Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 15
Текст из файла (страница 15)
.,й,=1.хточкаО(Рк)являетсятогдаПустьхдопустимаякрайнейтолькотогда,—иАхтах;—»Ь,=(х!,. .=точкаточкой0,. .,0)(Р*),Х4,задачев0.>хмножествакогдаа1,. .,столбцы(хдопустимыхо* матрицы0,>х,-2?(Р*)).ЕТогдаэлементовАлинейнонезависимы.Необходимость.Доказательство.чтоДокажем,будемДоказательствоо*а1,. .,отвестилинейно—противное,Доказастолбцычтонаборненулевой0-=До-точка.независимы.существуетХ)^«а<чтокрайняя—линейноТогдатакой,хДопустимпротивного.зависимы.А1,. .,А*жителейо1,.-,»*столбцытогдаПусть—ЗначитАХ0=мно-векторадляг"=1А(Аь..
,=А*,0,. .,0)Iмалыхо*о1,. .,у,о1,. .,(хь.. ,х*,0,. .,0),(У1,---,Ук,0,. .,0),приточкахдопущение,ТостолбцыестьхО(Рк),62=1уA+=0,BЬ.. ,2*,0,. .,0).=этого1,. .,к,хтогдаотиз0Iчислоии>Аточкисуществуютхравенствау,г—противного.ТогдаотличныеИзготточкой.2,1)г.->х,гФУчтовестибудемкрайняяДопустимопределенностиДокажем,будемкрайнейявляетсянеположительнымДляо*.вновьхичтоОр,.Енашесоответствующиенезависимы.столбцыэточтотакие,IXчтоневерно.—столбцы,ДоказательствоО(Рк)+хЗначит,зависимылинейнохточкичто6:=означает,противоречие.ПустьДостаточность.противное,Этонезависимы.координатамточка.хB)точкануля.линейнолинейносчитать,ПоэтомуменьшеиПолучилио1,. .,о*столбцычтотаккрайней.являетсянеК".6больше,какусловий1)хчтоследует,условий@,6Ау=уЬ «•=-128Глава*Ь,=Аг2.Ъ=программированиеХ]2«а<■&«=1ь=^2(у{чтоследует,Этоозначает,нашеТоневерно.—Посколькуга)к>га;к,1,.
.,=Ь)О(Рк)элементовхточкаи(кга).<{о1,. .,неесоответствующиео*}чтоI унаше,га—допустимаячтостолбцыа1,. .шествуетненулевойбудемточках,атнеАлинейноневыроимеетБ^,60,>х{чтотогдах—Предположимпротивного.Тогдакрайней.которойк > то.точкаДокажем,отвестиявляетсяматрицы,0)(Р*).задачевестькрайняя,хт,0,.
.(хь..=Доказательствоточка.противное,хуопределениялюбаязадачеточказадачи.точка,Тоизследуеткоординат).положительныхневерно.координат,Пустьтолинейно(Л,0,. .,0)ЕК*=числодопустимаясуществует(в невырожденнойменьше1невырожденностинепосредственноДостаточность.крайняяпричемкрай-—будет1гдесуществование).га)<точкапротиворечитчтоположительных1,. .ЭтоположительныхгазадачигаБA\),га.Необходимостьневырожденнойровноменьшенеекупредложениюпокоор-> 0},исходнойустолбцовПусть(I ^1множествадопущение,менееIгакЬ,=еепредложениюпокнетгусто.Аматрицывновь| АупервыхБменеепервыеК*6До-противного.которойусамостоятельнокоординатточкойкоординатизмножестводопустимыхотпусть^это{уК",Тогда1>(Р*)).6га.=вести=про6множествакточка,Б(докажитеБкрайнейЬ)точкойсостоящаяматрица,—Тогданезависимы.имеетсякогдаопределенностистолбцыЗначит,крайнейтогда,задачедопустимаяположительныхчислобудетвмножествомножестваисодержитлинейного(х1)..
,хъ,0,. .,0)(х(Р*)=будемДляОтметим,точкаУточкасуществуетРассмотримА.матрицыкрайняя=толькокоординат.:=ха) ДоказательствочтоположительныхАявляетсятогдапротивное,координатточказадачаформе,допустимая—Доказательство,Допустимможетнекрайняятоневырожденная—каноническойв0,столбцовА,■(Р*)Пусть2.программирования>точкой.элементов.Предложениех,-являетсяненезависимыхматрицыположительныхгакрайнейлинейнострокх0.=Получиликрайнейзависимы.чтоявляетсяхестьколичестваболеелинейнодопущение,количествопревышатьнео1,. .,о*столбцычтоЗначит,2,)о'->"=1«=1противоречие.точкойгЛинейноепоЭтозависимы.1предложениюозначает,су-чтотнаборАтА^.. ,множителейтакой,^2 А^о*что1АХЗначитА(х+г\)больше,Ь=Ахтак0,хравняютсяи0для+1АХменьше+1ХАхпридемаТакиме.т.ноль,образом,(Аь..
,=Ъ V=нуля,обратитсянулю.Авектора=\1\,увеличиваятовектораили==хавектор+#АЕкслучаю,авсе+х2А>когданекоторомКп.60 приПосколькуБр,.остальныепри,0)Ат,0,. .I,х,еще=однапо—прежнемуI допустимаяПоэтомуIмалых+0.=1#А,->как0 прикоординатабольшеточка§ 3. Обоснованиех+1\будетпунктуа)иметьменееданногочто3.3.крайнейлинейногозадачуневырожденнуюАхтах;—>двойственнойчтоПринейкизложениидокажем,ихТеорема.крайняяа)ДеслисьА^1Ь)тодляесливекторхс)выполненыусловия#(Р*).г1,. .,т=—Тогда:(Рк),задачих*иэтомвектора0,<Стозадачизначениепроизводитсяк0.>сьХ,:=чтоувК").сьХ>—^0Д^0,значениеразложениеа1предложениюсьФ 0,йе1Аът.е.х(А*ьу,хь)задаче(Рк),ххA)=-(хьЦх>,-0)^,0)1е^+(еь..
,е„+1е.$ >0VIа>у—решениеканонический—0двойствен-{у,Ь}.=(Р").:=Ь=(у,Аьхь)=в(Рк**)задачевА):=А*уАъхьусловиярешение—(АЬХX~^с&уА^с&вектором=определенияучетомматрицыиуАьХ<»ссусловие=силув3.1п.хA)ТогдауАь{уАь,хь)=задачеПоложим-»того(сь,хь)=двойственнойЬ)подопустимымрешениякритериюявляетсясимплекс-методу.этосьА^1Кроме(Рк)(с,х)х'точкаИ(Рк),величинусогласноПреобразуем:=являетсяузадачетоэлементовнаД>0<»г-с>0<»2>с<»Значит,Ъ),иобратима.Дгвозрастето"а)пп.допустимыхНапомним,Доказательство.А/,векторовбазис0,>х,-(Рк*);0<множестваприа) ПустьвА^уточкойх', о1,.
.,векторовПоК",решениезадачинекоторогонеесликрайнейфункционаладвойственнойтеоремы.6—мыСейчасобоснования.элементовдвойственнойрешение—безвиде0,. .,0)допустимых0,>формеканоническойвтамв(хь.. ,хт,=(Рк**)с.+оо;=матрицахмножества>уданыутверждениеПустьточкабылизадача:следующаязадачирешениякоторые(Рк)0.>хявляетсяА*правилафактами,оформивпользовалисьновойпрограммированияЬ,=(Ь,г/)-тт;Зр,хформеНапомним,уневерно.естьсимплекс-метода(с, х):=нашеТо■ДоказательствоРассмотриммыЗначит,—точкой.каноническойвпротиворечитпротиворечие.являетсянехЭтокоординат.Получилиточкакрайнейявляетсяположительныхтпредложения.предположение,129симплекс-методавсилуусловия>с.130Главах-7^ 0допустимыйАхA)и(с,х)(с, х)=с)ТогдаД^ох'х:=крайнейх-=хгточких^наместахх'—0,х'таблицебазисепоэтомуимелидопустимойтовноль2Ь)предложениючислоуменьшаться.)таблицесимплекснойметодусим-построениях'3столбцыспособу.жеможетзадачеможета3,]Для=вэтого1,.
.,п,1,. .,п.новойвычи-Аматрицыа™.разложения:следующиежц1=1укоординатновойстолбцовак, ак+\. .,мы2а)положительныхостальныеиразложенияа1'0,о1,. .,старомх^о-якакие-аневырожденнойвсравнениюобратиласьпоточкичточтостроятсяХ;уга,указанномуПокажем,координатывкрайнейсогласнодопустимымпокоордината,Следовательно,]0.Имеемт;х'координатагаровноозначают,вычисляетсяявляетсяменеенечтоух'является6.=1,. .,=предложению(это(Отметим,формулыгУо-япога,приявляетсяонАх'у векторапостроениюимеетсях'что,п,положительнаяг'о+1,.
.,точка.таблицы.Втеоремы.условиечтовекторПох'г'о -1,симплексной1,. .га+=координаткомпонентбазисуЬ)ивекторвыводим,> 0координатау вектораВыписанныевычислим=выполненоп>чтоЬ)Посколькуноль.однаположительныхсимплексной^вначале,значит,и(Р*).положительныхЗначит,1,. .,крайняястолбецгоднатольконоль).а)пп.^ ^оПокажем—Х{кхпридобавиласьвчисло{Рн)-х,-0=задачеобратитьсяве5)+со.Докажем,пунктеви=х'обратилисьто—=условия**0 ел-0.+задачегкх{к-образом,векторомЦс,+с;)-—>1+тчтоКакх\сЦг,Iпритакого,ввектором.невырожденной+сохA)Значит,Ь.=Цсь,х3')--выполнены^„(х-^О)-точкойдопустимымТаким(с,х)(с, х)Ьо)+этомпри==1а3-величинаиВозьмемвЩ—►не]й% 0,Щ)++чтонекоторого0<новойпо-Ь=IЦ*А,--Предположим,для1Ае^+1{х3',0){с,х-=программированиелюбогодля=ЛинейноеЬАъх}Ах-=элемент(с,х{1))2.+а'°х,оУ,]=A)§4.Методыначальнойнахождениякрайней131точкитВчастностиприПоскольку]Ф 0,х^0ак]0=тоа{х(к^=о'0выразима{°хкк.+уравненияпоследнегоиз«5^*0иподставимA).соотношениевтПолучим}т,тТаким\Vх>оЛх«оЛ/образом,§4.крайнейПереходРассмотримзадачи.ПрирешениеисходнойПустьдвойственнойметодрешения=0,х-ЛгзадачеДстрокаэтомзадачилинейногозадачдвойственнойпрограммированиясимплекс-таблицыпоследнейпу-двойственнойполученнойрешенияидастре-намзадачи.намследующаяданадлянеезадача->тах;программирования:А*у^с,ппп;является(с, х)линейногозадача<&,»>->Двойственной=>т,точкирешениюкк1,.
.,=нахожденияначальнойпереходаг«о,■ЧЗаМетоды4.1.^*'XIпутемо',. .,базисуч/,-=1поразложенияформенормальнойвАх(Р)у>0.^Ь,х>0.(Р**)132Сведемэту(х„+1,. .2.кэквивалентнойзадачудобавленияпутемГлаваЛинейное,хп+т)единичнойиАх(с, ж)-<=>•(Р)Этаточкалинейноточки,х3.3п.двойственнойкесть8Р,Таким—А^столбцыкоординатамАЪХ>(^)-«■XпоследнейДстрокиА*у&>>ус,(Р).А^1А=ПриX-«■этомА^1А,=Пусть4г/1симплекс-таблицы,искусственныхлинейногозадачузадаче.лежа-переменных,дает+2г/2решитьппп;->у{Ь1+Згд+Ух+3/24г/25г/20,>вг-задачу:1,2,(Р)линейногозадачинормальнойпрограмми-(выведитеформесамостоятельно):27x2нам+20ж3->тах;переходаследующую> 15,> 27,> 20.даннойдлязадачаследующаяпутемпрограммированиянеобходимоДвойственной+задачи,(Р).задачи15а?!Аг^Р).Агё-Р**)-66векторвекторовбудет(хрешениемзадачиА=(х=частьРешитьРешение.)у(Р)Р:исходнойчторазложениямиПример.(*&(Р**)являетсяформе(получим,двойственнойпрограммированияК"+т.6посколькузадачисьА^1:=решениемисходнойрешениекуразложенияизобразом,под3.2,п.задачирешениемканоническойвулежащей,Ьт),0,&!,.
.решениемявляетсяявляетсяуаА^11=1являетсяТу^сТо8-рвзявсимплекс-методом,@,. .положительнымвекторзадаче(Ь,у)-^тт;X(х,ж)=хтеореме=(Р)независимы.векторпо-<=>•О>жрешитьточкусоответствующиесоответственноА=_ПустьТогдаО>ж6,=Предложениюпо/,ж1=А1).точкикрайнейматрицыэтой.4хможнокрайнейисходнойбудетединичной0Ь >0,>хх=(х,ж),векторомскачествеЬ,=тах;—►(с=(с,0),Задачу1х+переменных/:матрицытах;—►формеканоническойвзадаче(искусственных)неотрицательных(с, х)впрограммированиех{>0,г=1,2,3,это§ 4. Методыначальнойнахождениякрайней4х2Сведемэтузадачузадачек2.неравенстваформеканоническойв(искусственных)неотрицательных133точкидобавленияпутемх\,переменныхх5изаменяяиравенствами:27ж2+20ж3+0,шах;->г5,1,.
.,==4,+Х\Ввыписаннойканоническойхточку=@,0,0,4,2).столбцыпосколькуположительнымЭтаэтойбудутматрицы,линейноточки,о4первуюбазисТогдабазисными@,1).таблицухьзадачидляканоническойв152720а1а2а300а5а4а40493110а50214501000000002Д-15В первойсимплекснойбазис0а22272Д5272о,4.таблицысимплекснойо5навекторо00и4312разрешаюЗаменяемновогодлятаблицу:симплекснуюСстолбецразрешающийпеременныхвторуюа4-20элементискусственныхвекторстроим-27таблицео5, разрешающийразрешающая строкабазисе=п.положитель-независимы.о5симплекснуюСв1(Р):формебазисаПредложениюпосоответствующиеA,0),=точ-возьмемточкикрайнейбудетканоничес-вкрайнейточкавекторыСоставимпрограммированияединичнойкоординатамвекторами2.=первоначальнойкачествев5а?з+линейногозадачеформе4а?2152720а1а2а333041124274334и54135554_0310433"10040а514127а4427427423.2,134ГлаваВовторойразрешающаяискусственныхСбазисхь15а227Д>16и0,поэтому8рВ8р»авектор=16.исходной(Р),16.Метод4.2.Методт.=это61116являетсяреше-перемен-(Р**)задачирешениемискус-векторовзначениямиA,6)=Ахтах;являетсярешения(Р)задачирешениемЬ,=так,чтодалееи6,-<(А)координатывсе1х0и=Ь,точтообеумножимЬ ^ 0.искусственныепере-/,матрицу+6вектора0,считаем,единичнуюАхтах;0.добавляязадачу,хп+т)программиро->хнапример,Поэтомудляиспользуетсялинейногозадачесчитать,не-1.на(хп+1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
