Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

е. функциянеотрицательна) Итак,Задачи4.+Iк)кй1+кинтегралекакк@)кй1.=0и0,<к^0§ 2. ПринципТо,непосредственнойчтохI=максимумааЪзтах€быломожнопроверкиизбысамойусловия225случаечастномвбезиполучитьРазобьемзадачи.непо-исходный4функционалнадваМаксимуминтеграла./ х2<й1,ж@)\х\при1 достигает-<о4ся|±|на1,=а/максимумх<&\х\при<0,=достигаетсяприонаибольшемфункциивозрастании§ 2.ФормулировкаПриведемсозадачи—х2).=концомпринципаслучаячастногосвободнымконцомимаксимумаоптимальногозадачизакрепленнымуправ-(концывременемфиксированы):2о>*1интегрирования(о-1=доказательствоиследующегодляотрезкасвободнымсоформулировкуПонтрягинахПонтрягинамаксимумазадачиприт.е.доказательствоипринципадляуправлениях,(Р)хA)<р(г, хA),-фазоваягдемножествовдекартовоопределенынекоторой{(*,Тогдагйерэтомкраевымх€РС1([1а,произвольное((&,&)I,частные^-рA)<рA,Щ,и)единственное*1]}.орешениенепрерывнывIфункция|(по€Iнепре-[*0) ^ЬЕФреше)точках—зада-в/,<р/х,<Рхмножествадифференцируемапо/(<)процесс{D,жD))=*1][*о,СфункцииГ$производные*о,=иГз1г1осттР),оптимальности^я?(«о)управлениеуправляемыйЕи[*о,[<о, к],и(-).оптимальный—(Р)* €V*1],К"),множестваусловиевыполняетсяV€множество,множестве-2(«)+сй(-))наI *^(*)> *@)(I е О(хA}))).хAх)!{1,Щ,и)—и(<)окрестностина=Т,управленияумноженноготочке* €—управлениянепрерывнывКг(х(-),ПустьоптимальногоГ&йVнепрерывноститочекТеорема.=0переменнаяIС<)], К.г),РС([20,задачеи(<))Фреше)(пои:-рA)фA)Vдифференциального* €Т,Vи€V,A)уравнения/«(*)-!>(*)&(<)=оугетB)условием'()C)226ГлаваОтметим,бытьнеA)оптимальностиусловийравнымАоаможетобщейвЛагранжаединице,B)-C)условиямисоптимальностимножительуправления,оказываетсяуправленияоптимальногонеобходимыхизоптимальногоЗадачипринципчтовыведен4.задачеВфункционалепритрансверсальностиусловиехAо)посущественно.Доказательство.C)условиемрешенияисуществованиятеоремылинейныхдляИгольчатыеIеVрешенияизследуетКошизадачиА)Единственностьчисломалоетакое[АТФ,систем0,>а191].с.тточку&Т,и(рис.управление[т-а,т]сГ.отрезокчтокраевымсединственностииЗафиксируемвариации.B)уравненияУправление<€[т-а,т),,игольчатойэлементарнойназовемвариациейуправления9).X,**,Рис.ха(-)Пустьначальнымрешение—хA0)условием=дифференциальногоопределенамалыхприаформулируемойIта)-[1ъ,течтоэлементарнойТогдаотрезок[тчислосуществует—а,т]навсемСТ,отрезкеанае>0ха[2о, ^\\Тпаражетогоихана-(ха, иа)(г, V, а), опре-вариации).Vдляигольчатаяэтомауправлениеичтотакое,—при€Посколь-—иголкой.игольчатойт1,хаФункцияТройкуэлементарнойточкафункциях,(х, и).процессалеммыполуинтервале10).рис.функцииназыватьопределе-изодного(см.элементарнойа)торешениямивариациейха[20, *1]-отрезкейA),=совпадаютV,новектор-функцияделевсемявляющиесях,вариациейбудем(г,иголкефиксированы.определенаихавариацию,1 (о свойствахЛемманарешенияфункция2о>самомначаль-ссуществования186-189]иа{1)уравнения,игольчатой<р({,хA),иаA))—точкинауправлениеигольчатойэтуВ)хокрестностис.образомэлементарнойэлементарнойвнекоторойа)-функцииопределяющуютеоремеследует,дифференциальногоназываетсялокальной[АТФ,единственнымопределяетсяхA)уравненияниже,Поскольку при[го,вПож0.уравнения10любогопри—++0фикси-VафункциивариацияаПустьЕЕ[0, е\—§ 2.1) функцияПринципха(-)х2) функциямаксимумаж(-)-+}.\функциядифференциальномуначальнымиудовлетворяетD)УгеМ^пгусловиемДоказательствоуравнения,непрерывнойотсылаяДокажем,начальномуD).утверждениймыздесьE)дифференциальномуфункцийхахичтото,уравнениюотрезкенаиучитываяидифференциальномуудовлетворяютрешениядифференцируемазначениепроизводныеихтеоремзависимости89-91.условиюВосстанавливаячерезс.кусочноуудовлетворяет[г, ^]изэтихАТФ,функциячто1Т> *1ЬдоказательствокнигекизследуетсоответственнодифференцируемойСтрогоеданных.жадифференциальногоследуютнепрерывноиприводим,уравнению1 €функцийсходимостифункцииобыкновенногорешенияаначальныхСуществование1.существованияE)ч>(т,х(т),ю)-ф(т).=леммытеоремыне[т, ^]отрезкена*1],К"),С([т,пространстваметрике<Р*Ш*)=у(т)отК");уравнениюу(г)0вдифференцируемакусочноуу(-)>С([20,1\],пространстваметрике—гдесвх(.\_227случаечастномв<рA,=вхх,и),точкефункцииэтиимеемIуН)Ьт=——а-»+о/1ип=—а-^+о^а———Ав=аI/Шпа->+оу-—-——зе[т-а,т]агтI/Цш-——аI/ фх(з)у(з)<1з.<р(т,х(т),ь)-ф(т)+=Припереходетеоремойо2'среднемПодынтегральнаяквпределудляпервоминтегралеинтегралов2*,определенныхфункцияF)непрерывна.мывоспользовалисьавотеоревтороминтеграле228ГлавамывначалеС([20,<р:пределу| о(жах)\\с(\т,1,],к»)—!—=а->-Ю,.ПодставляявначальноеE)2,поиомуС)В(ха{-),2(т,у,а)точкаиа('))-(от—Iг,т,—удовлетворяет2.правилоЕдифференцируемаВлеммыПустьVуправлениеи/(г)-пона-получаемвпереходаоподпределусреднем:=инулеф{т)).опреде-длязнакоминтеграла,1, получимлеммуи-теорему(а)Вв-р(т)((р(т,а;(т),г/)кэлементарнойфиксированы,справаИспользуяФрешеIЯ=а-»+о\7ааа-»+о.ах'а->+0/а«о-а->+0а11е\т-а;т],+,а-^+0^тпГаг3'Дифферешщруемость^Подынтегральнаяфункцииу.О-=продифференцировавдифференциачь-афункционала).Т€/(т,х(т),у)интегралов,НтО-|| Л|с=«точкеух\\с-значениевфункцияфункциядифференцируемость-\ хаХ\\с—F)приращенииДоказательствоа~*+0перешли■ТогдаВ'(+0)В\Щ—уотобра-потомаD).Леммаопределенныхх)\\с-\ Хачтополучим,уравнениюиголке\ о(хафункциидля3\х(-)точкеэтомуравнениеполученноеусловиеуравнение—а->+0авПриптФрешепо*1], К")Сфо,интеграла4*.-*знаком-управленияоптимальногодифференцируемостью*1], К")под11тЗадачивоспользовалисьотображенияк4.изследуетфункциясходитсяусловийзаданныхвметрикегладкостипространствафункцииС([т,<р.1\],И.п)кфунк-§ 3.

ИзбранныеВыражая/хизE)условиеI11ху<и^тB),уравнениядляу(т),имеем+рфх)у<и=(роптимальногозадачиучитываяПодставляяначальное=т-Р(т)у(т)найденноеи—(ру)<итР(*1)у(к)D),уравнение(ру+ру)<и=т=229управленияр^уЦ^-р^^Цт)^)=/ /хуА1значение<р(т)).-выражениевВ'(+0),длягполучимискомое^)[0, г],Еапредставление.Завершениедоказательства.приамалыхОиа)В(ха,ОтсюдапоВ'(+0)2лемме^управляемый(х, й)и)В(х,0,^1леммыдопустимыйПосколькуж(-).к>Из—стремитсяравномерното(ха,иа)топроцессха(-)ипроцесс,В@).^выраженияизиесличтооптимальный—В(а)<=^следует,В'(+0)длявытекает,что/(г,Цт),V)-р(т)<р(т,Цт),V)выполняетсят.е.Избранные3.1.Рассмотримподуправляетсязаданныхдействующейвеличиной,какой-то+1.доТребуетсявАналогичнопрямолинейнолюбуюостановитьбезбытьсторонумашинузадачаускорением,свопределенномизменяться=о=0) лифт,=Нетрудно=видеть,х(Т)движущейсяМашинапревышающемместе0).х(Т)6.машине,дороге.неот(х(Т)образом:*@)горизонтальнойповоз-ограниченыускорения,следующима;@)=6,изменятьсячтоостановить(х(Т)координатво-ЛифтможетможетТформализованашахте,Предположим,ивремяформализуетсятрениякотораяускорениеначале|г|<1,Г-*гшп;силы,следовательно,кратчайшеезаможетзадачачтоавуправлению.человеком.например,определенностидляввнешнейрегулируемыхсилы,■лифтаостановкеоптимальномуповоздействиемдоказана.управлениянаибыстрейшейопределах,возможностиполностьюСГ,€VбыстродействииомонографиимногиеVУтЕГ,оптимальногозадачазадачуво-р{т)ф{т)ТеоремазадачиПростейшаявошедшуювA).соотношение§ 3./(г)^кратчайшее0.прямолиможетдвигатьсяТребуетсяединицу.за=время.-1230Решение.ЗадачиПриведемвводяуправления,оптимальногозадачух2Г->тш;=х,иХ1=х2,*2@)*1@)=&,Функцияоптимальногозадачуправле-х2),{х,\,вектор-функциюхх±=х,управлениявидукфункциивместообозначения:и4.Главауправлениеих,—±2=ие[-1,1],х2(Т)и,яя(Г)&,==0.=Лагранжа:тЛУ (Ы<)(*1=Ж2) +Р2(*)(Ъ-и))-И+оА0Г+Необходимыеа)Эйлерапо6)дляА3х,(Г)+{гс1)-пой(«)«}пк>идяхIтерминантаА4а;2(Г).+р1A)(±1==0А0Г=х2)-Хх(х1@)+отв(<)V;=\(р2(Г)А2,=зависящие^-слагаемыеиг[-1,из-А3,=-А4;выписываем)нелюбое=1],,р2(«)=0;ГпоЛт(неи^\>\>-й(*)*(*)=*стационарностье)Ьлагранжиана()оптимальностьшшАзг^Г)+А4а;2(Г)+()«е[-1,1]6)-и)трансверсальностьс)Л2(я2@)+условия:-Ь)6)-уравненийсистема*2А^О)+Ао<=>А3±!(Г)++А4а:2(Г)0;=неотрицательностьАо^О.УчитываяА4ибоеслир2(Т)иначеначальногополучаем,Поэтомувновьизчтото,-р2(Т),==все0.множителиАоПри=0,этомусловияс1)чтор2(Т)тор2ЛагранжаАоусловию=нех^(Т)следуетравносильно0либоибытьможетбыли(Г)=0,нулями.аизЬ)изс)р2(Т)й(Т).нотогдатождественнымбы0,==нулем,Значит,иза)§ 3.

Избранныер2A)СA=Г),-Множество(IйA)что1=м(*)илитакимсоответствующих-1.=управлениям,уравнениемДействительно,-следует,условий,начальныхописываетсяс)изтогдаа231управленияоптимальногозадачийA)пустьТJ/2&=>беремкорняЙ/2=знакминимальноеТакимТ&чтообразом,нашейв&-^2взадаче=°х2(г)(ПРИ22@)=>-\/~^ь=действительнодвижениявремя-у/Щ=движенияполучаем,найденное\*Щ=посколькуминус,времяаналогично&0 =$•^х2A)1 <*=1-Т*1Щ-=-Т=0).В0,<этомприйA)случаеНиже^1^0.-1=покажем,чтовминимумзадаче.достигаетсяминимумслучаях=квадратногоизвлечениидоставляетэтих\1A)приА0=0.-1=Рис.Если@, Т)@, Т)Ф&жевытекает,\рг{Т)\чтои(случай,й{1)уF)>(см.С{1=вГ-1,_-Iр2мыинеАополагаемАопри-силу<К«<т,1, т<1^Т,Т)Ь)+1;(<)р2СA=соответствуютиГ__~1-1,1,вТ)Т.е.-управления:такиевзнак0).=-Тогдазнаксвойменяетрассмотрен1.=свойменяетр211):рис.возможностям+Ао Ф 0,функциябылужер+Ц)иифункциякогда±1,=возможностиЭтимто1=120<<<т,т<«<Г.имеются1.с1)изинтервалеинтерваледве232ГлаваРассмотрими+иуправлениям(см.х2Такимвслучаех2иB)=Укажемтеперьх2(Т)мыи+уF)убыванияI,=длях\—'—С,+кактакх2,каквремяпрощенаходить^^}),([2о,начальнымТдвижениячтопостроеннаявтраекторииидопустимыйвремяТ.нулемга-йВоспользуемсяпроизводнойнаотрезкепроцесс[Т,и+)<р(%\).=имеетсяусловия@,0).тоусловиям3.3х2|2|=х2).ж(-)Однана-иприведеноС+классаэкстремумабудетобразомтакимрешениеоптимальнаярешениедоставляетПредположим,следующей&функциифункциюстрояйуправлениеуправляемыйж(-)(вариацияТ,пункта(^1,^2),точкесоответствуетхкривойбыстродействия.задачконкретныхнатраектории,х22примере>точкунеобходимымВначинающаясяфункцияУат=времяудовлетворяющуюПокажем,воптимальнойнаоптимальноеусловиям.из1=упра-(дляуF)&начальногокаждогодляприводящая\х2\всегдазначит,совершаютсявидеть,разрешенномусоответствующихнеравенствамикривая,@,0)однимсчемпотраекторииусловий,долж-гдеточкуискомуюболеенефазовойПереключениянетрудноПоскольку(х1,х2),Впопастьописываетсяфазоваятраектория,этойх\плоскостиначальныхи~).(дляэтом,однойпараболыусловиякактакх2,значенийтехдлякусокфазовойпои~,иединственнаяРСзначе-движениявозрастанияизС.+уНаправлениечтодолжныдвигаясьуправлениями,условия—наСовокупностьПри=этимС.+управления.0)=направлению.<—х\получаем,местотопереключением,6=изпереключение=Однакох\определяетсясовершаться(ж^Г)их2С"+1.—должноС'1соответствующаятраекториядвижениянаправлениеплоскостьюимеем+-траектория,1, фазовая—1,==аопределяетсяАналогично1-=фазовойI2=>параболыпараболеэтомиB)С'* +=кускомтакой=ж2=управлени-называемойкоторыхдляфазоваяявляетсякоторыхаж,образом,I,±2I,1 =>•=оптимальным(х\,х2),значенийтехуправлениясоответствующиеплоскостина12).Дляпооптимальноготраектории,и"рис.ниямЗадачи4.что(х,и,Т),(для^Г.Пустьй~),определенностинекоторыйимеетсяТтраектозадаче.другойДоопределимдо-функциюТ].формулойвосстановленияфункциипоее§ 3.

Характеристики

Список файлов книги