Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

ИзбранныеПоформулеэтойфункцииа;иприточкевжп2=можног233управленияоптимальногозадачивусловийсилупредставитьналевомконцевидевтх(т)/==(г8Щз)-Аз&т+6-+оЦв)Посколькух(з)1 ^=любогодля[О, т],еятотЦт)х(т)-Г(т-в)A-=х(з))АзО,>опричемвозможноздесьравенствох(з)непрерывности1,=атолько,хA)тогдаВоспользуемсях(ь)—формулойдругойвоеслилюбогодляI €всехточкахнепрерыв-10, г].функциивосстановленияпоп-йеепроизводнойт1ПоиформулеэтойжвпприIточкег=2в=можноусловийсилуправомнавпредставитьфункцииконцехвидетх(т)I (з-=т)х(з)Аз.тх(з)Поскольку=-1х(з)<любогодляея[г,Т],тотЦт)х(т)-I (з--т)(-1Цз))Лз-<О,7"причемжB)ж(«)равенство=ТакимV3.2.жB)[О, Т].так,вчтобыТ=АэродинамическаяНьютона«редкой»сопротивлениех(т)чтоимеем,Отсюда=—1,атогда—этозадачадвижениюи,жB)следовательно,=НьютонаоНеобходимосреде.ж(г)Т.задача—х(з)еслитолько,[г, Т].* €образом,* евозможноздесьлюбогодляЗадачавращенияивыбратьбылодвижениюсопротивленииминимально.формутелателавращения234ГлаваИсторияуправленияброшенныхсопротивлениишараНьютонзадачуЗатемсреде.усеченногосопротивленияисследованииследующеежидкостейдвижениирассматривает«редкой»вцилиндраи«Отел»,философии»натуральнойначалаозаглавленномразделе,сопротивленииприоптимального«МатематическиевышлигодуВ седьмомНьютона.иЗадачизадачи1687В4.Ньютонконуса,кривойопустимнаосьзаданнойточкиперпендикулярАВсопротивлениенаименьшееиспытыватьтакойтелдругихсредиНьютонОпубликованныерезультату.осьТогдаесливиднособственнодажекнеэтогоАВР■ВС1'АВ,осибудетредкойсредекпришелНьютонаэтомурезульпоказывают,былипотомкоторыеисчисления.Ньютоназадачаисчислению,разрабатыватьсяначалаотноситсякаоптимальномутольковсерединевека.ФормализацияСопротивлениезадачимассыбудемпригосивышеслойЛТ,поясобъем«вытеснит»столкнется(IVснателеN—р—ЛУ=среды.(р.Предположим,—р—2тггйгу(ИчтоучастокЛег.времяА1йвнаклоненЭтомуэтотпоясйа.площадьчастицами,тшплотностьЗа2%гАгАгЭлементкольцоописываетгдеобратном14).(рис.Vвращения.2эггйгг/<й,=Мышарами.направлении,вдвижетсяскоростьюОхвокругсоответствуеткольцухсосредевращениичастицупругимипредположения.осивокругописаннойвхсопротивлениянеподвижныхизабсолютноэтоговращениятелозаконовотзависитсостоящейсредуявляющихсят,придерживатьсяПустьосисебепредставлялфиксированнойтакжетеладвижущегосяНьютонсреды.угломТопро-местооколоконструкций,вариационномукотороготеорияуправлению,точ-пересеР.точкеСРондальнейшем,ввимеетЕСвариационногосозданиибудеткаквпрямаяАВпересечетматериалымногихприНо,времяэлементамивладелонкактому,нашекривойкширины.идлинывиспользованыэтомжеобъяснениядалнепрякаса-вышеупомянутойвзадан-изпроведемЭтаN.ИИкривойвращениемиСпорцияполучающеесякри-параллельнуюточкетелоИзЛГточкикасательной1313).(рис.криваяпрямую,Рис.неко-—произвольнойнаделаетОИЕСнекотораячтосо-утверждение.Пустьтоо«Поучении»,вПриргдекосиг—под§ 3.

ИзбранныеТогдаоднаударившисьполучитпри-импульса,приращениет(г/2щ)-\щ\}щ\=векторнормализаконуполучитравное-2тпусо8<р—V,=-третьемупЛТ,.ПотелоимпульсаЗабудетсилутоприращениеимпульсанаправленовдольп,т.е.вращения,осисократятся,такком-—ортогональныесуммарноепри-будетна-модульихосисоксилусоя<рследовательно2рЖГУAгсИ=<рйТ.поясам(т.<рйг,всемпое.это2гсозйг),элементамАРйЬ,ПросуммировавАрггк.=<рйгт.равноприращениекгде2Арпь=<рНьютонасоз2Аржу2г—,2тг/со5тзаконавторогойРвсем14Рис.равенИ2тпуВавекторапгбудеттакихN,симметриикомпонентыего<йвремяприращенийвтре-Ньютона,приращениекакп,■единичный—к2тпусо8<рп.поуда-частица,слойо235управленияоптимальногозадачийРполучимгйгЧ-СО8=<р\Ах\Такимобразом,гзаменивIнаЯиТо,наэкстремальнуюполучаемзадачу:1Очевидно,1 +'—г=былх0Iприпротиворечие,т.стеломх^0.ФормаТакимнавращенияэтомусловиюПолучаетсязадаетсязадачифункциейменьшетемтеле,использоваласьсталкива-частицаслучае\хA)\чтобытак,неявновкДействительно,интеграл.профильтолькообразомтела0.малыйформализациив=хA)ломануюугоднокактакраз.одинх(Т0)равназазубренчтотом,профиля,монотонностьтребованиеболееввыбравскольчеме.Дело0,=интегралаиполучимсопротивление.сталкивается[0, То],ебольшим,оченьграньнижняячто^я?@)тш;добавитьнужнох{1)такой,236Главаж@)чтостолкновениех(То)0,=4.( (^—средычастицыЗадачиоптимальногочисло).заданное~учитыватьтолькозадачаоптимальногоФормализованноуправленияДляодинчтобытого,налагаемраз,столкно-условиеи^=00.выписываетсяуправленияобразом:следующимТо^/тшп;->г1 _(_хж@)0,>ии,=их(Т0)0,={.-оФункцияЛагранжаТоЛ=оНеобходимыеусловия:а)Ь)с)Эйлера:уравнениепооптимальностьй)неотрицательность:ЕслиАовытекает,При=хАо ф 0.0,приэтомтогда^<рсЬито(еслиА1;сопят);р(Т0)1 +Ир=1р0.—0нули).=0.Ао=(есливозрастаниемИ0, тоМинимум0,=иПоложимубываетмонотоннор@)И—0,0,чтобы>0Фрто<рнеобходимо,из0,чтоПустьйB)1 +Лагранжаесли(о-==—<Ао ^ 0.=множителитолько,0=х:и:>-и^ивсер—потрансверсальностьр=1.Тогда^0,с)изследует,вт.хе.и0.Изж@)условияЬ{1,и):=йA)должно0=с)ври—■——^минимума).достигает—конеченминимумафункцияуправлениеА2=с)достижениянеАхчтосоотношении=длятоиЬ)изЕслинаходитьсяуравнениязначенияхмалыхЗначит,ттХ/(*,Моментизломаи)=I >0Х(*,0).управленияТакимг2й(т)ти)Х/„B,производнаяобразом,ихарактеризуется>=уравнениямиг0для<-'тлюбого^.0.^и^™.§ 3.

Избранные(второеуравнениеминимумовпервогоизB)соотношенияи2(г)и0),^Послеизломарешениеравенствооптимальноере-удовлетворяетA),соотношениюизпервогоизполучаем(ибоI=сноваB)—2р.=соотноше-которогоследует,чтоихАхаЬихи—аиаъсоотношениеэтоспараметрическиеаиучетомчтопооптимальности=х(Т0)0,их(т)=хдоставляетидлялюбойз\3и+/й(т)0,—Интегрируя1.1,=получаемкривой:ж(Т0)условияНьютона.кривойПокажем,+2и—оптимальнойначальногоиз1/(V—2равенстваискомойопределяетсярназываютр=аиуравненияКонстантаяг(О)аЧ<И3и=—-—15Рис.2иНори—чтои(т)Отсюдауравнениягнаходим,тогдаиЩи)Подстасоотно-второе,во=совпаденияуравнения1.=О,0)237управленияоптимального—т).точкеврЬ(тусловие—ПодставивB)вЬ{т,и(т))задачиабсолютныйминимумдопустимойфункцииЭту^.=вкривуюВзадаче.ехРС'([0,силуТО]),{,х\1)^0-10Интегрируяэтоисоотношениеучитывая,/ хA)что<МхA)=й1=получаемТ„То1А1Значит,жСопоставимНьютоном.ОбозначимеполученноеМЫрешение-I,ВМс=х,Ньюто-полученнымрешением,ВС=г,уголБСР=<р.Тогда^,238ГлаваНьютонапостроенияиз1ё V=—.ВС?Такимобразом,-ВР=>•IАВРВС2СРНоэто(х2роскачокна-г/2.=3.3.С(уголг=вПримерыРешение.к1K/2задач«затупленность»тамравен135°)обIJАподставленокотороевт+кривой«Поучении»егох1(х2A),чтоибылипоусловиесуществуконусе.усеченномуправленияоптимальногох@)2,и+1)г2.+1.ПримерЭтуфункцииобозначения:хгзадачеможнозадачувместовводяуправления,т3(х2(ж2=Атхт2еще,Ньютономпредусмотрены+соотношениеОтметимточкевВС21)^2г+какиное,чтоне—значениеВР2=НьютонапропорцииизСР2тх,=СР3МЫуправленияоптимальногоимеем±(<)=Задачи4.=х,оптимальногоХ2их,=Тогдах.=0.=управле-A1,12)вектор-функциюхжB)=оптимальногозадачексвестиж@)=инашауправлениеисведетсязадачауправления:2/■±1ех!г;х2,=х2=и,оФункция[-2,€и2],1,@)=32@)х2B)=0.=Лагранжа*2(\ох1+р1(Щх1-х2)+р2A)(х2-и))<11А=+\1х1@)+\2х2@)+\3х2B).С*+оНеобходимыеа)система(х1~х2)+р2A)\х2-и)условия:Эйлерауравнений=0I^дляЛЬлагранжиана\й(*)==Аоу-С;§ 3.

ИзбранныеЬ)B)трансверсальностьЫ°)Ы°)по=хЬ±1B)-М2)1„@),«„@),=с)оптимальногозадачи=пооптимальностьIтерминантадля-1Х1{2)-1,2B)=р,@)й@)<=>•<=>•АоФ 0,С'с)иили=тоа)изиначеиР1A)Iр2A)что2,=вс)случаяхминус0,=-А3;р2(г)наИнтегрируяэтосвой+СиС2,(-21ж@)21+хB)=г1.ИнтегрируяС".иПолучили,отрезке@, 2).Енаоси[0, 2],илиИ,значит,равняетсяминуснадвухвусловиямплюсдвухпервыхОсталосьнет.0<*<т,тI<0 <*<г,г<*<2.непрерывнойраз,еще"?-2.<вточке<2.получаем«+С2,1 <*Ь)изО—должнабытьфункция1+С<К«<■21,«-4,=с0.=чтонаходим,равенство,=+А-г+такогожB)=выяснилиначальнымIПосколькугужеА{1+тождественнозначение2концахнаточкемы42■=вершинойизнакотрезкекак_навнизсвоеНо•условий-=всемменяетг.ж@)а) р\A)2Jиза)изЗначитфункции(Iнекоторойвйа;—ТогдаПоэтомунулями.существуетж@)меняет0.=откуданаправленныминергбы—2,=концахудовлетворяющихслучайоткуда=+2],[-2,Ь)изинечтоплюсточкежилиминимум.илиилидвумрассмотретьИзА2,оказалисьнаследует,нанекоторойфункций,С=случаяхуправлениеиливобоихр2A)минусасрг2=ветвями,соптимальноедвуммаксимум.наа)изпараболаегоминимум,нахзадачеследовательно,меняетдваI=далее—назадачеусловиям2,-задачевчтое.ВВ2.+Ао=в0Лагранжат.удовлетворяющейПолагаемиз=р,B)р2B)из0следует,—2,=В^+>^множителивсеилиI2—0,=2=а;вида,1А,,Х2х2@)+неогридательностьЕсли=из-[любоеАоАор2А1ж1@)=иоб[-2,2]й)239управленияг,то—2т=2т—4,240ГлаваИзвначальногоЗадачи4.ж@)условияточкет1:=—11=оптимального0=ДокажемРС([О,2])такую,надовзятьфункциювминимумчтобыК,К+хпроверки,Возьмем\х2Имеем^(x(■))функционаладляI~Длязадаче.й@)2,<хКфункциювК\+функциячтодопустимойкоторойдляэкстремальк*<2.задаче.быланепрерывностидопустимуюнепосредственнойпомощьюсабсолютныйусловияинаходим2,+0=2=х~и-идоставляетС)О-СгО-Сг4 +—управления=й@)€этогокB)=0.=хй1о2I\х-IхйЬ=П)й1-+0ИнтегрируяР2B)по0,—2I0дваждычастям=IКйр2.1р2Ъ,ш=--00й@)условийучетомсй@)=^(ж)—^2■■/ /ф2от—йрг=^о/}■п,ар2=2ЛР2—""оУ22С-ГI/ Ь,Р2Шоотрезокнаинтегрированиядваучитывая,ичтоI1Л)3{хобразом,Прих€./(А)-=/-IКр2й1-Кр2й1^аЬзтхп.этом=[хй1=I-I1ш+[(I2-141+82)А1=—УоимеемТаким0,—2}=■РазбиваяНB)—получим2й)Пш=0.I2<и.Избранные§3.Ясно,такчтомножество1{х)наПриведемфункцийсимметрично5тах2,=относительнох,относительнонуля.Т->тт;Х2управле-(ж1,ж2),управлениеиж,=Ж!@)Функция0.=ие[-1,3\,и,=х2х]~х2,иж,=х(Т)=оптимальногозадачвидукж@)-1,=вектор-функциюхх,=х\х(Т)1,=задачуфункцииобозначения:Х1(Т)1,=х2@)-\,=х2(Т)=0.=Лагранжа:А0Т+Необходимыер2Ц){х2аЬктах,(Е—жфункциейнечетнойх@)вместовводяа)максимумявляется-1<ж<3,Решение.управления,241управления2.Т-ишп;изадачидопустимыхПримероптимальногорешенииприфункционалкаказадачиА1(ж1@)-+1)А2ж2@)+А3(ж1(Т)+1)+А4ж2(Т).+условия:ЭйлерауравненийсистемаЬлагранжианадляр\{Ь)(±)=и)-х2)-+ЛйЬ)потрансверсальность+ А3(ж,(Т)А2ж2@)+1)IтерминантадляжРг(О){Р2Ц)}и€!-1-3]й)е)А4Т:поАо-р2(Т),то,получаем,чтой(<)>неотрицательность:Учитывая=р2Ц){)стационарность=АьР1(Т)=А2)р2(Т)1)-=-А3,=-А4;+ипооптимальностьА^ж^О)+А4ж2(Т)+()с)Х0Т=АТ(Т)^=что0условияс1)<^=Ф>изАо0.начальногоиз<^I любое3,=равноси.чьноследуетусловиюр2(<)р2Ц)3],[-1,+Азж^Т)+х\(Т)Ао=А4ж2(Т)==р2(Т)й(Т).0,0,0;>=аиз0;Ь)242ГлаваПоэтомуибор2{Ь)С{1&т.е.всемножители-Т),СВ-1~обоихнаобразом,нетождественнонаотрезкенеменяетмыужеАот€а[0, Т]@, 2).Первыйнетдопустимыхзнакнах1—наПосколькуудовлетворяющейтак\~менятьПричем,еслийЦ)Такимфункция,свойзнакфункцияВ3.=разодинр2обоихслучаяхнекоторойвкакпараболытогдаточкезаданнымисИнтегрируяЪ1ж@)С2,+второеравенство,РС2([0,бпоэтомут,Т]),-т==0имеемфункция\-С,3(*ж@)условий=тО <'ТJОтсюда—.—ЪТI <—,+Т'=—^непрерывностичтоТ=——.вТакимобразом,4^1 следует,что9Т2ЗТусловиянепрерывнойЗТх(Т)1,бытьдолжнахоткуда2начальныхт,ЗТТ),--I <0 <то3(т<1^Т.тх{Т)=2находим,0.=линейнаяможетровнопересекаются.неконцаххточкеизВ2.+экстремалей.[0, Т]Ь2а3,=В^+х(Т)=—илий{1)3—=а)изиличтоусловийИзилир2раза.=Значит,-1=вида,р2-«,вА2а)п.и(<)невозможен,концаххИзй{1)с)изнулем,возможности:двенанаходим,точтослучайусловиями[0, Т],нулями.что+ЗначитодногоменяетПолучаемусловийсилубы-1,ж@)экстремалей.=отсюданотождественнымтакогодопустимыхболеенапроверили,А^+—х(Т)нулю.незнак-1,нетВ1.=р2=функции0=с)следует,О,—бытьбылих=й(Т)либо0можетизтогдаравнаяПоэтомууправления=нер2ж@)АосвойРг{Т)существуетконцахПолагаемтоЪ, откуда=случаев0,оптимальногоЛагранжанеслучаяхЗадачиэтомФ 0,&илиусловиям=При0.=иначе=Аоеслир2{Т)вновь4.тточкеимеется=—:единственнаяС=1- 11,Х>=ЗТ2=допустимая—1,1§ 3.

Характеристики

Список файлов книги