Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Простейшая1.4.ВекторныйМысформулировалислучайтеоремуАналогичноисчисления.необходимыеЬгрантРассмотрим,х„(Ь))ввариационногоформулируютсяи,ж„)1пфункция—С1 ([го,пространствевектор-функция,п-мерная—,ж„,жь..задачузадачизадачавекторнаяэкстремума.(х]A),. .—Ц1,х\,. .=одномернойдляставитсяусловияхA)Пусть173исчислениявариационногозадача^],К)хинте-1+С1 ([го,х..переменного.^],К)«1/НеобходимыеизусловияИнтегралыЕслиинтегрант1.втеоремы1.5.тосостоятзадачеЭйлеравекторномтривиальнослучаередуцируетсяслучаю.одномерномупеременных,векторнойпростейшейвэкстремумауравненийсистемыДоказательствокехсг;уравнениеЕслиинтегралЭйлерауравненияЬЬA,—ж)ж,ЭйлераЬинтегрантЬA,х)=болеекнеоднойотявнозависитнесводитсяявнозависитперемен-изуравнениям.простымоттож,имеетместоимпульсаЬх{Ь)2.ЕслиЬинтегрантинтегралместо=(обаэнергии—Ь(х,х)сошс.зависитненазванияI,отявновзятыинтеграловтоимеетклассическойизмеханики)ДляравенствоЬх—Ьх-ж.=сопя;.ЬЬхх хвоспользоватьсяиуравнениемЬ'Ьх'х-=причто-х( (0выводеИнтегралэнергии-оимеетпродифференцироватьЭйлера:—Ь±также+Ьх)=0.мыэнергииинтегралапредположениедополнительноепроизводнойхA)ЬИОтметим,Замечание.использовали4подостаточноэнергииинтеграладоказательствапоследнеевторойсуществованиилишнююис-экстремаль174Глава1.6.3.Вариационноех2(ИисчислениеПримеры1Пример1.I=->ж@)шш;жA)0,=1.=оУравнениеЭйлера:Общеерешение:Докажем,'I=С\1онанадофункциифункциичто1]).Со ([0,6^(ж)—=У/ (&Л)+Г2..л2/ж<й—ОсИ>2уобразом,абсолютныйвсегдаразность/•е.дляЛ) > ^(x)+Г•хН(И+УУУ000-2/Л<й^11хШ-2хЪхкй1-210./(жсамое,I2=1Такимже111ГЛ)+тот.задаче,/($(•))>Действительно,11{х^(x(■))чтоили,вминимумпоказать,ж,находимI.=абсолютныйэтогоЛусловийначальныххдоставляетДлядопустимойлюбойИзСг.+экстремаль:чтоаЬяшп.ЕлюбойдляО.==допустимуюединственнуюхжжхАЛ-0.^-210неотрицательна,абсолют-имееместьто0минимум.Пример2..7(ж())/(ж2=ж2)-<йж@)ш;-уГ—)ж=0.=оУравнениеЭйлера:Общеенерешение:РассмотримС1ж„([0,0.минимума,функцииприе.т.жиусловийначальныхх0.=Покажем,начтоона(? Мосгшп.ж„—►^наж„меньше,221х„И)функцийдопустимыеноИзС2С0&Ь.+последовательность—1]),=экстремаль:локальногодоставляетчтожС1$тЬ=допустимуюединственнуюнаходим+жж=зт—3пространствапвОчевидно,—.метрикеэтомоПолучили,нечтоэкстремума.чтодоставляетуравнениезначениеслабогоЭйлерафункционалалокального—необходимое,чемИзминимума.ноэтогонедостаточноенапримерах,значитхвидно,условие§ 1.
Простейшая1.7.вариационногозадача175исчисленияЗадачиГ1.1.ж2<Я->ехИ;х)ЛЬж@)жA)1,=0.=о1/ (ж21.2.-ж@)ех1г;->жA)=0.=о1/ (ж21.3.1Х)+ЛЬж@)ех{г;->жA)=0.=о1/(ж21.4.*2ж)-<Иж@)ехег;->жA)=0.=ое[1.5.И2<11жA)ех1г;-»ж(е)0,=1.=1I/A+«)ж2Л-^ех1г;1.6.ж@)жA)0,=1.=о3/V1.7.1)ж2-Л1жB)ех1г;->=жC)0,=1.21/1.8.ж2ж2<иж@)еЯг,->жA)1,=у/2.=о4/3I1.9.^о<Иж@)ех1г;-ж(-)1,=1-.=1I ехх21.10.<Иж@)ех1г;-»=жA)=1п4.0,о1Лж21.11.+жж+12*ж)<И-уж@)ех1г;жA)=0.=о11.12.I A2х2+12ж2)сИ->ех{г;ж@)=0,■жA)=1.1763.Глава/(ж21.13.Вариационноеисчисление+ж2)+х2+4х$Ы)сН->ех1г,ж@)+х2+4хсЫ)<И->ех1т;ж@)<йж(-1)ехсг;->жA)==1.=-1,1—1[(х21.14.жA)=0.>0,о1[(х21.15.жA)=0.=от/2I1.16.(А2х2)-Л1ж@)ехтт;->х(-\1,=0.=ож/2/(ж2-ж2+4жсо8г)<й->ех1г;1.17.ж(О)жГ-)=О.=ож/2Мж21.18.х2--4жкт«)<йж@)ех1г;-»■х{^Л=0.=о1/2Г/-1.19.._\/{х2+-Д-»ех1г;ж@)-Д-^езаг;ж(- \2/ )ж(-)1,=л/3/1\=—-.о1.20.}/-х=—-,жA)21.=1/2То1.21.х^/Т+ИгсНI(задачао«11.22./Г(задача1.23.минимальнойж(-Т0)=•оехсг;ж(*0){=вращения).=х0,ж(^)хх=(ж0>а?!брахистохроне).ехсг;ох(Т0)поверхностих2I +[(задачаех1г;->стрельбе).ж@)=0,х(Т0)=^ (Л>0)О§§ 2.Задача2.1.Задачей177БольцаБольцаПостановказадачиБольцаограниченийЗадача2.вназываетсяВ(х(-))IЬ=(I, х{1),экстремальнаяследующаяС1([10,пространствебеззадача1у]):х{1))ж(*0)(ж(*0),+1<И(Р)ех1г.->«оЗдесьдвухЬЬA%х,х)—переменных.IфункциядопустимымивГоворим,вминимум6 >0длякоторой| ж(-)(Р)(хокрестностиС1функцияуравнениеЬ)условия20НсЧ[*о,*1])доставляетслабыйфункцииграфикаЬ,ЬХ,Ь%^]))ЬхЕж,С(О(Р^))),дифференцируемаянепрерывно—экстремумвточкиокрестностивТогдалокальныйнепрерывны—(Ь,Ьх,Ьх1\^дифференцируемаифункциидопустимойЯ-экстремумажР),слабыйсуществуетеслинекоторойфунк-(ж(^о),ж(^))функ-выполненыЭйлераВозьмем6С'([<0)*1]).(произвольную,Посколькуфиксированнуютофункциянож61осех<хР,переменного«1=являютсятрансверсальностиДоказательство.Лфунк-1Х\)доставляетх)функциюБольца,МосгшпР,6любойдля<функцияС]([*о,6функцияхпишемиВ(ж())>\у1осех1т6(О(^(^о),ж(^)))).AХа)функция—вариационногоС1([1й,классадопустимаяусловиенепрерывно—функционаломфункции(Р),расширенногоI6-ПустьТеорема.задаче1(хA0),хA1))=задачаназываетсячтозадачеНеобходимое2.2.функцияВ(х())чтотакое,Iзадаче.Определение.локальный(IВаэлементарная—Любыетерминантом.—трех,БольцаФункционалисчисления.вфункция—Задача[ Ь{1,хA)+Щ1)М*)+Щ*))<П+1(Що)+АА(*0),*(*1)фунодного178ГлаваимеетэкстремумАприДифференцируяВариационное3.Но0.=функциюи(рисчислениетогда0,=<^'@)ФерматеоремепоАполагая0.=получаемлУЛбС1^,РавенствоИФУНКЦИЙДДЯA)выполняетсядляСо ([г0,Л 6^])*,]).любойA)функцииЛСледовательно,С1(Ц0,6A)из1{]),значитачтовытекает,«1[ОтсюдапоЬ±функциязавершениятрансверсальности.A)соотношении(онодоказательстватеоремыПроинтегрируемпо^])ивыполня-условиявывестиосталосьпервыйчастямввозможнымстало«1интегралвсо-включениядоказанногосилу«1[щ1)щмПодставляя=полученное1A)соотношениеввыражениеЭйлера,уравнениедоказанноеПодставляявусловиямB)последовательноЬ±Цй)трансверсальностиполностьюдоказанаиужеучитываяполучим)теоремаС^^о,Эйлера.Дляк6уравнениеуравнение—Дюбуа-Реймоналеммедифференциальноевыполняется=кA)1х{и)0=1-1\=и^±(й±)Vс1([*о,Л еиНA)==-1Х$)-B)*1])*—*оТем•.придемсамым§ 2.
Задача2.3.МногомерныйМыслучайсформулироваликлассическоговариационноговекторнаязадача179БольцатеоремуодномернойСовершеннодляисчисления.БольцаформулируютсяиБольцазадачикласставитсяаналогичнонеобходимыеусловияэкстре-экстремума.хA)ПустьЬгрант=Iминант-(х1(г),. .,х„A))=ЬA,хи..1{х1(Ьо),. .,хп,±\,. .,ж„)взадачу2га+1функция—,агп(*1)),хпAй),ххA{),. .Рассмотримньк.вектор-функция,п-мерная—/ ь(г,хи.. ,хп,хи.. ,хп)<итер2гафункция—С1ф0,пространствеинте-переменного,^],К)перемен-С1(\г0,хх..^],Щ+«о(()УкажемнеобходимыенаэкстремумаНеобходимыеиусловия2гасистемыформулировкеприусловийвэкстремумавекторнойБольцазадачеусловийтрансверсальностиДоказательствож()теоремы,хп())((ж^),.
.=будетнеобходимыеж,()КаждоепорядканеизвестныхоЭйлераинтегрированииДлянабораполнотеопределенияправило,условийвонеобходитрансверсаль-такомдлявсехнашихзадачахестьнасихдля2га—уравнениймынахождения,говоримэкстремали.мыимеемполныйнабор2га—неизвест-количествокогдаслучае,Всегоконстанты.унахождениявторогоуравнениенахожденияуравненийколичествомнеизвестных.Б((ж[('),=условияидвеихВтрансверсальности.сфункционалслучаядифференциальное—присодержитсовпадаетКакдляужеинтегрирования.условийодномерногоЭйлерауравнение—ТогдаВ(ж,())доказаны.уравнение—констант—дляредуцирует-вектор-функцииуХ{().Х{():кромефункцииАга.тривиальнофиксируем,ж„()).экстремумапослучаеоднойот1(),.
.условиятрансверсальностивекторномкомпонентывсетолькозависеть,ж,_1(),ж,(),ж,+..вДействительно,случаю.одномерномуБольцасостоятЭйлера,редуцируется кех1г.случая.уравненийп))()изменениявекторногодлясистемыиз()условий180Глава2.4.Вариационное3.исчислениеПример1В(х())[(х2=ж2A)-х)(И+ехи\->оНеобходимыеа)условия:Эйлерауравнение—ЬхЬ)Ь*(\)1.Щ,=ОбщеерешениеединственнаяО;-С20,==хИзТаким-.=—.4вминимумобразом,Покажем,почастям2хЭйлераесли=0функциячтоудовлетворяетхурав-ж@)трансверсальностиусловиямиПш+2х{\Щ\)+Н2(\).0учитывая,и1+I0О=1отбрасываятакжеачтоДействительно,задаче.[к2сИ-[2хк(И+=-жA),условийтоВ(х+к)-В(х)ИнтегрируяС\-жA).=\-С\1+Сг.=экстремальабсолютный1]),жA)0,=г2хчтодопустимаядоставляетуравнению1+х@)^=>Эйлера:находим,АбС^О,2х<^=>-1,A)=уравнениятрансверсальностиимеется0=трансверсальностиусловияЫ0)онаЬх+неотрицательныек2члены(И0,х(\)и—Л2A),получим(х(-)+Л())-В(&(•))24(*)Л(')[=/B*(«)-+ОМ')*+о1+/ А2(«)Л+2жA)ЛA)+Л2A)>2DA)+*A))йA)-22@)Л@)=0.ТакимЪ-12образом,хв(х)==4[ (---+г-\шЛ 4/Очевидно,функцийхп{1)Задачи=п,=A1-ъ1\\\6=5гоахчтоаЪзтт.4/4+оо.Действительно,Чпоследовательность2.5.е=181БольцаЗадача§2.=1о/124+-га=п2+оо-+приБольца101/>(а;2+а;2)^-2а;A)8п1-+ех1г.2.2.о[(х22.3.+х2-$т*)Ах<й2а:2@)+2а:Gг)+а;2(тг)-->оА(а;22.4.а:2)-ш+а:2@)-{^Ла:2{^Л4а:+->ех1г.0/(а;22.5.а:2-2а:)-й*-2а:2@)а:2-Г|)ех1г.->о1ех1г.ое-1/2.7.(I+1)х2й1+(х(е2а:@)1)-])+->ех1г.о2/ *2а;22.8.й«2а:A)-а:2B)+ех1г.-+1е/ 20а;22.9.+хх)&1+а:4@)За:2A)+а;2(е)-132.10./4а;2а:2й1-8а:C)->ех1г.-4а:(е)-*езйг.3последователь-возьмемЯ(а:„(-))тогда4ех1г.п-+оо.182ГлаваВариационное3.исчисление1/2.11.ехх2<И+4ех{0)+2х2)(И32е~*A)+езйг.->о1[ ем(х22.12.2хA)(х@)+1)+ехгг.->о§ 3.Задача3.1.сподвижнымиПостановкаЗадачейзадачазадачиподвижнымисназываетсяконцамиС1 (А)пространствевконцамиПО/=/(«,',следующаяК2:х**)(«о, *(к),'о+(,-(<о,я!(<о),<1,я!(<1))=О,^где(а;(-),*о,*1),=Частным1о,1\^Д,Ц(х(-),Ц,1{)=*ь<идоставляет\у1ост1пР,если|<1-<,|<«.Теорема.экстремумвнекоторой=0,1,.
.,Д,€изЦ1\.<иликонцовПустьэлемент(Р)(^{Ь,ЬХ,Ь±С(О(Г^))),точкиокрестностиТогда—(х(-),\у1осехггР),расширенного€существует(ж(-),=и7(^)>^х(-)\\сц&)—^1)€любогодля\ х(-)<о,пишем<6,экстремума%е^(%)которогодляусловиязадаче(Р),задачечтотакое,(а;(-),@,*1),окрестностит.0>^элементвС1 (А),€хесликонцах.надопустимый6Необходимые3.2.A)минимум^=\10-10\<6,**0)*1одиндопустимым,чтосуществуетэлементаД}A)отрезок,условиялокальныйдопустимогодифференцируемы в1,. .,т,(Р)ехгг;->которойвназываетсявыполняютсяГоворим,слабыйI €=конечныйзадача,являетсяОпределение.вх(П))закреплены.Элемент€«1,»заданный—случаемобадажеАэкстремальнаяфункции1ц,^)доставляетфункцииграфикаЦ(*о,^(^о),*1,ж(*1))ненулевойЬ,ЬХ,ЬА1\~€локальный—:—непрерывны{(*,хA),хA))\дифференциру-непрерывно—(квекторслабыйС1(<0,множителей^(<оM<ь ^(^1)))Лагранжа>§ 3. ЗадачаА(Ао>=■■Ат)■)Кт+1,€{х(-),1а,11)выполненыЬ=Л183концамиподвижнымисф О, такой,дляфункцииЭйлерадлячтоЛагранжаI \0;A,х,х=условия:а) стационарности\а]{1,х,х)по--1А{1)ьхA)+хо=уравнение—интегранта~^Ш^^Шугед^0;=тЬ)трансверсальностис)стационарностиподвижных=0<=>А*,=0<=>НеобходимыевусловияЛагранжа3.3.к+&,+экстремумабудутзадаче-Ло/(*о)АоМ)++1хAо)М*о)Ц*,)*(*1)О,0.=подвижныминеобходимыхизконцамиусловийэкстремума6.2.п.Примерт1(х21(х(-),Т)=-+х1)Шх@)ех1г;->0.=оФункцияРешение.Лагранжа:тI Х0(х2А(х(-),Т)=-х+1)<11А[а;@).+оНеобходимыеусловия:а)ЭйлерауравнениеАахдляI*+ЬхЬинтегранта0<>-2Х0х=А0(А-—Ао=длятолько=сзадачеввытекать^2\&Aо,=(выписываетсяконцаминтегрирования):АкнепосредственноIтерминантаподвижнымпоотрезкаконцовдляхпох0;+1)1843.ГлаваЬ)с)Ь±{Т)4@),=2Л0г@)<=>(выписываемТпостационарностьАтЕслиЛооказались0,=0=нулями.ф 0,тоЛ10,=ОтсюдаС2то=находим,Таким1-х(Т)0,=ЛоНеизвестные0.ТчтохС\,Т|Покажем,^=(--(*(•),Г)>Тнеотрицательнаяи,7(^)+<в«,Г).7(^)С2-+Посколькуусловийиз/~*_[_4~;Т11допустимый—+1,2\.локальногоэкстремума,другойвточкеэкстре-т.допустимый^точке^.Действительно,Т,посколькукакТ<е.чтонако-элемент,больше,таквозьмемименьшеэлементТогдаприфункция.С\1~°'Т2(33+—-—единственныйсуществуетфункционала=1.==функционалазначенияа)-с)условия1.=~'2+СхдоставляетнеокрестностизначениекоторомТогдаопределяютсяимеется(ж(-),Т)=чтоегоС\2,=задачевэлементлюбойЛагранжамножители1.=х(Т)0,=чтоследует,образом,экстремальныйТконца0.=все—положим{Тпри0=1)+I2=подвижногодлях(Т)-чтоследует,Лоуравненияпервогох@)0;=видук-2хИз2Л0г(Г)Ль==толькоХ0(х2(Т)<=>Ь)изтоЕслипреобразуютсястоит=интегрирования)отрезкавIтерминанта-1Х(Т)=исчислениедляхпотрансверсальность-МО)Вариационноеподзнакоминтеграла§ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
