Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ЗадачаПокажемнепосредственнойпомощьюсабсолютныйдоставляетС2([0,1])вминимумчтобытакую,к,к+хфункциювзятьнадо207ЛагранжабылакA)=1^(x(■))функционалаI х2=<МДляфункцией.к@)хкфункциюдопустимойкоторойдляфункциячтопроверки,Возьмемзадаче.к@)—0.=ЕэтогоТогдадляимеемо111111(х-\К -к)1—(х)КИнтегрируяСгч2••/ (х+к)=Ууподважды1хУсчастямжA)трансверсальности/"-2М-0,=й1образомГ••■•хк(М+УнаI/у2 к<й^2^кфункциюиУ/Гл;хпусловияполучимIх(Ъ)кй1-2ТакимУIусловийучетом'абсолютный2=разность*+2-2&(ъ)П=неотрицательна,всегдаIестьтоимеемминимум.=[(-311'х<и,=Найдемабсолютныйвх„A)=1/(*2-9=максимумфункцийдопустимых3J<И+ТоВозьмемзадаче.+п12AхA)]);-последовательностьтогда1=т.е.5тах6.4.2)J-<И—>■+ооппри—>+оо,+оо.=ВыводизВернемся/уравнениятеоремыкзадачеЭйлера—ПуассонаЭйлера—Лагранжастаршимисопроизводными:{1,хA),х{1),Щ,.
.,х(п\1))М^^г,=я!у>к=0,1,. .,п-1>(Р)з=0,1.A)2083.ГлаваПустьТеорема.Ьх(к)некоторойвнепрерывныСк([1о,€функции1х\),к1,. .,=Доказательство.Лагранжа,ип,Приведемзадачузаменупеременныхсделав0=Эйлера—Пуассона*1].*€[*„,VпроизводнымистаршимисоТогдаГ&-±^).уравнениевыполненоне-—графикааг*=оЬх,. .,Ьх(лЬ,ЬХ,расширенногоокрестности1>1)*;=Л«(*)задачеисчисление\у1осех1гР,€хВариационноехкх^к~1\=кк1,. .,=за-п,*1/ 1,A,хиХ2,. .,х„,х„)(И-кааг,МЬ)Здесь=переменнойфункциязадачевектор-функцияЛагранжанеобходимыеусловияэкстремумвЛагранжато(Р')(хх,. .экстремум,хп)Выпишем,хп).Посколькустаршимисозадачев(х\,. .{Р').1,. .,п-1,=0,1.=вектор-функциялокальный(Р),производными^к=1,.
.,п,хк-ц,являетсядоставляетхкхк=хк+1,про-локальныйдоставляетЭйлера—теоремесогласнолагранжианадлястационарностип-1ЬхиХ2,. .,хп,хп)\0Щ,=^2+рк(хкхк+1).-к=1Терминальнуюфункциичастьусловиянеобходимыесзакрепленныминевыписываем.экстремума,неконцамиаиграющиесущественной=],. .Ао=отрезком+задачеинтегрирования,0,=0а.1й~,п'Есливроли—кР\необходи-остальныеЭйлера:уравненийР1итакжефиксированнымиСистемаЛагранжа,0.ВыразимпроводяЭйлера—Пуассона.О,=ВсеизтоЛагранжар„_1этуизпроцедурупоследнегоЭйлера—р„_2,. .и,р\,Рп-1~О.—чтоследует,Ао фПустьнули.уравнениядляАо^а;„+уравненийсистемымножители~ТГ^оАг.аъ0.вподставимпридемвитогерп-.\==..АоПоложим=1.предпоследнее;куравнению■§ 6.
Задача6.5.ЗадачиЛагранжа/\х<И/±2<й->ех1г;<й->ех1г;6.1.отГх2<ИГхМ=1,ех1г;->о<#I хМ=-,ех1г;->ох(Т)1.=о/ х2й1хзтШех1г;-+ох@)1,=0.=о11[6.5.3.=г/±26.4.х@)ог6.3.ж@)=1.0,=от6.2.209Лагранжах(М-+ех1т;оу/\х2+<й|,=жA)0.=о1/ж2<й->ех1г;6.6.ж@)±A)=±(О)О,==1.оеА2ж2й*6.7.жA)ех1г;->=ж(е)-],жA)==е.17Г/(ж26.8.а;2)-<йж@)ех1г;->■а;(тг)=а;(тг)0,=1.=о1[(х26.9.+х2)<И->ех1т;х@)жA)0,=х(])зЫ,==от/2/(ж26.10.-х2)А1ж@)ех1г;->■±@)=ж(|)0,=1.=ог6.11./'х2МТ->ех1г;=1,ж@)=ж@)=ж(Т)=].0,о16.12.±A)->ех1г;[х2М=4,х@)=х@)=х{\)=0.210ГлаваОтветы1.1.1е1.2.1.3.1-44$-1■121п2\1.6.1аЪзтт;5,™=еаЬзтт;5,пах=+оо.1;^щ^5,пш=л/Г+Т(I1.9.1.11.*3*31)+сЫ1.13.сЫ-1.15.(*1.16.соз21.17.(*1.18.2соз21.19.VI1.20.л/2«1.21.Допустимые-1)сЬге1)зЬге€аЬзтт;е«2-С—Готремалейвкниге5,^8тах>имеютсянет,[ИТ,+оо.=с.427].виданаусловиядопустимыеопределяетсяПодробноеСконцеспприизсистемыисследование—ГогдеООпри<кон-Причем^.=—-экстремали,экстремаль,+оо.-линиицепныедвеагде8тах—,+оо.=+оо.допустимаясЙ1т,^т^-—;=+оо.изаСсЬ+оо.=+оо.—=—отыскиваетсяоднаимеется—^тахаЬзтт;5тах—-—;=экстремалистантатЗт^=Ь38Ь25тшаЬзтт;е+оо.=0;=аЬзтт;еI2+оо.8,^5тщ1 зт*—-приаЬзтпг;^1осех1г.+оо.=5тахаЬзтт;е-^тах=аЬзтт;1)-+оо.3;8тах(*+оо,=+<х>.===аЬзтт;е-—(I5тах5тах-оо;=^пшх5тшаЬзтт;е+оо.=аЬзппп;е+оо.=+оо.^щщаЬзтт;I е-^тах1;+оо.=+оо.==^щахз1г1оспип;е—21п(«1.14.2J41.10.1.12.аЬзппп;е—5тах1о1)=5тахаЬзтт;1.8.--гт;5ПЩ,аЬзтт;е+оо.=+оо.=€23б'щах8тахаЪзтт;е1;—аЪзтп;€-1.4.1.5.ЗщтIисчислениеглавыаЫпип;1€Вариационноезадачамк—3.=—Гоэкс-допустимыхауравненийзадачиасодержится=зпг,«Ответы1.22.Экстремальа21.23.х—A=экстремальдоставляетсодержитсявхA,граничногомействадвеВслучаее12.4.зга*2.5.соз«2.6.@,0)К»))1п(*2.8.++-1п2.11.21п(«3.2.—;012-\5тах1)+1е5тах^щ^аЬзтш;5тшюсехгг;е===5тах+оо.=п);п);(п,-п));8тах8тжаЬзтш;б/4*3+оо.8тт8^^=+оо.(^п(*)=5тах+оо.==-оо=|/ ^;+оо.=гй);8тзх=+оо.+оо.===+оо.=у/Г+1,аЬзгшп;еносянижняя+оо.—+оо.=экстремали:е3 +^^тахаЬзтт;1 еI +-х),I,осях5щахаЬзтт;2,(х„A)-ооаЬвппп;1 е-е-Допустимые3.1.1)+{хпA)-оо=={хпA)-оо=8^8^однаимеетсяэкстремума,п);име-экстремалей(в=Н+оо.=5тш^ 1осех1г;1 ^ 1осех1г;0 1осехгг;2.10.2.12.8тахсоз*--4п+оо.=аЬзтш;€+ь2.9.б'щахзт1(х„A)-оо=—допустимых8т!1ХноситТ2( >Клокальногодаетминимум.5^аЬзгшп;€КАпсе-кривая=верхняяне^1осехгг;—сЬ*2.7.3эта^То<экстремалейсильныйдает+^приизэтогоприприиме-отыскиваетсябаллистикеПричем0,=огибающейбезопасности).двух{настильная)(вЪ.4пнавесной,задачих@)СУравнение(.I2экстремали,названиеносящаяиаДопустимаяусловиюКонстанта.=экстремаль,нет.2———-I=допустимыедопустимая2.2.хкривойются1+С2+Константыс.условий.Исследование+оо.=следующим113].с.х(Та)виднаименование2.3.С1=имеет+начальномуусловия*2Зщ^[АТФ,апт)-начальныхаЪзппп,С)(т——удовлетворяющиевид2.1.IизкнигеЭкстремали,юта2отыскиваютсяоднозначноформепараметрическойсозт),-2113главывзаписываетсяобразом:сзадачамк+оо.+оо(хпA)=2123.3.(х3.4.(х3.5.(ж3.6.(х=---1-21,=И3.9.е1^=:2зЬТс11*,3.11.\/\3.13.Допустимые=21I2>То4.5.I1 е+3*-96<2-зт+а+оо.€4.8.* еаЬзтт;4.9.±ч/2зтЬг2,-5тш* +Допустимые5тах—;Тоэкс-допустимыхауравненийа5тах=константазЬт,=+оо.+оо.=8тахаЬзтш;1 е аЬзтп;5га;п5тш-;^тах=±%/2зттг*^е=2е22е+-5тах3;+оо.=+оо.==й+оо.=+оо.еаЪзтт;5п,1Пж2;=Зтш+оо.=+оо.=экстремали—линиицепные±Свида1((сп—VС>0отыскиваетсяизусловия2Сзп=—С—СгргдеТо+оо.192;=<—а=—+оо.==8^=8тах5тахжб^аЬзтт;е7-*соз«;6;=присистемы5тах4;%.
Причем=Опри=Сэкстремали,из8^8^аЬзтт;8допустимыекон-где—,тСек—■концеIСеквиданаусловияопределяетсяаЬзтш;36«линиицепныеэкстремаль,=1.=+оо.=двеТ+Iе4.7.4.11.5,^—гдеаЬзтт;е261"'*е*4.10.2;=аЬзппп;ж4.6.б^Тимеются5тахМ-2п),=+оо.=изнет,-Тп-*,&к2Туравнениярешениедопустимаяесоз*1=+оо.—единственноеаЬзтт;1г,ас1кт;—-—4.4.(х„Ц)-оо+оо.=Т-однатремалей60*3+оо.==+оо.=+оо.Зо^отыскиваетсяимеется4.3.5^=аЬзтт;е€21+—Ъ125*35тах5,^-оо;=+оо.=8;=$ 1осехСг,2)экстремалипри4.2.зЬ*-С=5т1п5тах4;=б^б^хгдестантат5тшаЪзпнп;=5тахл/1хеаЬзшп;I €сок+3.12.]1,ТаЬзтт;еаЪзпнп;1) 01осех1г;=м3.10.4.1.-еисчисление+оо.I +3.8.=+=зтТО, Г=1)=±41,=8тах3.7.ТВариационное3.Глава/.спПричем—То\С/1,Ответы/при2Т0>имеютсяоднаимеется5.1.5.2.-2«3I45.3.5.4.5.5.5.6.++е+б*24*2*2-I +5.7.сЬ*5.8.*ег5.9.1Ы1соз25тах5тах^цщ,5га1паЬзппп;е5.10.*35.11.зЬ*е5*3-154аЬзтт;е6.1.8++оо.=+оо.=+оо.+оо.5^,,5тахе;=36;=2+оо.=+оо.=5тах-—;=аЬ8тш;е+оо.=+оо.==5т1п8тгх-оо,=+оо.=зааЬзпип;допустимых+оо.==5,^»аЬзтт;аЬзтт;е€5тахаЬзтт;е2То=+оо.=аЬзтт;Е2Т0/ <5тш5^З^5тах5тахаЬзтт;есЬ^соз^—132;аЬзтт;аЬзтю;е/припри?1осех1г,=1 е+хА1,-312)+8т^-О,=+оо.=аЪзтт;—зЬ<8тгх-Ы),(-312ЗЬ24*3З*3-*5экстремальнет,C12 -21,312экстремали,допустимыедопустимаяэкстремалей4.12.две2133главызадачамкДщах+оо.=+оо.=о(«6.2.3, Т=8тах1осех1г;(х6.3.6.5.2—ИЗтгIV-+16.7.(I+6.8.*=Л6.10.]/6.11.\±6.12.-*3(А0,=3«2=6*-+3, Т0,(А8тах==*2,=Г1) ^=8тах5тшаЬзтт;€I-+12=еаЬзтт;I)-\\=€-оо5тах+оо.=5т!п=+оо.+оо.аЬзтт;^щщ+оо.зт^ ^;+зЬ2=+оо.==-—;б^х-—,Т=(ж=аЬзтт;е8тях5т1п5т1п45тах^ 1осех1г;*2—,1;=аЬзтт;еаЬзтт;соз2=^щщ,аЪзпнп;€(зЬе+оо.=""г-соз*-5ттаЬзпнп;€е)ШзЬгаЬзтт;есоз«6.9.^тш=+оо.=зт2)+6.6.аЬзтю;+00.=-VIе=1, Г-^тах6.4.-)=-1,=*3-1;8тах«2е=аЬзтах;+оо.5тах=1.1осех1г;1) 04ГлаваЗадачиоптимальногоэтойВобщемвзадачидляслучаеслучае,Впятидесятыхпотребностигодахдр.)изадачадругихрядизадачНеобходимоеуправления.1956ученикамидоказаносущественноВажноформуинуюЭйлераЛагранжа:изадачиоптимальногонамаксимумразработкуР.ПонтрятинсзадачурассматривалусловиенеобходимыеВотличиеотуправлениевключениянавлиятьЗаегоиЕ.Ф.Мищенковвразра-сотрудникам1962годубылаииуправление:напроисходящийС\минимум,формули-иоптимальногозадачеМножествопроцесс.управленияограничениедополнительноеЕнаформе.впоявляетсяединообра-длязадачуоптимальности,лагранжевойЛагранжазадачижемырассматриватьусловиемусловиявводитсязада-задачимаксимума»).максимум,набудемматериаломсоответствующееформулироватьрешениипремия.прошлымназываяивусловиявспомогательнойПонтрягануВ.ГамкрелидзеЛенинскаяприсужденасу-имеетуравнениями«принцип—управленияВ.Г.Болтянскому,единообразияназваниеиучени-егоусловиеклассическимирешениевходитоптимальноготеориисобязательногокачестве(отсюдаэтоклас-Понтрягинымим,чтосравненииуправленияэтогоС.впоследствииотметить,ввЛ.развитоиоптимальногозадачдлясформулированное—сотрудниками.иэкстремумамаксимума»,былогоду,задачназваниеусловие«Принцип—новогорассмотрениеиполучившихзадач,(техники,дисциплинприкладныхпостановкустимулировалиэкстремальныхклассачеловекапростейшаяНьютоназадачачастномуправления.экономикиклассавмаксимумаРешаютсяконцом.аэродинамическаяоптимальноговсвободнымсобыстродействии,принципадоказательствоПон-максимумапринципадоказательствоиуправления.оптимальногозадачиформулировкатрягинаорассматриваютсяглавеПриводятсяуправленияVопределяеттипавозможности§ 1.
Принцип§ 1.Принципв общем1.1.Понтрягиназадачи(вуправленияследующуюВфт'+1,. .,т,тш;->0,=*=< 0,%иA)2о(*(.),! (•),=Д*ь<«О,«о,ГДСVVезаданный—множество,V* ех€множество—т,A)B)1ЕТ,Д,РС^Д.К"),конечный\,. .,=Р^Д.ГI»,€иXIотрезок,С«о,*!КгнепрерывноститочекВектор-функциятор-функцияа;иограничением.непрерывностиуправлениявключения,афазоваяхЭлемент^,ограничениядляуправляемымB)Iточкахгладкость.меньшую(Р)Д,€являетсязадача,закреплены.вседопустимымуказанныеилиусловияогра-идопустимымговорятещепроцессом.управляемыйДопустимый(локально)процессом),(или6^ Здесь*(-)Нс(Д)<РС(Д,К")имеющихкусочно-непрерывнуюпределыи1*1«.<М"<—длянапространстволюбогодлякоторого«•кусочно-непрерывныхК")Д)(О^(ж(-),и(-)L0,41),=смыслесильномДотрезкевектор-вектор-функций,непрерывныхпроизводную.разрывовчисла<в-Во(^)чтотакое,^пространствокусочно-непрерывнойчтослева<о|РС1(Д,функций,конечного1*0—соответственноНапомним,б,-называетсяоптимальнымпроцессауправляемого-0>(^(•))й(-),*0Д1)=говорятещесуществуетесли^процессоптимальнымдопустимого\ Х(-)непрерывно-всехиметьвыполненыкоторогоназываетсязадачи,обадажеA),ограничениеуправленияиликонцовточкахимеетсяможетоптимальногозадачиизодинвсехвохп)(XI,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
