Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

ЗадачаНайдемподвижнымисабсолютный185концамиминимумвВозьмемзадаче.последовательностьп&,элементов(х„(-),Т„)==A,п);тогда^(%п)—оо.ЕсливместоB-1)й1=-оо->опри+оо,—+пподвижным^шшт.е.Го,=абсолютныйГконцомправымГконцомсзадачубудетдляГо)будет&,элементов(хп(-),Тп)=квмаксимум(п1,1);=доставляющаяоо—ПриГоприВозьмемзадаче.тогда1/(п2^(xп(^),Т)=п1-й11)+->опри+оо,-+п3.4.т.5тахе.Задачис=+оо.концамиподвижными1х2й1-I3.1.2е2A)х@)ех1г;->0.=о1Пх23.2.+х)й1->х{1)ех1г;0.=от/3.3.а;2М->ех1г;ж@)хдЛ,->еххг;х@)а;3й1->ех1г;ж@)х)<И=О,Г=0,(Г=0,х(Т)+]+0.=ог/3.4.1)а:2(Г)-2=0.+от/3.5.Г+отМа;23.6.+ех1г;->а;@)1.=о3.7.({х2-х2)<И-*ех1г;х@)=1.а;(Г)=1.+оовэтом—+последовательностьнайти,легкоминимумГо-стремитьсясфиксированным(еесуществуетабсолютныйизадачисфункция,фиксированногокаждогоминимумаабсолютныйНайдемзадачучтозадаче,фиксированнымконечнымабсолютногоновойвисходнойрассмотретьвывести,нетруднотоминимумрешая=+оо.значениезадаче186ГлаваВариационное3.исчислениетг/4/ (х23.8.-х24х+<йI)сокх@)ехгг;->0.=о1/ (х23.9.+х2)<И-+х2)<И->х2(\)->х@)ехгг;1.=от/ (х23.10.х(Т)+Т-1-0.ех1г;о1./ \/1/3.11.х2+^ш->хех1г;х@)ех1г;х@)=1.=1,от+3I3.12.Ж-<й->хж(Г)=Г-1.оТо/ х\/\3.13.х2+(И->а;(Г0)ех1г;^.=о§ 4.4.1.ИзопериметрическаяПостановказадачиИзопериметрическойследующаязадачейэкстремальная«!,.

.,«„,Ограничения=[*0,вида*1]A)допустимыми.(а8-ех(!)и(Р)К).иеусловиям^]):ехгг;->20 <конечным,Экстремумизопериметрическими.функцийназываетсяС1([1а,пространствефиксированнымназываютсяусловиямпериметрическимисчислении&числаявляетсясредирассматриваетсяназываютсяв/ и\^,Щ,Щ)заданные—Отрезоквариационномвзадачах())гдезадачаС^фо,B)*11),наОгра-Чвзадачеудовлетворяющихконцах;изо-такиефункцииИзопериметрическая§4.Определение.локальный6Говорим,минимумО>втакое,| а;(-)4.2.(х(Р)существуетеслифункциидоставляетхокрестностилокальныйслабыйфункции/,-, /«,/й,гэкстремум0,1,.

.,=т,графикарасширенногоЛЛагранжамножителейвектор=тКт+1,Ф 0, такой,Лгладкостиусловиедлялагранжиана^'([^О)*1])чтоЬ±€Ьвыполненом=ВыпишемДоказательство.неирг€Лт)ЕвыполняетсяЭйлерауравнение0(Ло,. .,^Лг/;B,а;,а;)=—(/;,/и:,/мГ$-.()).существуета;,экстремумаЫосеПтР),некоторойвлюбойдляслабыйдоставляетхМоспипР,допустимойЕ*•<функцияехпишемиусловиеПустьзадачерывны>функциядопустимая(Р),^о(x(•))я(-I1с'(К,,*,])-НеобходимоеТеорема.в,7о(а;(-))чтокоторойдлячтозадаче187задачаVЛагранжуповариациюфункционала*17(а;)в/ /(*,=а;) <И,а;,простейшейнайденнуюпринами(п.исчислениявариационногозадаченеобходимыхвыводеусловий1.3)Со1 (Рассмотрим*1])Со([*о,Со([*о,*1])Кт+1),-+-4отображениелинейноеследующеепространстваконечномерноевдействующеефункциональногопространствоКт+1(Л:формулепоАН=Возможныдваслучая:е.т.Ф Кт+1,1)случай);(вырожденныйт.е.Кт+1,2) 1тАслучай).(невырожденныйслучай.1) Вырожденный1тААА—Значит,вэтомслучае1тА—Пустьестьнаотображениеотображениилинейномприпространстваотображение—подпространство1тчастьвсенаАф Кт+1.пространстваКт+1пространствоКт+1Образлинейногопро-Зна-подпространством.являетсявКт+1размерности^тп.188ГлаваПогрузимтакие,исчислениеподпространствов(гиперплоскость).иВариационноекакое-нибудьСледовательно,егонулю3.найдутсяАо,.

.,Ат,всенеравныечтотт]ГЛ,-*;0=2е1тА<=>^2V!=0Откудаизвидаявного\{6^(х,Л)к)8^(х,дляДюбуа-Реймоналеммыиз0=следует,V«1])-1чгладкостиусловиек])Ьлагранжиана^^выполняетсясЪ([10,Л €длячтот^2^г/{(^,х,х)Со([*о,Ъ. еVимеем*Тогда0=1=0ЛС1 ([го,€*1])!=0и=вьшол-Эйлерауравнениенено(гипер-тразмерностичисла2) НевырожденныйПустьслучай.случайневырожденныйV0=А1тТемневозможен.* €Кт+1.=самымПокажем,будеттеоремачтоне-полностьюдоказана.Возьмембазисе0Кт+1.втоПосколькуй,-НЛ6^(А,естьРассмотрим=точкиакакединичнаяобратное(«о:=^(х)).определительматрица),отображениеIКт+10-+7•'Кт+1,•Р($)=л»•.(Щх),. .,якобианотображенияединичнойматрицы(Р'@)тоР'1потеоременекоторойобокрестностит,).формулепо(*гладкостив1т(х))Посколькуто0,1,.

.,)действующуюусловийдифференцируеманепрерывнои■]е,-,Кт+1,==Кронекерасимвол—А1т—згзаданныхсилув=г/у»/),Р$•">АН]чтоканонический—Атакие,'<(л (*+Xчтофункция*|])=Р:проверить,построеннаяокрестности&,■функциюр{р)Нетрудно(V@, . .,0,1)=отображенияСо([2о,е8^=ет. .,образфункциисуществуют,0),A,0,. .=(а0,=Р=аи.. ,ат)ненулю=функцииточки=равен{йЩ&Л]))™-^обратной/;функцийнекоторойсуществуетавокрестностьI—§ 4.

Изопериметрическая$точкиР~1(а)=0 такое,=189задачачто\Р"](а)\сВозьмемаа(е)=/3(е)обозначимиКконстантойнекоторой+,ат)е, аь..^(«(е)).=а\-0.>(а0=К\а^а(е),=РАе)кА-))=маломдостаточноприР(/3(е))Тогдает.е.«от(*(■)ЛР№йА-)1=этомприПолучилось,вчтох(-)которойфункционалазначениехименнобытьможет7=0(приибольшекпротиворечию,0),>ечто2)случайобразом,4.3.(применьшеихнеПришлих.Такимэкстремума.■/ а;2й*-+ех1г,=хА1Необходимое1уусловиеХцх=-—ЬхЕслиЛоне=0,а:@)я;A)=0=0—ПоложимС122+С22+Сз-Неизвестные=0 =>=1=^С1Съ+0,=\ Х.-2Л0*^=^=Л,+=1/2.Тогдах=С\,С2,Сзконстанты0.ЛагранжаОбщее\.множителивсеЛонаходимусловий:изопериметрическихих@)0,ЭйлераЬхАхтобыть.можетконцах+от1.2уравнение—АЭтого=оЛагранжианРешение.0;С2==+1;11/Гначемневозможен.о=0)<елокальногодоставляетПример^(x(■))на(афункциядопустимаясуществуетнафункцииэкстремальнойокрестности*1])^2/3](е)к](-)),+любойвС1([*о,пространстветх°ч>7=0х<И=0^/ (С/СС+С21)А1=0 =>у+—=0.нули.—решение:изусловий190ГлаваОтсюдаС\единственнаядопустимаяфункция1])к,функциюТакимисчислениеобразом,хЪ1"—к+хедин-Возьмемзадаче.внайденнаячтопроверки,минимумчтотакую,имеетсязадачев21.—непосредственнойабсолютныйдоставляетС1 ([0,Е—2.—помощьюсхВариационноеэкстремальПокажемкСп3,=3.Длядопустимая.функциюэтоговзятьнадо1к@)которойдляк{\)=0=/икй1=0.Тогда[к2<и^2о[х2си[(х+кJси-=ОИнтегрируя[2=условийучетомсхк<и+к,на/лТакимобразом,Ухразностьполучим1Г1•-Уо0абсолютный011""Iхк<и.000частямпо111У~0тонеотрицательна,всегда[абсолют-имееместьминимум.1■^гат/=й1хI F1=2У-й1=—41+^—12-12+4=4.=оОчевидно,прип—►ЗадачаОднимиизпервыхплощадь,изаданнуюозаданную./(а;„(-))тогдаин.доравнуюа+оо—+э.)длину)замкну-наибольшуюохватывающуюзамкнутойбылоповерхности,объем.наибольшийчтоизвестно,средивместимойнаиболеекривыхнаименьшихнахождении(имеющихЕщеизопериметриявляетсяплощадь)равнуюповерх-сфера.ИзопериметрическаяДидоне.иохватывающейизопифанныхсредииопространственнойвек(имеющих—наибольшихдлинунахождении(IVческихзадачасобытияОписываемыеФиникийскаясчастьяпоследователь-п5т2ж{,задачиплощадьАристотеляТира,хA)отысканиеназадачимеющейимеющейгородавозьмем+изопериметрическиекривой,окружность,поверхностейхпA)=ДидоныявлялисьвеличинзамкнутойДействительно,+оо.=оо.4.4.до5^^функцийчтодопустимыхпоследовательностьДидонацарицаспасаясьотправилисьотискорабляхнейнебольшаязапад825годувдольгородбереговодоцарицен.э.впоискахжителейчастьроднойпокинулиналегендевкотноситпреследований,натакжесодержитсялегендагороиСредиземногоИзопериметрическая§4.Выбравморя.Тунисскийзалив),неидеяпонравиласьудалосьХитраяшкурой».ихзаложилатерриторию,нейисторииобладаниеI I-Iвекегокоторыеоб(шкура).намтерэтойисториивойнамиещевойны,КарфагенаримлянамивзятиемРимомс(Пуническиеморезавершилисьремни,значительнуюпамятьБирсаСредиземномнан.э.),доВокружитьтонкиенаимпомнитсягосподствомможноокруживназваниеКарфагенгородцариценеосторож-ишкуруКарфаген.городполучилацитадельИзи,финикийской«которыйразрезавЭтагород.простодушноземли,Ту-здесьжевсеониклочокременьнакарфагенскаязадлинныйодинвноЯрба,(нынешнийместоосноватьрешилижителям,Дидонефиникиянка,уступитьсвязаласпутникиеепредводителяихнеосторожно согласилсяудобноепобережьеиместнымуговоритьбычьейиафриканскомДидонана191задачаразрушением.МызадачухотелаДидоначтовидим,«решала»наибольшейоквыходсохранитьДидоны.прямойСредисчитать,мыIдлиныберег),(прямолинейныйснайтиту,Формализованнаяплощади.первуюфиксированнойконцаминакотораяограничиваетфигурувид:имеетзадачаДидоназадачучтополучаемттIхй1->I л/]тах;х2+А1х(-Т)I,=х(Т)=О=-т-тТ(здесьизопериметрическуюЕстественноТогдаморю.кривыхвсехнаибольшейклассическуювместимости.§ 6).(см.ЛагранжаДавайтезакрепленыотноситсязадачаДидоны,задачувторуюрешимкобакоторойвФормализованнаяпрямой.наЭтаконец).подвижный—кривойконцаДидонызадачавтораязадачтипуимеетвид:-»о/А1х/тах;->V1х2+А1х(-Т0)I,-х(Т0)==О-То(здесьТоЭтофиксировано).—изопериметрических—4.1.п.задачзадача,укладывающаясяПриведемЛагранжианЬ\ох=Необходимоеусловие—Эйлерауравненией\х+Еслиследует,помощьюх2.1 +А у+й=сисчисления.вариационногохсхемуврешениеееАо0,=Тогдасот1.чтофусловийАтоизх=О,I=0(невсена2Т0.ЛагранжамножителиконцахиизопериметрическогоАо0.=—нули)изначитусловия192ГлаваЕслиЛоО,фвытекает,чтоХх+а;2I +С\.VIА±получим=■1.=Тогдаизо,1.=«*исчислениеЛоположимтойВариационное3.ВыразимIпопроинтегрировавизЭйлерауравненияэтоуравнение,х:уравненияпоследнего*+с.ПроинтегрировавИз+С\Jусловий*2С2J+(ЛС1J+концахЛ2.=Неизвестныеуравнение,(а;+С2J+уравнение0,=0=ит.е.образомединственнымх(Тц)=окружности.С\чтоследует,определяютсяСг+химеем:Этох(Т0)условияизЛ2.==Сг,Лзнака)дополученноех(-гЩконстантыточностьюс(*<^на(а:+IпоA—изопериметрическогоусловия.2ГоПри(±Г0,0),точкиI <2Гоэкстремалей.яТйимеетсянетМожноэтойотрезкамиИзонериметрические/4.1.А1~*1хй1ехгг;допустимыхбудетрешением(IвысотужТ0)/2-вместедлины.Ъ,=ж@)хA)1,=0.=о11I х2(И-*Iехгг;о1хш=0,а;@)=х{\)0,1.=о11I х24.3.нет1х2о4.2.ПритгГозадачи1А1-*1[хА1=1,ехгг;Ма;й*00а;@)0,==хA)=0•к4.4.начерезмаксимум,наслучаеэтомв«поднятая»задачаполуплоскости.I >причтоГо>насверхнейвзнака)допроходящейуфункций,показать,точностьюокружности,Посколькух.лежащуювертикальными4.5.осидопустимыхрадиусадвумяIдлиныэкстремаль,задачевнацентром(сединственнаядугойсполуокружностьс^выбираеммытоI<являющаясяэкстремаль,тгх2A1->ех1г;/хсо&Ш=-,х@)=1,х(ж)=-1.0.Задача§5.I4.5.±2А1->соIех1г;охА1$т1±2А1->I хе~гехгг;оА11.=х@)е,=2е=хA)1,+2.=о[хе*<И=(-^-,1{х2+х2)й1-^^х;0х@)а:A)0,=е.=о22/4.8.*2а;2й*[гх<И=-,ех1г;->1хA)а;B)1,=2.=111х2(II-*I1х2А1=\,ех1т;ох(О)хA)=О.=отг/2.10.х(ж)О,-1I4.6.4.9.х@)О,=о14.7.193производнымистаршимитг/2{х2 -х2)й1->а&г,I1х5т1А1=\,ох@)хСЛ=0.=о/а;-\/1ж2й*+х(~Т0)х(Т0)=1/(х\1/ех1г;—>о#1@)§ 5.5.1.А1Х\Х?—0,оа;2@)=ЗадачаЗадачейсоа;2A)Ж1(])=1,О,=состаршимиПостановканазываетсяI^0.=А1Хт)+ех1г;-+=-3.производнымизадачипроизводнымистаршимиследующаяэкстремальнаяисчислениивариационномвзадачав*1]):С"([20,пространстве(Р)х(к)A5)Здесьпеременных.ЬинтегрантОтрезок=[2о,М=является*хщ,ЬA,х,=0,1,.

.,п-1,х,. .,фиксированныма;'"')>—=функцияпиконечным,(I)0,1.+2перемен-2о<1\-194ГлаваЭкстремумисчислениеудовлетворяющихфункцийсредирассматриваетсязадачевВариационное3.A);концахнаусловиямг\\),С"([2о,€хфункциитакиеназываютсядопустимыми.Определение.Говорим,локальныйвминимумО такое,6 >5.2.внекоторой(хсуществуетфункциидопустимойдлях,локальныйЬ,Ьх,Ьх,.графикарасширенногоСкф0,и\),€еслислабыйфункции1х{к)слабыйдоставляет6-доставляет\у1осехтгР),Л(П)))),хэкстремумахокрестностик■■экстремум,Ьх(п)Г$-^п)1,=непрерывны—(Ь,ЬХ,',■Тогда.

.,га.■■,ЬХ(*)выполненоЭйлера—Пуассонауравнение(-1)*4^ч(<)*=оПрипЭйлера.образом:1=Прип=а2ВозьмемБудем<р(Х)\у1осех1гР,€3{%:=тоХН)+ЛагранжуфункциюпоодногоследующимЭйлера-ПуассонафункционалауравнениеНЕме-3'.С^([1о,21]).переменного[Щ,х+ХН,х=уравнением0.=фиксированнуюфункцияносвыглядитвариациюпроизвольную,хсовпадаетавыводитьВычислимПосколькуVЭйлера—ПуассонаЭйлера—Пуассонауравнение2 уравнениеДоказательство.вариаций.0=1—2±(<)--Х*(«)+Х,(<)методомлюбойдляфункцияЕхпишемусловиеПустьС(О(Г^и<Необходимое(Р)задаче^функцияЕ \у1оспцпР,допустимая(Р),^(x(■))Ц-)\\сН[иЛ]M)-Теорема.ве^(x(■))что\ х(-)которойчтозадачеХН,.

Характеристики

Список файлов книги