Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Избранныеоптимальногозадачи243управленияэкстремальXАналогично=4абсолютныйдоставляет—у=уЗ3.4.Задачи/3.1.ЛЬзначениезадаче.управления\х\ех(г;—>вбыстро-задаченайденноее.т.минимумоптимального8ШIхаЬхтш,€хпростейшейвсделаночтопоказать,можно~.Тбьшоэтокактому,быстродействия,—2+1,<=ж(-тг)1,<ж(тг)=0.=7т/4/3.2.|ж|жШ1Ш->ех1г;ж@)1,<0.=о4/ (ж23.3.х)+ЛЬ|±|ех1г;->■жD)1,<0.=о2/3.4.х<И-лех(г;|ж|2,ж@)+жB)ех(г;|ж| < 2,ж@)+жD)=1,<=0,ж@)=0,ж@)0.=о43.5.хМ->жD)=0.=о3.6.Т-ипт;3.7.Т3.8.шш;->\х\<2,-3<х0 <Т-+шт;ж(-1)1,<х1,<х@)ж@)=|ьж(Т)ж(-1)=-1,ж(Т)ж@)3,=х(Т)&,==ж@)-5,===ж(Т)ж(Т)х(Т)2[\х\(И-+тт;3.9.х^-2,ж<2,ж@)жB)0,=жB)-1,==-2.о2/3.10.\х\ЛЬ-►шт;ж@)жB)0,=хB)1,==о13.11./хЛЬ-►тт;ж<24,ж@)=11,хA)=х(\)=0.2.0.=0.==0.244I х2 <И3.12.->Задачи4.Главаж@)6,^хшп;оптимальногоуправленияж@)=жB)0,==17.1Г х2Гх2<И-*гтп;3.13.\х\ж@)1,<ж@)=0,=~.о±|)3.14.ОтветыЛех(г;-4главызадачамк7Г-7Г'1'7Г3.1.х=—7Г7Г<Ь << <-,5ттаЬхгшл,€—,=-4,-ж7Г4.=7Г3.2.О <-I,ж=^я-4^^7?'"аЬхтш;тг^ж3.3.4т;б—ж-I €аЬзтах.аЫ>тах.-4,3.4.х-13.5.х22 €-аЬшип;5тш-г2,=<12-х--,еаЬзтах;45тах=0<<<1,(<2J-2,-1 << <3,€аЬхтт;-ж€аЬхтах.41,°'з-6-ЗГ—3.7.4=+3,€аЬхтт;-.Ответы3.8.Допустимыезадачамксуществуютэкстремали26+Л)Лх=\V2616при^6—,<0;6-26-,,,.(«2454главы^2Г^^Т''2^2аЬхтт.Ж-/°'393.10.х0<<<1',|=°'1J)_^^1{х3.14.161 <ж=отыскиваетсяСсЬ;т-10<*<-,1,2е2аЬхпйп.Т.=<3.13.з',з1=><(с,кивается(!--!)=х=|б||аЬхтт;=>условия5тах=аЬхтт,€2граничного61°<^^',из>4-оона(хпЦ)правом=пЦконстантагдеконце:конце-1)4-0-СГлава5УсловиявисчисленииэтойглавеусловиязадачеЛежандра,будутусловияУсловиепомощьювпростейшейзадачебытьмогутизопериметрическойзадачезадаче,§ 1.Простейшаяисчисленияи(Больца,задачахдругихвсдостаточныепроизводными).старшимизадачаисчислениявариационногоРассмотримпростейшую(дляисчислениявариационногозадачуминимум)назадачуопределенностиисодостаточныхинеобходимыеполученыполеФормулиру-вариационногоАналогичныеэкстремумаусловияусловийстроитьсянеобходимыхозадачефункционалом.квадратичнымбудетВейерштрасса.теоремапростейшейвмаксимумадостаточныхисчисленияотдельноэкстремумамаксимума.принципавыводеформулаПри-другие.принципабезПриэкстремуклассическиеивыведенотакжеосновнаядоказываетсяиусловияхЭтоследствиявариационноговыводитьсяФормулируетсяусловияисчисления.Вейерштрассакакбудетвариаций.игольчатыхэкстремалей,достаточныеЯкоби,выведеныВейерштрассасивариационногоусловия—этинеобходимыеданыпростейшейвПричемпорядкавариационномВэкстремумавторого(Р)1.1.Сильный(Р)Задачуподчеркнуть,писатьэкстремумклассаиР(РГ).1?(Р(РГ))С'([<о,наМножествосоставляютзаданнымиэкстремум,вэлементовнепрерывноусловиямидифференцируемыеначтобыИногдаэкстремум.слабыйнадопустимыхсслабыйрассматриваетсязадача1\])экстремумрассматривалимычтослабыйконцах.задачемынаслабыйбудемэкс-функции§Простейшая1.Напомним,минимум*(-)Нсч[*.,«1])-НарядуэлементовО>такое,которойдля—сильныйназадачуэкстремумсильный).МножествоХ>(РE))^^])экстремумРС'([<о,классавариационного(букваРE)сильныйдопустимыхсоставляюткусочно-заданнымисусловиямиконцах.минимум(х6Х>(РE))ййосттР),^{x)3{&)^Таккакесли([*<>> ^^])функцийдляэкстремумасильного1.2.С'([<о,6хПриведемслабого,нозадачи,примерлокальныйслабыйнеобходимоеневаслабого.условиемдопустимаянодостаточноеэкстремумакоторойминимум,слабогоусловиесильного6хэкстремум.сильного,достаточнымявляетсясильныйслабыйитакое,которойфункцияеслидоставляетусловиемэкстремумаПримерто^1])необходимымявляетсяусловиеонатоО>длядоставляетсякоторыхэкстремума,сильный,доставляетПоэтомусредислабогодля6Л(Р(8)),6хза-вмини-существуетеслифункциифункций,чемминимумлокальныйдоставляетт.е.любоймножестволокальныйона<]]),С(Ц0,дляшире,экстремум,сильныйдоставляетпространствевчто6х(Р)задачедоставляетйгощ»функцииФункцияС1простейшуюнасловадифференцируемыеХ>(Р(РГ)),€х6существуетеслит.е.экстремумомзадачев^]),локальныйдоставляетонафункциирассматриватьбукваначальнаянаС'([<о,локальныйслабыйдоставляетесли6-<будем—\у1осттР),€любойдляслабымсоисчисления8Л(х)^Х>(Р(РГ))6х(хпространствев1{х)N0(Р)задачев247исчислениявариационногофункциячтоминимумчтозадачанедоста-экстремальдоставляетсильноголокальногоминимума1IсНхшГ;х@)слабого,азначит0«=>-►хA)0,=1.=оНеобходимоеусловиеЬ±Общеенаходим,допустимаялокальныйисильногоэкстремума—Эйлера:уравнение+Ьх0=<=>—С\что—С21,экстремальминимум=Эйлера:уравнениярешениеЗх2хвх=0.Таким=I.Покажем,задаче{А=Зх2С\1+С=ИзСг-образом,\у1осгшп).хона=сот!.условийимеетсячто€<=>наконцахединственнаядоставляетДействительно,слабыйесли248Глава5.Условиятодлявторогопорядкавариационномвисчислении1Л6Со ([0,1]),1{х)функционала/ ж3=11{хОтсюда./(ж),к)+видно,ЛK+\ Щ\<й3,<(-3 +то1I3<йЩ)/ Л2C=>0Л)+Л(хзначит,и,(*)<й.Л) ^+ш1остт.€Покажем,(химеем1/A=есличто^е.т.Л{х)-Л1чтодоставляетнех$ хМосгпш).Рассмотримлокальногосильногоминимума(пЛ„функцийпоследовательность1)>чтотакую,-у^,М«)[О, -1,<€0,=ТогдаЛегкоПоложимнахп1]),1])и| Лп||с([о,1])~*последовательность(*)0ПРИдопустимыххп{-)хп,силувкоторыхдляРСо([О,€Получимфункцийх+Нп.=экстремум)сильныйС([0,Л„чтопонять,ж(-)—►метрикеви—»•(взадачепространства1/п[к2пC=+ГпC-кп)<и=1/2=63пприпоо,—►т.Нижеисильный,жболеев1.4.3п.С1,классафункцияе.(х $ ййосгшп),ве.доставляетолемме5ягаьяпшР=сильного~скругленииабсолютныйдоставляющаят.неЗапЛишптого4_1-оо,п\Алокальногоминимума~°°-угловслабыйпокажем,экстремум,чтофункциядоставляетоо.§ 1.

ПростейшаяВнашейзадачефункцийдопустимыхзадачафункциихпможнобылоклассаС1249исчислениявариационногопостроитьпоследовательность^{xп)чтотакую,допу-—►т.е.оо,—сгладитьхп.1.3.Якоби,Лежандра,УсловияРассмотримпростейшуюзадачуназадачуопределенности'(*(•))Вейерштрассавариационного[Ь{1,хA),хA))А1-+М;=дляисчисления,минимумхA0)=хЦ,)х0,(Р)ц.=кПусть(ж(<0)Эйлера).С'([<о,6хх(Ь\)х0,=Далее^^])х\)=(т.е.экстремальпредполагаем,чтографика(ЬГлёВозьмемс\о{Г±ё))).€функцияодногонекоторойвкфункциюСо'([<о,ехинтегрантдифференцируемнепрерывнофиксированнаянекоторая—допустимаяуравнениюудовлетворяетЬ поменьшейокрестности^^]■дваждымерерасширенногоПусть\у1оспбпР,ехтогдапеременного«1$=имеетминимумфункции(поусловий,<р(\)необходимомупоналоженных0,=т.минимума3главеЭйлера—Пооднойп.1.3было=изминимумаусловиенеобходимомупеременной/@)чтопоказано,необходимоеусловию<р"@)[минимума^0,т.гладкостьвну-порядкапервогое.ЛВнадифференцируемадваждыусловию<р'@)Ферма)теоремеИз0.=функциячтоследует,Поэтомунуле.АприЬ0=VНA)соотношенияввторогопростейшей€С^о,к})-A)уравнениеследуетзадаче.порядкафункциидляе.Л>0B)250ГлаваИзУсловия5.B)соотношенияпростейшейкоэффициентдляЪц{1)^*€[*„,В—наI*,].векторном^]ЬХХ(Цматрицы,СоотношениеB)играеткматрицеЬХх{1)^00можноСгф0,€Ьхх{1)(Ьххк,Н)и(к,ЬххН).—определенностьма-определенностьвпереписать0>является(Н,Ь*ХХН)=положительную—Ьх±{1)<)],К"),матрицачтоеслиеслинеотрицательнуюозначает>Лежандра,Лежандра,,хп)(жь..=Отметим,ЬххA)условиерольусловиеусловиетахта.размераУсловиеусиленноехтранспонированнойВажнуювыполненохислучаематрицыминимумапорядкавторогоисчисления.экстремали[^о,€условияк2.причтоVисчислениивариационномввариационногоЬхх{1)0порядкавыводятсязадачиГоворим,Vвторогоматрицы.виде1\[ {(Ьххк,к)2Aххк,н)+л))(ьххн,+<йо^B)ПустьЬХХ,ЬХХ,ЪХХдалееЭйлераУравнениеуравненияЯкобифункциякпорядка,относительноЛ(-)условие1й,с^\]нетУравнениеЯкоби(из-закотороевторойусиленногопроизводной.навусловиеуравнение(к(т)х.еслиЛ(^о)еслидля===интервалеЯкоби,0=экстремалиЬо,нольЬ~интегрантадляЬХХ{1)Щзадачивеслиусиленноет.е.даннымиобращаетсяЯкоби,линейное0точкекс—=+исходнойначальнымисопряженныхточек,выполнено1ХХ{1)Щ+усиленноетлиЬхх{1)к2{1),+длястточкевЬкA)+сопряженнойвыполненохсопряженныхA0,ЯкобиназываетсятЬ^)ЪХХ{1)Щ))+уравнениемТочка^],К)2ЬХХA)ЩЩ--{ЪХХ{1)Щназываетсяй~кпо•=Ьхх{1)к2(Ц+1A,к,к)наС\Ц0,€Лежандра.условиекЦо)0,0).(<о, 1\)врешениянетчтоточек,полуинтервале10.дифференциальноеусловияуравнениеЛежандра)можновторогоразрешить1,—Говорят,§ 1.

ПростейшаяДлявектор-функцийхрешенийсистема'*}(*)Л?(*)НA0)I—1..\к)Пусть|К"/:ФункциюфункциейназовемЕаффиннойОтсюдаясно,иверночтофункции,Геометрический/_.х'точкевкасательнойвыпукла,^смысл0./значениеммежду/графикукЕ(х,х')тообратноепеременных.п-х)функции/если-Г{х){хразность—мат-Вектор-столбцыфункция-!(х)ВейерштрассаЕ(х,х')таков:значением!(х'):=(нулевая—Якоби.уравненийдифференцируемая—е(х,х')функцийиКф 0.Л"@)..О=йе1ЙA0)илиси-(й'B)=НA0)условиямисистемы-+Н{1)матрицаматрица)решения—фундаментальнаяищется—начальнымис(единичнаяI=[х\,. .,хп)=251исчислениявариационногоЯкобиуравнения..рица),к'задачаМожновточкех.показать,чтоГ(х)(х'-х)ПустьЬпростейшейинтегрант—задачивариационногоисчисления.ФункцияЕA,х,называетсяЕA,х,х,и)—играютВейерштрасса,Ь^,и)х,Ь{1,—х,Вейерштрассафункциейфункциях)—Ь±^,функциичтонах)(их,хэкстремалих)—ТакимЬ.интегрантаВейерштрассаГоворят,Щх,и)-Щх,х)-1ч(Щ11-хJГеометрическийдля:=образом,Щ,х,х),—>хгде1,хусловиевыполненоесли=любогои)параметров.рольеA,х,х,и)х,смыслфиксированного0\/условияI €Вейерштрасса[<о> 1\\ график€инафункцииК"V* 6[*0> ^1х:экстремалиЬ=Ь{х)=252ГлаваЬA,хA),х)в(какЕслифункциипростейшуюзадачу,хп)(х\,.

.=Игольчатыек\A),(Р)хх.Вей-исчислениеминимумасильногоусловияфункцииэкстремальнойвариацииАгде=вариационноенеобходимого+х0,минимум)ВейерштрассавввелспециальныехA)==век-дляназадачуУсловиеэкстремумаупотребилх\A)исчислениявариационного(длядоказательстваВейерштрассусловиетох,слабогоопределенностивариации.сильногоДляI,х.М;ПонятиеВейерштрасс.любыхдляусловия=1.4.1.хэкстремалиЬкривойкэкстремумах^(x(■))видаподостаточныеисильногоРассмотримвектор-функцийкасательнойвышелюбойнаНеобходимыеилежитисчислениивариационномввыпуклаявыполняется1.4.х)отЬ{х)функцияВейерштрассапорядкавторогохA).точкехУсловия5.О,>*е[т-А,т],АД(«;-г,06=О,# [т*-А,К").т1гхт+\/ЛОт-Лт-Х17Рис.(длянесколькоПроизводнаяудобстваН\{1)вариацииизображениянапоминаетимеетпвзятоиголку,всвязиизображенныйвид,1,=счем|>подобные0).ПринамаломвариацииАназывают17рис.онане-§ 1.

ПростейшаяТакие«игольчатыми».сильныйнаОчевидно,АприприспособленыИгольчатыеисчисленияТеорема.минимумнепрерывнодифференцируемТогданаПонтрягина.метрикепространстваС([Ь0,|на^],К")Нетрудножесамым,в$-Ь(т,&(т),А(т))+ит,=ж(т)=РС\[10,<ЕжЛфункцияжд(-)Поскольку^(xx)ж(-)6ж^(x—Отсюдав—>+следует,1р'(+0)тосовпадаютпри0.IА~>+0-НгаА~>+0{ У [(Щхх,хх)-Щх,Ь))<И=VА«ОявляетсянагС(Цо,АчетыреЕ[т+0,=отрезка,А-*+0ИтА->+0|А1+4-Очевидно,^^])Април/А]<р'(+0)I]то,разбиваяН\{1)Т,СП(Р(8))):€0,1.функцииимеемЛ/(ждт.е.нулевл/А,неравенстве).х{1)т10,1\==А,-тчто0.—><р(\)переменногоПосколькуи=одногосправа^][тх{,=при(1\вжЛ(<)отрезокфункцияпроизводная—(случаиТ—>экстремумАЛ(*,-)+<р'(+0).[<о,I]^минимумимеет60пространстваВычислим[10,интегрированияЩ)тот10,сильныйнаметрикееслиПт—>вариациюАхШосгшпР,что^=в(<о, ^)игольчатуюзадачехх(и)Н\)тмалыхдостаточно*,]),6тточкувышедопустимаждМ-*1],переходамивыписаннуюПри*€[<о,VВозьмемж.Вейерштрассаусловиепей",предельнымиРассмотримфункциифункцият€[«о,V|.+Доказательство.доказываются!<ЕК",V>0-1.3:п.VIне-графика&{О{Г^))).выписанноечтоичтоло-Ьрасширенного{) :=Ь(т,±(т),Цт)&±(т,х{т),х{т))видеть,сильныйинтегрантиВейерштрассаусловие+задачедоставляетР),кЫостдп€окрестности«1]}(ХЕ[*„,* 6выполняетсяж(жнекоторойв{(«,*(<),*(<))С1([*о,(Р)-где^],К")простейшейфункций.вкусочно-гладкихбжзадачевЕ(т,Цт),Цт),Цт)темвидаВейерштрас-условиедокажемминимумаклассефункцияПустьлокальный=максимумасильногоусловиевариационногоГ,квиногопринципавариацийигольчатыхпомощьюнеобходимое—ж()—>задачисследованию0.—>Сжд()чтокнескольковариациидоказательствепри253исчислениявариационноговариацииэкстремум.использовалисьсазадача<р(\)=^у@).ижЛ(<)существует,хA)отрезок254Условия5.Главапорядкавторогоисчислениивариационномвг+\/ЛШп+-АА—*-гОПо|)теоремеоЁ(т)-/ (ЩсреднемС([т,Поналоженныхл/А],К"),=:.7, +.7}—+Зг-Ь(т,х(т)х(т),ФрешепотЬ(х(-))формулепоЬ,С1([т,отображениядействующегодифференцируемостиопределению=+—>Ь{1,хA),хA)).°A1ла('I1сЧ[гг+^]))==°№)>таккакПоэтомуг+у/ХЗг=Нт-АА->+от+у/+Х/=НтАX—^-^0ШпИспользуя^-АА—»+0+( Ьх({\-A-т){у/\)A1+-^/г(Ад)теоремуо<ИНтX—^+0Ах=:среднем+дляА2+А~>-0]НтА~>+0-1=-^ЛУта2=-днА,//интегралов,определенныхт+у/\--А3.АиА2,А^:величины+вытекаетл/А],К")Ц=| г(ЛЛ)(-)|1с([гг+^])где<#/интегрантЬ:наФрешепоЦхх)-Цх)&))х,интеграловопределенныхгладкости,дифференцируемость+Щ-0.-+условийтхх)хх,\дляАприИз^найдем§ 1.

Характеристики

Список файлов книги