Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 24
Текст из файла (страница 24)
.,=век-Ограничениедифференциаль-выполнятьсядолжнокотороеслучаемкоторойвоЛагранжазадачиотпеременной,называетсявыполнятьсядолжноотличиипеременнаяЧастнымвОно0, ],. .,т.=фазовойуправлением.уравнением,Ви.и,управленияназываетсяназываетсядифференциальнымдифференциальнымтипаж„)(жь.. ,=(«!,. .,«г)=Д,€произвольное—гявляющеесябудем(Р)хЦ)-<рA,хЦ),иу))=0^форме)понтрягинскойзадачу:ЩОД@где215случаеслучаеоптимальногоназыватьобщемвмаксимумаПостановкаЗадачейПонтрягинамаксимумасправа).функциейпервогородафункция,называется(вточкахразрывовимеющаясуществуютнеконечныеболее216ГлаваФормулировка1.2.Теорема.смысле)гпроцессокрестностиаги=0,1,. .,{B, жB))Ф 0,|для/(*,х,и)«декартоводифференцируемыумноженного/;,I/,наокрестностив(Х,р)функцииКт+1€РС1(А,И"),хтIА,-^(*о>а;(*0),*ьж(*1))^=0!=0терминант,—условия:выполненыа)Щ=функциив некоторойнепрерывныхсильномгладкости).^2ХфA,ж,и),=Д},I €ЛагранжаЛагранжатгдепонепрерывномножителичтотакие,производные(условиенайдутся(Р);управлениячастныет,(воптимальный—оптимальногоих<рBо,жBо),2ьжB1))Тогдауправления(^х(-),й(-)Iо,11)=множества2;,функцииточкиА^задачевт,оптимальноготеоремыПусть0,1,.
.,=Задачи4.стационарностьх,х,и)/(*,^трансверсальностьс)оптимальностьс1)и)ж,Хж(«)Ь)ттпои)I €и))х,Глагранжиана-р(«)«=^+/,(*)р(<)&(<)-0;=хир(«)у(«,*(<),«)}-=подвижнымпоконцов9?(*,дляЭйлерауравнение—-V0=стационарностье) дополняющаяр(ж+по{/(«,*(<),подвижныххпо=*,=0<=>•*,=0^-/(*о)/(*,)Г(о++г(,+нежесткость@=0,1=1,. .,т';V(выписываетсяконцаминтегрирования)отрезка/(«) ~Р(«)^(«)+4(<о)г(*0)Ц,)^)только0,==* е0;Г;для§ 1. ПринципПонтрягинамаксимумаобщемв217случаенеотрицательностьПокажем,сутверждениечтотеоремыЛагранжа,функцияпринципомДействительно,трехфазовойзадачирассмотретьфиксированывсеусловияСогласнокромефункциейи(),управленияконцовЛагранжа,принципуЛагранжа,одного,вкоторыхнеобходимыевыписатьиДей-речь.являетсяобщемуфункцииминимумеоаргументы,Лагранжа:функцииминимумаЛ(ж(),и(-),*0,*1)ж(-),=соответствиишланеоднократнокнигепеременной*о>*1-интегрированиянадоЛЛагранжааргументов:отрезкавполномвнаходитсякоторомоО)Л(ж(-),и(-),*0«о,(п)тш;-»(ш)A)Задачавкоторойдостигается,минимумаповыборуфункциикоторойчастныхпоА)Игольчатые(наборомиголок(тугдеА,^••V]^•е17,приточкеминимума«_,-^вариациейдлиныалежат(Я-т,-,а^,вомножестветочекVN),(«!,.
.,—,./У).и).управлениянаборы:длинт=а=Управление-управленияточкиимеющиемаломV1,. .—т,-НекоторыеДруправлений0, ]па-определяемоевариацийИ,число;)|а|),|<х|устроенытак,Т.у/а\:=определяемойи,+что..Дляони+ар^)а%,иголокполуинтерванеэто-(Т1,. .,т)у),(«!,.
.,пакетомОднакосовпадать.могут^,процесссемейство,[т1-^-])\а\-а1,=(т,г/,а).полуинтервалывПроварьируемиголок.игольчатыхТу,игольчатойназовемпакетнатуральное72еТ,экстремумаусловиянулюусловиенахождения1\.ивариации,фиксируем^задачейнеобходимыеконечно-параметрическоевегопакетоместьиДоказательствовключивэтогосвоегодостигаетявляетсяравенство—20Минимумэто—(ш)переменных,Фермапроизводных1.3.идвухтеорема—управлений(п)ЗадачафункцияЗадачауправлению.экстремумауправления.подынтегральнаявозможныхпоусловиятрансверсальности.оптимальногоеслиоптимальностиминимуманеобходимыеусловияизадачейэлементарнойинтегралаГ1Эйлерауравнение—являетсявБольца,задачейявляетсяпересекаютсяна-218ГлаважB;2о,а;о,а),Функцияпакетом(т,ь,а)иголокчтопокажем,(хоеслихAц)),:=действительноВ)Теорема.Предположим,решениедифференцируемаяI *{(*,*(*))непрерывноА=ТЪгдадлялюбой0B,2о)^(Мо)Э'го=-^(*,классическаятеоремадифференцируемой зависимостиЛеммаО <об\а\<е,функцияхA\непрерывноприэтомиуравнения:I=и(единичнаяматрица).дифференциру-непрерывнодифференциальногоуравненияотначальных195-204].с.(т,у,а)иголокС'хрешенийсуществованииох(-;10,х0)хA;1о,хо)функцияэтомчтотакая,решениеприА^(*о,*о)решения[АТФ,данныхА,системажB))Г2B,20),Г$траекторииединственноемножествефундаментальная—не-итраекторииотрезок.отрезкевонепрерывнаяСокрестностисуществуетнаД),1Шфункция—окрестность—О'€енекоторойконечный—ОСопределенноедифференцируеманепрерывногдеДС'(<0, а?о)точкиКоши,задачиД},€найдетсяРэтомвхвариации.(«ох0=ПрипоД.отрезкеигольчатойКошихAй)С^Д,!*").ехх),Р{1,=уравнениявсемнаобмы(*о, &о)точкидифференциальногозадачачтохимеетнаходитсяНижегиг;.окрестностивBо, хо)точкойопределяемойнаборамиопределеноЛеммаисуществования.A)х0,=х,решениеасуществуетТеоремахA0)Bо,^о)маломприуравнениярешениемфункциификсированнымисточкатоуправления<рA,х,иа),=вариациейигольчатойназываетсяоптимальногоявляющаясяхиЗадачи4.игольчатойфиксированы.|жо-жо|<|*о-*о|е,2о, х0> а)дифференцируема\ х(-; 10, х0, а)е,A)некоторой*(-)||С(д,к»)гД,-° привСи,на~*пакетечтоГточки(*°> ж°'")Vитакое,определена—окрестности~*0,>всеотрезкитоуравненияв-есуществует<решение—наборыПустьвариации.Тогдакромееслитого,А,отрезкеA\,1о,хо,О),(*°> *0' °)иB)C)гдеГ2D):=Г2(<,<о)—фундаментальнаяйа\=решенийсистемашМ\п(п.ши\=т.уравнения:§ 1.
ПринципНаметимфункция,существованииодифференциальногокусочнонепрерывна,каждомуравнениятоОбозначимV.кконечномернойг:—I /,=рассмотримиивытекаютнепре-—теоремыиззависимостиначальныхприменитьреше-Еслиданных.теоремуйжеразнескольконака-непрерывности.участкеС) Редукцияиуправлениесразуотнужно219случаедифференцируемойнепрерывноирешенияЕслилеммыутверждениятообщемвлеммы.доказательствапутьнепрерывнаяПонтрягинамаксимумаСновазадаче.(г1;20,х0,(*, хA;«о, х0,«ьN,наборыхAх;10,г■иаA))а),задачуконечномернуюфиксируем2я■А1сг,(<0,+хо,1итипаограничениямиа))х0,равенствинеравенствВ0(г)->тт;Щг)<Воблеммысилудифференцируемыприг—»(Р),найдутсяемуравныенулюЛагранжа(А;=^ЛД-(г)^3равенствамисАо,.
.,ЛагранжаV),Х,(т,/^-=№4х0,0)С(Д,К")/^(т,г/))иэлементивинеравенствами.ци.. ,такие,чтозада-принципприменимАт,К2хминимум(-Рг,»)задачедиф-непрерывно{1\,Ц,—локальныйк,т,(РТ,„)Д-гдоставляет],. .+т=пространстваЗначит,(-Рг,»)-1,. .,метрикезадачгN.функциив^0,=точкимножителизадачи=(^(ОДоДОконечномерныхдляСогласно;вариации1осттРГ]В.ег0),=окрестностиэлементкактакточкаЛагранжаЛАг.тоЩг),т,<игольчатой(ж(-;*о,а;о,«),*О)*1)задаче1,.
.=-а}некоторойв—♦(«•0а}>г0,Содлявсенец^,функции=1=0'Iгг/=Iт/A,х,и)гдеполнены=т/(*о,а;о,*ьЖц)^А.'/Д^^и),ЕА.гДго,^,*!,^).=«=0вы-«=0условия:•стационарность:•дополняющаяЛг0;=А;Д(г)нежесткость:1')неотрицательность:0А;^=1ЛГ0,г=0,1,. .,тп0А;В,(^)(оО-/),0),=/*у^0,220ГлаваО)ОбозначимуравненияР +сСуществование(Ь()условиемзадачифункциирйсизединственностьиз(а)ДпI=ре-ИзопределенийД=п.имеемЛЛагранжафункции(см.функционалаприращенииигольчатой+р<рхпр<рхпЩ1о)стационарностио191].чтоследует,-условияс.краевымсединственностии[АТФ,1}=граничного(а)уравнениясистемрп+рй=условияобрешенияфункции(рп)леммулеммы/х=существованиятеоремылинейныхдляучетомРаспишемучитываяиследуетКошиопределенияи—ОтсюдаР<РхусловиемкраевымрешенияОбо-задачи.конечномернойусловийдифференциальногорешение—управленияоптимальногонеобходимыхПреобразованиерЗадачи4.§ 2)нижевточкеиформулыг,вариации:Шх*о(Ь«о, *о,0)Л+401Х1хХо01-Л,+х0,0)=>40иA)хиA;■о«о, 40,0)Л+4„+4,а:@(*,;=(Ьо)0;*0, *о,0)=§ 1.
Принцип~Ш-(=} -/(*о)Л,, (г)-Ш=/(«,)Очевидно,бы,АО,(А,/л)Авектора)-()соотношениявыполняютсяс)оптимальностиЕ)иза)—г)ипринципеЛеммаомножестввсех{Ка}а€лК\ Ка).Ка)К.\ р|К=По=К,т.е.{Оа}а^АестьвзятоКкоторойТогдапересечениеф 0).Как0,=с)СподсистемадополнениеП КаЕслиК.п.{компакт,—Кв^) Оатоа€Лопределениюкомпактаконечноеподпокрытие,Ц) Оау=К.Но@а:[^ (К==\а€Ла€АоткрытоеПонепустоелеммелюбогокомпактапокрытиеП *а,П(^=опересечение.найтиф-Значит,Ктакие,,ац>,аи..\ Ощ)системы.Каможнопокрытияоткрытогоможнот.е.тогдаР)системымножествизцентрированностьюспротиворечиеимеютКаКаеАвоткрытов■( (~) Ка—1},=аеЛвыделитьчтоОаТогда®система).Оа| |А|К(т,у)конечнаянепустоОбозначимДоказательство.Флюбая{центрированнаясистемыК"*1Кт+1епричемПустьсистеме.К,г/у.множества-Кг,,»,-условиемсутвержденияПонтрягина,подмножестввыполня-выполняютсяр|пересечение{АI/,ечтопространстве-компактом,являетсяцентрированнойнепустоеимеетвКкоторыхдляпересечениезамкнутыхсистематусферыI,емаксимумаКконечноезамкнуты,А,СфераV.=Т,векторовотеоремыт,максимумаV0.=V],.
.,г/#такой,Понтрягинаиуправлений1,=точек/лположительнуюуправленийТ,что1.—|А|следовалоуибы,Рассмотриме(<1о)0;=/,!|А|числаттехкЧ*о)+на€принципа-йГ(т,г;),подмножествакУмножениемАт),доказательства.состоящие+-следовалочтобыАь.. ,конечногодляОкончаниетогдат\,. .,тн(Ао,=определенийтак,точекдляполучили:из(с^»)0.фАк(й,)иначевектор+0.=ибо221случае-к '= -Шсоотношенийизк+р(Ш(к)++ЛагранжаИтак,Л?„*(*,)+нормируемсуществует=Р(к)*(*о)#амножительконстантуI+%,А0,=р1Х1щШ(г0)общемвЛ(«)"(«)^о)++чточто/-=Понтрягинамаксимума\ ^Оа.=0-всехпересечение0.центрированнойисистемеЗначит,существуютвсемножестваненулевойК(т,у)векториме-А=222Глава(Ао,.Ат),•.,|А|утверждениядля1=Т,атобосноватьпозволяют1.4.К2.хегоНебольшиепространствевпо-доказательстваизмененияРГ^Д,пространствевнамидоказанмаксимумаКг)РС(А,хвыполняющимся■ПринципК")выполняютсячтотакие,оптимальности,условием€.17.VЗамечание.РС'(Д,сРС1(А,Кп)ера)-г)управленияоптимальногофункцияитеоремылюбыхЗадачи4.К")Кг)^^(Д,ххК2.Пример4В(х(-))1{х2=+х)(И->\х\ех1г;<а;@)1,0.=оПриведемРешение.введязадачукоптимальногозадачвидууправления,и:управление4Пи2х)+й1ех1г;->хи,=1],[-1,еиа;@)0.=оФункцияЛагранжа:4Л/ (А0(и2=+х) +р(хи))-й1А,а;(О).+оНеобходимыеа)условия:ЭйлерауравнениедляЬлагранжианай--МЬ)трансверсальность-М4)Цо),=оптимальностьпо=-1,D)р@)^=^р(х-0;=^+А(а;(О)=р(А)А,,==0;ри}-=Аой2рй;-неотрицательностьАоЛагранжаАо+-ртерминантадля{А0и21шпЕсли<=>х)+иое[-1,1]A)0=хпоМО)с)Ьх+агА0(и2=Аооказались=0,то^0взадаченаминимум,Ао ^0взадаченамаксимум.=0изнулями.а)риизЬ)р—\=0—всемножителии)§ 1.
ПринципВрI=задаченаИз4.—ПонтрягинамаксимумаАоположимминимумс)условияТогда1.=223случаеа)изр1=иЬ)изчтоследует,0<*<2,-1,вщпр,иобщемв«=>—Рх=22,--4.ГИнтегрируя,получаем--21Изначальногох@)условиянепрерывности1точкевобразом,(ДокажемсРС1([0,4])взятьнадов(х+чтобыфункциюк,в(х)1-40 <вминимумтакую,к)--2=+кJ+х+к)шI2жD)поIхк(И+0,первом4.4I Н2й1^>к<И+синтегралеучетомI+00условийк@)кй1.+к)-В(х)2хк^4[(-2$+\)кй1+Подставляявпоследнийдва,2[(-2А+1)к(И+1)Л<Й.+онайденнуюинтегралнаинтегрированияI\-2х=оотрезокЫкполучим4В(хI200вчастям440=этогоИмеем0.о4ИнтегрируяДлязадаче.=Е[ф2-о=хкфункциюк@)1,функциячтов^Таким2,^допустимой\х +к\условияиза1.проверки,Возьмемзадаче.былакоторойдляI {{&=к+х0,=С2О-С2=+*непосредственнойпомощьюабсолютныйдоставляетС\чтовыводим,имеем-«,I2<х=0=2—4.2С2,+функциюхиимеем24[(-2х-+\)кй1=[кМ^О,разбивая=0,224ГлавакA)ибо0^.такВрИзI.—Интефируя,Ао{-и25)§пр—ри}-^=Тогда1.—-и2=4])а)изр=1—ирй-чтобык,функциювзятьк@)к)+ОбаКак0.=-интегралак ^2 +В(х)=проверке2I0,вокIхНй1+=I ЕаЬзтах;1^^к)-В(х)к\ ^0,<0,Длякэтого1 О-—€надо2 ^к0),^имеемпервомтакСледовательно,+задаче.+1{2вквк(И=IхфункциюминимумнаН2 й1+интеграле|1(О-посколькувторомубывает).к\0—функциячтоВозьмемзадаче.экстремалиВ(хх+х@)условия2.=допустимой|^4.проверки,бьшанеположительны,афункция(т.е.кI <начальногожвкоторойдляприи+х0 ^1,—Измаксимумтакую,2)—образом,непосредственнойабсолютныйРС'([0,DС.4 +=Таким0.=з%п=помощьюсдоставляетВ(хх—СчтоДокажеме.неотрица-с)условияполучаемвытекает,т.[О, 2]* €причтопа0^Лположимпйпследует,киследовательно,и,/A-х)<И=+максимумна4=0,=2[(х2задачеЬ)изк@)[0, 2]какотрезкена4=управленияоптимального[0, 2],I еприк возрастаетхЕ аЪзгшп.(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
