Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 22
Текст из файла (страница 22)
.,х(п)++ХН{п))А1иэкстремумимеет61(&,Щ=*к..*">Су([«о,«,])ЛприфункциюДифференцируя={(,@,(){ЛНо0.=Л/ ( 5^Хв(»(«)ЛD)(«)С"([«о,«1])|]Л<*>Aо)=АD)(<1)0.—получаем0=VС^ф0,^}).Н €К,, ]}=<р'@)Ферматеореме0,=1С))€потогдаполагаяи<р0,к=0,1. ..,п-1}.A)Задача§5.Проинтегрируемпо11х^П(к)й1(свободныеС^([*о,Тогда&<*>(*„)A)1.25.3.ВуравненияДюбуа-РеймонапунктеЛагранжабудемПустьТеорема.вэкстремум(Р)непрерывнывнекоторой(Ь,Ьх,.
.,Ьх(п)л(-—( ах\а.+(.-о/1\][*о,отрезкеЬаъиТогда1 +Ья(.-2),. .выполненофункциилеммылокальныйэкстре-Ь,Ьх,Ьх,. .,Ьх(,)—графикарасширенного4(.)))).\,слабыйфункцииокрестностимень-дляВместоДюбуа-Реймона.лемму\у1осех1г-Р),С(О(ГХХ€——Ь,(.)(хпомощьюЬ.интегрантдоставляетх€■Эйлера—ПуассонаобобшеннуюфункциязадачеснаиспользоватьЛаг-Эйлера—Пуассона.уравнениеналоженных1)-(леммеисчисленияуравнениявыведеммыгладкостей,пА €VЭйлера—ПуассонаВыводэтом0вариационноговыполнениеследуетпоскольку0,1,. .,=виде=леммелеммыусловийв=нулю,равнык0,=$^*]основнойп.меньшихперепишетсяГ Н(к-1)й1хщ-частям*»(*>(*,)=A):соотношениивЬхъA)к{к-1)A)^=позначит,(ранжа8')слагаемоекаждоеинтегрированияи,соотношениепораз/х.ийЛ**-1)=*1])Отсюдак195производнымистаршимичастямчленыЬ.
есо1Х^,Г±х4(»),-—1ц.)+Ьх^),ш,дифференцируемынепрерывнонауравнение&((&(&'вформулировкевзятьЛагранжалеммыпространствоО,С^([1о,вместо1\]),а^при& [то,Сд([<о,пространствадоказательстветусоответственно1г])быломожновзятьфункцию1963.ГлаваЕслиЬхюссовпадаетСкф0,1] ),еЛкВозьмемСофо,€г\]).<р(Х)переменного1,. .,п,=топроизвольную,уравнениеполученноеЦх(ХН)=+^1осех1гР,еЩфункциятоХН,+хфунк-фиксированнуюно&Поскольку:=исчислениеЭйлера—Пуассона.уравнениемДоказательство.функциюВариационноех{п)АЛ,. .,+ходногоАЛ(п))+А1«оимеетАприэкстремумДифференцируя0.—-функциюНои<рАполагая5^4»ЛD))ЛЗдесьнемыОбобщеннаяа„,о„_!,ИзобобщеннойутверждениеЬх&).(\\)С([10,€а„_(\1выполненоиДюбуа-Реймоналеммы+а„—поинтегралыи€А-[1о, г\]отрезкена((—-Эйлера—Пуассона)уравненияи+непре-а„_2,.
.(аналогуравнениеA)соотношенияследуеттеоремы.■ДоказательствоРассмотримуравнений:леммы.дифференциальныхлинейныхсистемауравнений,дифференцируемаяфункцияинтегрированияА+а„—-дифференцируемынепрерывноЭтаЛАфункцииа&()A)ШбратьфункцийПустьДюбуа-Реймона.леммаСоп([*о,€случае,(^(*))ТогдаЛVдифференцируемостьзаданане0.=получаемО=предыдущемвкакможем,посколькучастям,0,<р'@)Ферматеореме=У*=°ипотогдалегкоГ -Ро+X-Рк~Рк-\«орп-\системупиз0,=+решаетсяначинаяследующуюакссопределена=0,B)^'к=1,. .,п-1.помощьюпоследовательногоПрипервого.сточностьюэтомли-интегриро-дифферен-непрерывнодомногочленастепени§5.п-).ПодберемЗадачаэтотвыполнялисьсомногочлен197производнымистаршимичтобыобразом,такимфункциидлярп-\условияC)РассмотримИзкЬ.,функциюфункцииопределения0,1,.
.,п=0,1,.определяемую1.. ,п-тогоЪ.Значит,изB)системыИз1\\).ак==0=Я=апЬ.дляAо)Л^(^)C)ТогдаИирп-\—условийсилувС^{\Ц,еъ№чтовытекает,по=к0,=леммыусловию[0=(подставимкКроме1.—формулепорк+Рь-\/(Л*"*Jсоотношениеиа„р„_=*=1Еполученногоравенстварп-1-Посколькудифференцируемы,0=й*Л*"*чтоследует,=Отсюда0.'оа„=непрерывнорп-2из(отсюдавновьпредпоследнее.кнепрерывнойФункцийитоуравненияпоследнегосправедливостиB)системыиза„системы:следует,что—апПроводядифференцируемостиэтупроцедуру€а„_]р\-\С1 ([<о>=длярп~г,*1]))■■■,Ро>указанныхуравнения.рьВыразим+ап-1—остальных,дифференциальногофункциивсеС]([1о,г{]).ер„_у=рп-г+чтовытекает,—и~^п+йп-1подставимвпридемввитогелемме■198Глава5.4.Вариационное3.исчислениеПример1•7(*(•))[=х2й1->х@)ех1г;х@)=х(\)=х(\)О,=1.=оРешение.ЬИнтефант:Необходимоеусловиеь±С],константых@)С40 =>=A)A)Таким=0,=1,С,ГС2([0,1])к,функциякоторойдлях^Дважды=была"к)-функцияфункциюДлякA)=/-Д-0.=С00000сусловийучетомнак,1-22хк=получимх{У)кй1=о/1разность1/>а(^)йь—Ог^Ъ—тонеотрицательна,всегдал.7УоестьIимеем=0.=4.абсолют-минимумI1Очевидно,чтоп—+8тахфункцийдопустимыхпоследовательностьI[F1-2J<И=[х2<И=^пои■,■■1ГЫк2^образом,надо/-21абсолютныйэтогоЕТогдаУоТакимхкУчастямС$.+—I.IУпо.7B)—Уинтефируя+хчтоУ11{хк@)—/х221,-1.допустимой.кA)1111К%,==проверки,Возьмемзадаче.к+к@)С32+концахнаэкстремальв1/л\С2непосредственнойчтобытакую,функциюС222+условийГ С,допустимаяминимумС\1Ъ=0;^^^.1,0.=из=0,единственнаяабсолютныйвзятьхС3=помощьюсдоставляетС2+=жD)<=>находим0 =>=0=\ЗС,+2С2образом,Покажемж@)0;=+ьхЭйлера—Пуассона:С2, Сз, Сл,уравнениярешениеНеизвестныеЭйлера—ПуассонауравнениеьОбщеех2.=—сю.[C612-241=+оо.хпA)Действительно,=ж(г)+га22(г-1J,+№3-1212+414)<11=возьмемпоследователь-тогда1{хп(-)}-++оо§5.ЗадачаЗадачи5.5.Г х2.1.со<Ипроизводнымистаршимих@)ейг;->199производнымистаршимисох@)=х{\)=х(\)О,=).=о1/(х25.2.48ж)й1-х@)ех1г;->х@)1,=х())--4,хA)=0.=о1[(х2-241х)<И->ех1г,5.3.х@)х@)=ж(])0,=^,=о}2/ (х52)х-<Иж@)ех1г;->ж(О)0,=жA)1.=1,=отIУ5 .5.(х2 +Ах2)й1->ехХт;ж@)а;@)-1,=0,=от/2/5.6.(х2х2)-еИж@)ех1г;-+х@)=1,=о1[(х25х2)+<Их@)ейг;->ж@)1,==О,о1е~*х2I5 .8.Л1х@)ех1г;->ж(О)0,==х(\)1,-а;A)е,=2е.ое1{15.9.\Iх2+<И->->ех1г;хA)ейг;жA)0,=1,=х(е)е,=11/(жC)Jй*ж@)х@)=х@)==О,=О,ояг(]),5 .11.Уо=я!(])1,1[{{х(Ъ)J+=х2)й1-^^г,3,гA)=6.х@)=г@)±@)=1,х(е)=2.200§ 6.ЗадачаВсеилипозже),чутьмеханика»1788обоснован,6.1.^х(-)A),Условиенетолько%авсе0)^гзадача<0,*11,.
.,=А,€т*о,хк),кто,Ак,<заданный—гихЧастным<рA,х),1\или^,ЭлементограничениядляОпределение.слабыйдоставляет\у1осппп.Р,Говорим,чтолокальныйминимум^элементадопустимого-Ж(-)||С1(Д)<(ха,хр),—гдесвязьподставитьдругой/,•которойвзакрепленA)изчто=одинобаиликонцафиксированы.всеуказанныедопустимыйиусловияб,1*00 такое,(ж(-),2о,*1),=-*о|<1*1-Во(()<11<^Ва(%)| ^-^||с'(Д)хк2которогоб).=(Р),Лагранжачтодляб,^элементзадачев6 >существуетесликоординат:огра-допустимым.называетсязадачи,,ж„(-)),&считаем,задача,выполненыкоторогоможноявляетсяа[2о, *1]интегрированияотрезка(Р)подвижный,—х)х,дальнейшемвтозадачислучаемго/,-($,функциивхна-дифференциальнаяЕслихр.=выражениеконцовдалее(хк+1,.
.,х„).ха(хх(-),. .=первыеОбозначим,к.1,. .==0=ж(-)набытьможетсвязью,определенностидлявместоему}гA,х,хр).координатыхрПосколькуравноедифференциальнойвектор-функции=0,(^1,-.-отсутствует,(\\х(-)придатьтеоремы.экстремальнаяС1 (А,К"),енекоторые,9?:(*,а;(<))-—€^г@называемоенанаХгA)изаккуратноотрезок,наложеноаимчтобытого,дляназыватьбылнеметодлетследующаяшт;—+(ж(-),*0,*1),=методсталидоказаннойназывается-Во(^)где«АналитическаяиспользовалзадачиЛагранжаконечныйэтотстастрогосформулируемвпоследствииВпрочемвидПостановкаЗадачейЛагранжболееЛагранжарассуждениямявляются(мызадачесочинениивкоторыйпонадобилосьикрешенияеемножителей,Лагранжа.множителейметодомДляпунктах,сведеныЛагранжемгоду.неопределенныхпредыдущихвбытьмогутпоставленнойвисчислениенамиизученныеслучаямиееВариационноеЛагранжазадачи,частными^3.Глава(х(),го,к)иДЛЯпишемлюбого<8 <$§ 6.
ЗадачаНеобходимые6.2.Теоремадоставляетг=ПустьлокальныйфункциирасширенногоэкстремумаусловияЭйлера—Лагранжа.слабыйминимум/,■,/,>,/«графика0,1,. .,т,:=функцииграфикаГАнепрерывнодифференцируемы4A))<р,<рх{A,хA)):=|* €|Тогда»найдутсяфункции'»где/(^,М/з)а)Щх,'=ж(-)по/(*,Ь)трансверсальностис)стационарностиподвижныхж^)ж,р(жа+1{непре-аК^))B0, х(&о),$[,гладкости).Кт+1хС1(Д,К'!),€ЛФ 0,/яерим--Л,оа*,дополняющейР()^х()+Л ()=0,х(выписываетсяконцаминтегрирования)отрезкалагранжианаж))у)(*,подвижнымподляЭйлерауравнение—-поконцов=0^-/(<0)=о^=^/(«01и+/(,+++1х{1о)х(г0)/,(*,)*(«!)нежесткостиХгВ{фе)окрестностифункцииX)М(*о,а:(«о),*1,а:(«1))=Г Р(Ой)С(О(Г#4))),условия:стационарностих)€тХ)^7»(*,М/з)»выполненынант,чЛоспппР),расширенно-(условиеЛагранжадоставля-€некоторой(Х,р)т=(^точкиЛагранжамножителидлячто(Р)С(О(Г4))),е0,1,.
.,т=*о>*0(Д,Д„/йвокрестности(/; бС^О^о,^),*!,^)))),такие,Д}е(у,у>*некоторойвI(&(•)>окрестностинепрерывныД}=Лагранжанекоторойв{(«,*(*),^элементзадачевнепрерывныГц201Лагранжа=О,г=1,. .,т';неотрицательностиЛ,- > 0,г=0,1,. .,т'.только0,==0;для202Доказательствонеравенств=дальнейшемвограничениявпространстваXчтооотображениечтонасу0,^Поскольку—В^имеются0,^толькоЛагранжамножителейправилеРЦ)УXЭтобанаховыгЭйлера—теоремевК,—+«О^точкеха{1)=0,1,.
.,=игп,ото-условие—регулярноститакобразазамкнутости1т^'(^)какДействительно,У=С(Д,К*)——!рХадифференциальныхлинейныхвыполняется.гладкостиусловие—выполняется,<рA, х{1)),--системаС(Д,К*).=(Р)0.=функцийВ^.«о,впространство.Р($т,выполняется.Р(х(),=условиезамкнутоеК2,хдифференцируемостифункционалыдифференцируемыОслабленное-Р'(О1,. .,=У,-+оператора«банаховостинепрерывнойследует,Р:X< 0,С'(Д,К")=условие—ЛагранжаВ<($пап;-+Здесьвыполняются.аВ{т.=теоремыусловия8.2).п.задачеВ0(Острогосчитаем,гп1,неравенствамизаписиправилеравенствтипа(главадвумяивсечтоограничениямипространствахзаменитьнаоснованосзадачнеравенствтипаПокажем,полученнойИзЭйлера—Лагранжапростотыдляисчислениегладкихдлянормированных0 можновВ{равенствотоВариационноетеоремыЛагранжамножителейи3.ГлавауравненийнепрерывнымискоэффициентамиA)решениеимеетД,отрезкеВселюбымУ*неЛвекторравные(Ло,=одновременноI=выполняются/(*,х,хр)М8.2п.СогласноЛт)иКт+1ечтотакие,(у*, хаA)+форме+у.этойте-у*еЛагранжафункцииср(I, хA)))-Ъ,($о)=функционалидлявсемнаКошивыполняются.Ль..
,нулюопределенноев1(г0, х{10),1ихAг))условия:а')Х(оусловием1главытеоремысуществуютС(Д,К*),€граничнымусловиятеоремеу()любогодляс0,=Ь')с')Л^стационарности%,0=Ах<=^>(<»■ АХа0=АХ/)=0,=0;дополняющейнеотрицательности:Л,В;(^)нежесткости:Л;>0,г==0,1,. .,0,гт.=1,. .,т;=0),§ 6. ЗадачаПокажем,изчтоАХауравнения203Лагранжа0 следует—функциисуществованиеир€С1(А,Кк)такой,идлякоторойвыполняются{у*,у(-))чтоI=р{1)уA)й1VС(Д,К*)€укЛТогдаЛ=ибудеттеорематрансверсальностипоЛагранжафункциипоусловиеАХа=0вьшодятсяАпоивЧкеС](А,К(у*, Щ(У,У(-))=ОпределимПоУ-хаисилуусловиесоотношенийУ7еК*.С(Д),€уB)функцияA)рТогдаоднозначно.пои191]с.вха€будетЭйлеравыполняться.имеем:кг,^](ръ=/<и=^о*!=+рь)AхЛ-р<РхЛг,+№>)+руй*I='о1Находяиз/соотношенияпоследнегоквыражениевB),получим/ХаНй1иподставляядляС1(Д,К*)уравнение1\точкеКошизадачирешения[АТФ,стационарностиC)Vединственностиусловиямии/;„(,,)/»(*,)-системынашимиопределяется0.=условий:изрнеоднороднойпо1Ха(кI-существованиятеоремеВЛвйЛфункциюлинейной<рХаA)ПA))-A)соотношениясилуБольца.задачидля1„:+ОтсюдаусловияистационарностиусловиякакстационарностиАХа[Н]=О<=^ЭйлераизвытекатьОниХр.Эйлера—Лагранжа.теоремыУравнениядоказана.будутХрЛРаспишема)-Ь)условияполученное2043.ГлаваВариационноеисчислениеПосколькуу(-)(у*,у(-)}функцияфункционалазначениепривекторвнезависимо,огфеделяются7зависитнеобращатьсядолжен7иотОткуданоль.к*),с(д,€уи,у,зна-токоэффициентзначит,чтоследует,'оТакимАобразом,6.3.Л.=ТеоремаполностьюПримеры11Пример^(x(■))1.I=±2<Й/ех1г;->Решение.ВыписаннаяпосколькурешатьнадозадачанезаданокакхШа;A)0,=изопериметрическойявляетсянезада-х{-)функцииусловиеграничноеЛатранжа.задачу1.=оозадачей,■доказана.вЗадачунуле.1ФункцияЛЛагранжа:/=(А0а;2Х2(хA)\$х2+<М, +А^)+1).-оНеобходимыеа)условия:Эйлерауравнение~—ЬАаЬ)трансверсальностьЩ0)АоЛагранжанаконцеединицехизЭтогоа)А1нехизусловияиизопериметрического/2А0а:@)0,С]12А2С2г+С}.условия:=А2(а;A)1)—2А0а:A)0-А2;=все—множителиАо1/2.=НеизвестныеТогдаконстанты±@)трансверсальностих@)0;=0,=А^Положимбыть.+==Ь)изаможет=Хх+терминанта^==-2\0х^=>для-4A)=решение:находимвтонули.ОбщееСх,С2,Сз0,=—Х\.=-М1)0=по/«(о),=ЕслихЬх+мЬлагранжианадля=0,условия§6.Задача[х<иОтсюдаС\единственнаяПокажемс([0,1])Такимобразом,х+х=функциюк,вк.0=/ихкфункциюДляфункцией.допустимоййA)функциячтоВозьмемзадаче.былакоторойдляимеетсязадачепроверки,минимумчтобыв3*2-1непосредственнойпомощьютакую,взять-1/2.=экстремальабсолютныйнадо.С3допустимаядоставляетС=3/2,—205Лагранжак<й0.=еэтогоТогдао1[(х=Интегрируя#@)по0,=частям+кJй1-сучетом(х2(Иусловий[хк<И+2=кнахкй1.трансверсальности+к)-1(х)I2^1Ык2хк=Такимобразом,абсолютныйразностьвсегда1/2-0хк&I-6=00неотрицательна,ток 01=0.имееместьминимум.Очевидно,последовательностьусловияи/2^получим11(х[к2<й^щ^функцийчтодопустимыхДействительно,+оо.=хпA)=возьмемхA)+п$\п2жг,последовательтогда1^(xп(•))I (^(*)=+п2тгсоз2и)ех!г;х@)А1+оо—►ппри—►+оо.ОПример2./■±@)==0,оВыписаннаяРешение.производными,вединице.ЗадачунадонесвестизначениезаданокзадачезадачейявляетсянезадачапосколькуЛагранжа,сопроизводнойвводявместостаршимифункциифункциих(-)х206Глава(х1,х2),вектор-функциюсведетсязадачакМх2исчислениеобозначения:их2х,=х\Тогдах.—исходнаяЛагранжа:задачеех1г;->Вариационное3.х1^(О)х2,=х2@)О,=х{A)О,=1.=оФункцияЛафанжа:1Л/(А0±2=+р(Щх1х2))-<ИА^О)++А2а;2@)+А3(а;1A)=\цх21).-оНеобходимыеа)условия:ЭйлерауравненийсистемаЬлафанжианадля+р(х\х2)—а-—Ьх21^х2+(льЬ)трансверсальность0=хпо-2А0ж2<^^-р/терминантадляАо0=из=АоС^+условия0,=все—Положимха)изтоследует,1/2.=ТогдаС212 +С^+С^.Таким1,=«зх=.2в1- 3—.е2задаче?\0—Неизвестные_"^/Лобразом,---■х\0,=х^<=>а0;==-=Г С,(\{~*имеется=0 =*С4=0,0Съ=0,=>С2+_1_=не0.А10ибыть.ОбщееусловийА2—можетрешение:С\,С2,С$,Са0<^а;A)=Ь)изЭтогоконстанты±2A)/1\рнули.—а)изтрансверсальностиA)маль.-А3,2А0а:2A)А2,=чтоЛагранжамножителиа;@)а;@)•=неотрицательностьЕслиАз+рA)2А0±2@)с)Л^^О)—Аь=0;=находимнаконцах:1,ОС*(единственнаядопустимаяэкстре-=§ 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
