текст из файла (страница 23)
г) Сублинейная функция с непустым субдифференциалом обладает тем свойством, что здр=р тогда и только тогда, ког- .да р замкнута. д) Непустое подмножество Ас:Х совпадает со множеством дзА тогда и только тогда, когда А выпукло и замкнуто. Напомним, что а) называют теоремой Фенхеля — Моро, б) теоремой о биполяре. Теорема о компактности. Пусть Х вЂ” локально-вы- пуклое пространство. а),Поляра открытой окрестности нуля в Х компактна (в слабой* топологии Х*). б) Субдифференциал непрерывной сублинейной функции Х .компактен (в слабой* топологии Х*). Видим, что формулировки в п.
1.5 и здесь почти тождест- венны, только 11" заменилось на любое локально-выпуклое ли- нейное топологическое пространство. 8.1А. Доказательства теорем двойственности и компакт- ности. Сначала докажем теорему Фенхеля — Моро. <) О. Центральное место доказательства — вторая теоре- ма отделимости (п. 7.1). 1. Не обходи м о сть. Пусть 1г1=1.
Тогда вм 1(х)=зпр((х', х) — 11(х'))=:апра(х; х', 11(х')), я' ~\ где аффинная функция а(; х*, 8) определяется равенством а(х, хь, ())=(х*, х) — р. Функция а(; х*, 11(хь)) замкнута, а надграфик верхней грани семейства выпуклых замкнутых фун- 117, кций есть надграфик, являющийся замкнутым выпуклым множеством. Итак, 1 — выпуклая и замкнутая функция, 2. Достаточность. Пусть 1 — выпуклая и замкнутая функция.
Если )'=со, то по определению Р1=). Если (Фсо, то. Йощ)чьЯ и ер11 есть непустое выпуклое замкнутое множество в ХХК, не совпадающее с ХХК Вследствие неравенства Юн' дм га ((х*, х)(((х)+11(х*)) получаем, что зир((х', х) — 11 (х'))= =1'$:-~(х), т. е. ер!Р1:эер11. Допустим, что существует точка х0~дотР1, где Р1(х0)< <1(х,). Пусть, кроме того, $енбот1. Точка ($, 1(Ц вЂ” 1) не принадлежит ер11, н, следовательно, по второй теореме отделимости ее можно строго отделить от ер11 ненулевым линейным функционалом.
Это значит, что найдутся х~енХ* и уя((, такие, что у(1(й) — 1)+ (х', й>)зир(уа+(х', х)1(х, а) ~ ер! 1>. (1) Ясно, что неравенство у)0 невозможно, иначе справа получилась бы +со, что противоречит (1). Допущение у=О также невозможно, ибо иначе вышло бы, что ( х*, 4>)(х*, $>. Значит, у<0, и тогда, поделив обе части неравенства (1) на 1у~ и положив П~ х~1~у~, получим, что 1)(т1~)<ос<=>бош1~~ фЯ Отделим теперь точку (хо, Р1(х0)) от ер11 — снова по второй теореме отделимости. Это значит, что найдутся число р и хе~ыХ*, такие, что Щ(х,)+(ха, х,) )зир(ра+(х', х)1х~ бот1, а- 1(х)>. (2> Снова р не может быть положительным числом, ибо иначе верхняя грань справа равнялась бы +оо.
Случай р=О также невозможен, ибо иначе 11 (г)" + 1х,"): = зир ((и'+ 1х„х> — 1(х) 1 х ен Вот Д < < зир ((~)', х) — 1(х)1х ендот 1)+1зир ((х„'х) 1х ен дош 1) = = 1) (т1')+1зир((х', х)!х ен бош Д. Значит, Р1 (.,) ) (и*+ 1х'„х,> — 11(п'+ 1х;) Р: (и', х,> — 11(т)'>+ +1((х', хо> зир((х0, х) !хан тощ))) — со при 1 — оо в силу (2) (при р=О). Таким образом, х0Фдощ1з1 вопреки допущению. Итак, р<0. Поделив обе части неравенства (2) на 1р1 и положив х*=)Р~-'х*, получим дм (х", х,) — Р1(х,) ) зир((х', х ) — а1х я цот1, а>1(х)> = 11(х>~ 118 т. е: (йе, хо)>11(й)+Р1(хо) в противоречии с неравенством Юнга. (:«.
Докажем все остальные формулы в теореме двойственности. <) Доказательство теоремы о биполяре основано на следующих формулах, вытекающих из определений: (1) 1бА=зА, (й') 1р=бтеА, (Ию') бе=А=1~)анА=зА. Необходимость в б) очевидна. Достаточность. Пусть А выяук- ло, замкнуто и содержит нуль. Тогда бнеА'н' (рпА««ы11зА — "РЬА — "бА ~неА=А. Формула в) сразу следует из теоремы о биполяре, ибо Кеа=паК. Необходимость в формуяах г) и д) следует из определений.
Пусть р — выпуклая и замкнутая сублинейная функция. Тогда, учитывая очевидное соотношение (1Ч) 1р=бдр и соотношение а), получим р~1 р.="'1((р) = 1бдри др. ,Докажем достаточность в г). Пусть А — выпуклое и замкнутое множество. Тогда бА=" РЬАе«н1(1бА)" 1зА и бдзА~ А=дзА. 'Теорема двойственности полностью доказана. 1> Переходим ко второй теореме — о компактности. Докажем вторую часть (теорему о компактности субдифференциала). Первая доказывается аналогично. <) О, Доказательство опирается на теоремы Тихонова* и Фенхеля — Моро. 1, Пусть р — непрерывная сублинейная функция. Воспользовавшись соотношением (1Ч) (1р=бдр), которое участвовало в доказательстве предыдущей теоремы, убеждаемся в том, что др — непустое выпуклое множество.
Обозначим а1 = П 1 — р( — х), р(х)) (прямое произведение отрезков енх ( — р( — х), р(х)1 по всем 'хенХ) с тихоновской топологией. По теореме Тихонова И вЂ” компакт: Пусть х' ~ др. Положим «р,: Х-э.И, «р, (х): = (х", х). Из определения субдифференциала ((х*, х) ( ((р(х)Ух) следует, что «р,.( )ен6(. Обозначим («р,.( )),.нза через й). Если х~чмхз, то по определению существует х: (хь х) Ф чь (ха, х), т.
е. «р ° ( )~ «р (.). Следовательно, отображение др в Ф, а а осуществляемое с помощью («р,.( ')),.ез„(очевидным образом неатрерывное), взаимно однозначно. е См., например: Дан форд Н., Шварц Дж, Т. Линейные операторы. .Ин Л., 1962. С. 45. 119 2.
Докажем замкнутость !8 в з(. Пусть г( ) принадлежит замыканию 2) в й(. По определению это означает, что для любой окрестности У точки Т( ) в я( существует х" =х*(У), такое, что, <р,.( ) еи У. Пусть У: =Уж,ыд,-!„(г)=Д( ) ен Ф[ [~(х,) — Дх~)[ (е, 1=1, 2, [Т(х, + х,) — 1(х, + хг) [ .с е). (1)~ Тогда в силу сказанного выше существует х*(У), такое, что [(х'(У), х ) — Цх;)[.с з, 1=1, 2, [ (х'(У), х,+х,) — 1!х,+х ) [ (г, откуда в силу произвольности г получаем, что )(х,+х,)=~(х,)+ +1(х,)Ух„х, ~ Х. Аналогично покажем, что 1(ссх) = а7(х) Ух еп Х, а ~ К.
В силу того что 1(х)~( — р( — х), р(х)[, получаем, что ) — непрерывный функционал. Значит, Т(х) = (х', х). Таким образоь1, я!в компакт (как замкнутое подмножество компакта И). Он является образом др при непрерывном взаимно однозначном отображении. Значит и др — компакт.
[> 8.2. Теорема об очистке В п. 1.5.4 рассказывалось о выпуклом исчислении. Две основные формулы — Моро — Рокафеллара и. Дубовицкого-Милютина — были доказаны в конечномерном случае. Из доказательств легко усмотреть, что они полностью сохраняются и в бесконечномерном случае. В этом пункте докажем теорему об очистке, обобщающую результат Дубовицкого — Милютина. В п. 1.5.4 мы сформулировали теорему об очистке для субдифференциалов. Этот факт сразу следует из следующего ре-- зультата, которому, собственно, и следует придать название Теорема об очистке.
Пусть Т вЂ” компакт, 1:Т;гй"- -»й — функция, обладающая следующими свойствами" а) !'(1, ) выпукла и непрерывна на К для любого 1е=Т„ б) 1(, х) полунепрерывна сверху для любого х из 11»,. в) !п! запаху(1, х)=:М> — оь. Тогда существуют гено[, с~а+1, лезь Ыг и набор точек (сь..., ю), т;~Т, таких, что М=!и! шах ~(то х) к 1<Кг Таким образом, компакт Т можно «очистить» до г точек.
г(п+1, мннимакс по всему семейству ()(1, Я~,г окажется ра ным минимаксу лишь семейства Д(т„)); „состоящего конечного числа функций. <[ О. Доказательство основывается на теореме Хелли (с п. 7.3). 120 1. Обозначим «=(«,, ..., «„+!) элемент произведения Т"+!, зп(«): = 1п1 гпах 7(«„х) и, наконец, т:=зпр(т(«) ~т~ ея! !<!<!!-!-! Т+). ' Из определений сразу следует, что т<М. Пусть 6)0. Для 1енТ положим А,(!)=(хеп)«" ~ф, х) <и!+6).
В силу того, что 1п1 1(1, х) =и!(1, 1,..., 1)(п!+6, существует х=х(1), такое, ~аа" что 1(1, х) <т+6, т. е. А,(1)ФЯ. В силу того что 1(1, ) выпукла н непрерывна, А!(1) — выпуклое, замкнутое множество в ~л 2. Пусть С=($!, ..., $„)е=Т" н хЦ) таково, что 1(С» х($)) < <и!+6 (нз определения л! вытекает, что такое х($) существует). Обозначим У($) подмножество в Т", состоящее нз точек $'=($!', ..., $„')еаТ", для которых 1(Ь', хЦ))<т+6.
Из условия о полунепрерывностн сверху получаем, что У(4) — окрестность точки $ в Т". Из определения компактности найдутся Ц!, ..., Я, такие, что (У($!))! ! — открытое покрытие Т". По- ложим А: =со(х($!),...,хЯ!)), %:=(АдЯ)!ег0А. Проверим, что семейство «! обладает свойством Хелли (см.~ п. 7.3). а) Пусть задано л+1 множество А,(1!), ..., А,(1„+!) (без А). Тогда нз определений тЦ) и и (где 1=(1„..., 1,+!)) получаем, что существует х(1), такое, что 1(г» х(1)) <п«(г)+6 а Н-~-! =т+6, т. е.
х(1)ан Д Аа(1!). 1=! б) Пусть заданы и множеств Аа(!)!),..., Аа(!)„) и А. Тогда (как и в случае а)) имеется х (!)) (!1 =(!)„..., !)„), такое, что 7 (!)!, х(«1)) ( ~ и!+ 6. Из построения системы (я!) !' !'найдется $", такое, что 'Чен УЯ"), т. е. 7(!)„х(й'))<и!+6, т. е. х(я")я Ад(т)!), т. е. .«(я") ан Д Аа (т)!) () А, нбо х ($») я со (х ($!),..., х $)) = ! А.
Итак, !=! любое семейство нз и+1 множества имеет непустое пересечение н А ограничено. По теореме Хелли существует х(6)ев Д Аа(1), !ЕТ т. е. М (и!+6 н в силу произвольности 6 получаем л! ~ <М<п!, т. е. и!=М. Из компактности Т, полунепрерывностн 1(, х) вытекает, что существуют («!, ..., «,), такне, что л! = 1п1 щах 1(«„х), что н требовалось. хех !<!~г Теперь для получения теоремы об очистке для субдифференцналов остается применить формулу Дубовицкого — Милютина к семейству (~(«!. х)); г Все доказано. 121 $ 9. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Во введении и первой части книги было рассказано, что для многих задач оптимизации необходимые условия экстремума подчинены единому общему принципу, названному принципом Лагранжа. В этом параграфе будет показано, что источник универсальности — согласованное соединение во всех рассмотренных задачах гладкой и выпуклой структуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
