Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 23
Текст из файла (страница 23)
.,+..сумманеотрицательныхcost+приложениях\,+х\числа,коэффициентом11.139.Пустьтогда10000,>три=ичиселх\т+..нихвидаотделположительныхх\условиямсредиСводныйIV.справедливоL2(R+),принадлежитх(-)I/2(R+);?полупрямой;наГауссанеравенствоаееабсо-производнаятогда000(неравенствоХарди-Литтльвуда-Полиа).11.141.х@)Ux2(t)^sup;(x(n+о111.142.\ u\Pdt^inf;+хихж@)0,=жA)=0,=0ж@)=(р>111l u\dt^inf;11.143.§12.1.Некоторыеp(z)Пусть<\которогогдефапСЛемма.В=+ао|\P\Z)\/\|2a\zс=+к=0к=0anzn+..akz1.=корень.полином—степенизадачусуществует.треугольникаV^/комплексныйчисел.задачиIх@)коэффициентамикомплекснымиэлементарнуюнеравенстваdef0,алгебры.иимееткомплексныхсилу=алгебры.РассмотримРешение<\<\Лч z)0.множество—анализаединицы,=жA)=задачиполиномменьшейнеж@)0,=РазныетеоремаКаждыйТеорема.степени,12.ихтеоремыОсновная12.1.1.+хk\^(\( \ап\модулейдля|zп~\Г^/ак*имеемп^1,у12.§zприОстается+00.—>Вейерштрасса.Пустьзадачи181Разныесослатьсялишьнаизследствиетеоремы>>¦?считать,-z)).(з).задачирешение—2Г=0что(иначемыНеобщности,ограничиваябырассмотрелиможноq(z)полиномp(z=/@)Еслиaoбы0,=то\а0=точкаzПусть=0,as_i=f(z)<доказано...т^0.Издопущенийнашихбыs2(s!)=Применимкastsei$eabsСогласноmin(Iх)выражения^0Значит,12.1.2.высшихlocminсрфункционаланет(п.Вопределеннойопределенностиконечномерномизвестнойдаетсяявляетсятеоремабеззадачусловийдифференциалформойвыс-илиположительнойопре-Покажем,ФерматеоремычточтосимметричнаяАматрицаопределенной,положительно{Ах,=Rm.е=если(ctij)flj=l=называет-Q(x)формаквадратичнаяэтомАпишутиДляономатрицматрицИк)Лемма.detПустьтогда,когдаА^detк0,>An>=0.1,.
.,пПустьочевидно.2).>—=определенатеоремы(пп—\(Qположительны.минорыутверждениепорядкаQk(x)положительноглавные=матри-обозначимДокажемегодляп.порядкатолькопорядкаматрицдляееА^гдеминорамиАМатрицапервогодоказано(хG=вектораdetAk,Определителих)когдатогда,тольконенулевогоглавными{А^х,формуСильвестра.Теорема0.>называютсяКвадратичнуюлюбогодляQm).тогдаиположительнаUijXiXjk=\,. .,m,j=\>А.J2г=1При(aij)iматрицы=х)этамногомер-длят=0.<ограничений.Напомним,называетсятеоремойследствиемпростымвыра->второйквадратичнойкритерийСильвестра.случае2.6.1).Из(p(s\0)нулем.является(п.0.>формулировкеопределять,7).(Iх)чтобыбытьПри+(p(s\0)так,должноСильвестра.положительно2.5.2).(s0A)1,s-..минимумавыбратьao1,cosэтомприможноэтомk=|ae|изначит,приходитсяПриусловиечетнымвсегдаи,Критерийпорядковмногомерных(чтовидно,..задачуср.=0,2(s!)|ao|=бытьдолжноsемурассмотрим=O(ts+l))x+необходимоезадачеа\->inf.О G{aoaselse)Reибыловсеикоторогодляегв=-1))y/@)полиноманомер,Ж)что+VzGC.корнемтот—(следует,anzn\2+..былаи==J-J_=J-(a0^W(O)+axz0=^ 0Зафиксируемaoas+Ф)х—Тогда1.ТогдаАп>0тогда182Гл.СводныйIV.Рассмотрим<\<\Qn(yuэкстремальную1)Уп-и.
.,гдеап(апьРешениепредположениюзадачиуАп_\индукциинепрерывнозависитот(где—е1п-\(з)существует.0.ВследствиеОтсюдав—2\ап\\у\\апп\изследствие(п/'(г/)03.Вminз,1)-мернаяАп_\матрицаматрица)будет(Ап_1У,=>—такжеу)\у\+оо,-^е\у\2.>f(y)е.т.апФерматеорема—г\у\2>можно—применятькприводит—равенствам0.=стационарнойf(y)=Разложимнепрерыв-0>гRnlпризначениеоткуда#зпредположе-определительКоши-Буняковскогоединственностисилуabsусловие+Ап_ху^^чтоВейерштрасса.теоремы2.Необходимое=ограничений.помалых—Ууенеравенства+оо-^беззначит,у}^0силу—(з)inf,->аппДействительно,и,eln-x)y,+задачатого,единичная—у)гладкая—приопределенной-у) +2(ап,матрицы,/n_i((An-iGЭто>приложенияB/i,.
.,2/n-i)eRn-1,=элементовположительно(Ап-и=ann_i).. .,изадачуf(y)=2/=отделточкиу—А~^_1апе=задачи{an,=у)определитель+аппапп=АпматрицыпоА~х_хап).(ап,-столбцу:последнемуп-\АпdetAn_idetапп=^+ainAiг=\каждыйдалее,и,А^,определительг=1,. .,п—1,Тогдастроке.п—\АпdetАп_\anndet=^J+ЕсливоспользоватьсятеперьАпdetЗначит,х=получим(х\,=означаетТеперь0.Тогдахп),. .,Qn{x)этоАп_\,0,то>x2nf(y)>очевидно,пох(х\,у4=чтоdet=>(х\/хп,AJdetочень0и,значит,0полу-Длявек-хп-\/хп).
.,An_{А.выводитсяАп-\0) ^индукции.обозначим0.>жп-ь. .,определенностьСильвестраS3 ^detAn==предположениюx2j(y)положительнуюкритерийУп-\)-..,вектора0ф 0,хпто/(т,=дляQn(x)А~х_хап)).(ап,+0,>1)>неравенствовектора>АпdetжеАпУп-и. .,ЕслиполучаетсякматрицыdetAn/detAn-\.=если0<Qn{y\,аS3образом,An_i(anndet=чтодоказано,ТакимобратнойопределениемформулекприходимAijainajn.j=lг,топоследнейпо—и0,>\>\>просто.поПустьпредположениюАп>12.§АпdetА^detиндукции0.>ЕслиАп12.1.3.0.>Пустьдокпооткуда1,=чтоследует,излеммыподпространства.доэлементысразух1,нанатянутогорасстояниеотрхк,.
.,хк. .,—точ-выражается^»*i=1I/2.xi))lj=o/det((x\экстремальнуюх°,пространство,ТогдаX.изподпространства,Рассмотримлемметоп,. .,гильбертово—p=(det((x\<\1,—О,>точкиXнезависимыех°формулойточкиА^отТеорема.п. .,>РасстояниелинейноI,=detжечтовытекает,кО,>задачи183Разныезадачу-+inf,CF,. .,&)GRfc.(з)=г=1Этоигладкая—гдеАкat))tj=x,{{х\=Имеемзадача.выпуклаяак((х°,=х1),(х°,.
.,хк)),Ъ=(х°,х°).Заметимxi))k{{хг,=чтотеперь,Там12.1.2.п.¦Остаетсяq.2.былиэту1.лишьсамуюS3чтопоказано,Замечания.определителямиточностивбылоAkdetОпределителиAk+\=>Ak+\detир2.=врешалигдеS3чтоучесть,мызадачуdetA^+i/detАь,=называютсяопре-Грама.В2§быличастныерассмотренынайдены12.1.4.ПриведениеАПустьиформысимметричная—когдатеоремы,гиперплоскости.квадратичной(aij)fj=l=этойслучаипрямойдорасстоянияглавнымк(а^-матрица=а^)осям.Q(x)и=п(Ах,=х)J2=А.матрицеo.ijXiXjВТеорема.базис—форма,квадратичнаямат-соответствующаяг'3~/ьfn,. .,RnпространствевортонормированныйпредставлениесуществуетQ допускаетформакоторомг=\Ввдольк{fi}2=\базисевекторовбазисуПодробноесредствамитеории/—fi называютсяприведениемглавнымиформызадачдиагональна.главнымви[13,НаправленияQ, апереходосям.теоремысм.формыосямикэтойдоказательствоэкстремальныхQформыматрицас.ее274-277].обобщенийсредства-184Гл.СводныйIV.12.2.Некоторые12.2.1.Теорема.ВейIПустьx(t)К(И)этоL2(I).x(t)имеетBexp(-At2),квантовойместоR+,полупрямаяx(t)причемиt•x(t)неравенство^^\)\A)2;=A)/для(см.[19,Rвыражает=достигаетсяидля199]).с.принципA)Докажеммеханике.точноенеравенствоA>0Неравенствоилинепрерывна,ТогдаK(R+)4,Rпрямаяабсолютнолокально==приложенияля.—IIгдеинеравенства.Неравенствофункцияпринадлежатотдел/длявнеопределенности/СлучайR+.=R=анало-аналогичен.1.<\РассмотримэкстремальнуюзадачуооооUt2\x2dt^mf;-\)x2dt=\(з)ооиприменимонвнейкэтойобоснован).не(хотяЛагранжапринципкнигеооJ(A0x23f=бесконечногодляФункцияотрезкаЛагранжа:Ai(t2+\)x2)dt.-о2.Необходимыеусловия:а)уравнениеб)трансверсальность:3.ЕслиАоЗначит,условию.+ Ai(l—(p(t)Эйлера:t2)xехр=то0.=(—t2/2)4.Семействоэтомунуле,причемx(t,функцийудовлетворяющееусловиюtA--Справедливость0VtфункцияAi1=иусловиюR+.Gобразуетэкстремалей,полеипокрывающееполу-основнойВейер-формуле\(±-^Щх\t2)x2)dt=егонетрудноUxdt=получить+txfdt>непосредственно,B)0.интегрируячастям.ИзB)следует,еерешениеизip(t)X(p(t)^соответствующее000по=суравнению+хчто10.3.1):оооо2°°(ж2A)следующему:убедиться,трансверсальностиравенство,(п.к0.^Выпишемштрассаизопериметрическомусводитсяможноудовлетворяетв0;=противоречитЭйлераНепосредственнотрансверсальностиполуплоскостьчтоуравнение\)х—0.=0,=х\ (t2+х@)0,=Х^х—изопериметрическогодоставляетчточисленноефункцияусловия оозначениеx(t)задачи=Сехр(—12/2),иединицеравногдеСвыбраночто12.§ПодставивB)втеперьзадачи185Разныеx(t)вместоy(t/a),функциюполучаемоооооо\^у\т)drJVа2-000ПрименивусловиеA).кприходим(т)a4+Jr2y(r)неотрицательностиdrО>Vaквадратного0.>трехчлена,при->12.2.2.ОбобщенноеТеорема.непрерывнаI/p(R+).1,р>s0,>x(t)функцияx(t)функциипричемТогда0.ВейлянеравенствоПустьR+,напринадлежатdrимеетместоабсолютнолокальноts/p~lx(t)ипринадле-неравенствоR+\/p+\/p'Неравенствоточное[19,(см.A)гдеРассмотрим+pдостигаетсяи199],с.1.<\=x(t)длядоказаноэкстремальную-p~{0).^хдляBexpl—At=sзадачуоо\(\х\р-ats~l\x\pbtp'*\x\p)+dtinf.(з)-+оЭтокБольца,задача—нейпринципнемыинтервале2.Необходимые—(хотя(l^l^3.Ищемsigni:)ats~l\x\p~l—х@)удовлетворяетудовлетворяется-в(рCпри=1)/?р-4.СемействоудовлетворяющееполуплоскостьtформулеВейерштрасса\х\р1) Этот>0.пунктнаписанвip(t)виде—Л)=1)то(C>X(p(t)равенство,-А.C=поляdt=>sCp~\Ъоно=(р—полуосновнойx)Еслиэкстремалей,полепокрывающееu(t,Функ1.чтосоответствующееl)/3ptp'8)\x\p)Брухтием.1),аинаклонаВ.получится,образуеттрансверсальности(р0;=(—1@).ехр=приЭйлера,уравнение1 + s/(p(функция-2п.условиюВыпишем(sCp-Hs-{signxтрансверсальностиx(t,функцийs\x\p~lbtp+0.=условиюфункциюподставитьsignxуравненийрешение(рбесконечномнаЭйлера:б)трансверсальность:ФункцияПримениминтервале.Больцазадачиранееусловия:а)уравнение—бесконечномнаправда,Лагранжарассматривали).=ip(t)x/(p(t)фор=186Гл.СводныйIV.отделиприложенияооU\x\p-=Это\u(t,такжеравенствоВсилу\и\р—х)\рвыпуклостир(х——-p(x-u(t,можнопроверитьsignu(t,x))dt.B)непосредственно.?функцииsignuu)\u\p~lx)\p~lx))\u(t,|^|р—>принеотрицательно,1>р\хвыражениеB)изиоткуда:V—следуетнеравенство(/3=1-{spv-hs-x-{p-\)p4v's)\x\v)dt>0ОПодставивC)вx(t)вместооо,ТC)получаем,гдеzА,Пустьлюбогодлянеотрицательно,иСl)JTap\y\pdr>0<1.<\<\z0>доказатьнужноВследующуюположительные—=Azp>Bz—лемму.р'числа,f(z)выражениеpVPp«/p'Ai/p'cl/p+РассмотримэкстремальнуюС2 этойРешениезадачи2.Необходимоесилучто~z(такПрименение/(¦?)каклеммы^D)ксоприводиткA).2^0неотрица~о0поf (z)точкиусловию),^0.(зх)изтеоремы/х@)(ибоединственна:стационарнойединственностиzследствиюФерма:теорема—точкаinf,-^поусловиеследовательноC+Ясно,оо.=3.СтационарнаяВ-Bzсуществуетf(z)limибоТогда,задачуAzp>=1.>(?)2/B)Bf(z)расса,D)Vz^O,то,В4.zpf3p(p-доказательствазавершенияЛемма.если+ap+s-1.=Длянемедленноy(t/a),функцию-^-).+Вейершт<0).0.=/х(^)2 Gabs=0^<^^>minзх=и,12.§12.3.Неравенствапроизводных.для12.3.1.Неравенствох(-)степениточноеэкстремальныхэтогосм.задач[18,вх(-)НеравенствоA7)-+теорииА.А.Маркова.имеетпAsin(ntсредствамиэкстремаль-109].с.степенинеравенствофункцияхнанеравенства12.3.2.Неравенствополиноматригономет-местоП|И|С([-7Г,7Г])-^достигаетсяиДоказательствоимеетп| #| с([-7Г,7г])НеравенстволюбогоДляБернштейна.полиноматригонометрическогозадачи187Разныеточноеполи-неравенстводостигаетсяиалгебраическогоДляместонаЧебышеваполиноме(narccost).cosДоказательствосм.задачнеравенства[18,в12.3.3.ОднонеравенствоL2(I),ееIнепрерывнанаимеетместоитеорииза-экстремальныхПустьперваяпроизводнаяпроизводнаявтораяточное=Iилиполупрямой.напроизводныхдляR/Теорема.принадлежитсредствами109].с.R+,=х(-)х(-)функцияабсолютнолокальнох(-)принадленепреТогда1/00G).принадлежитнеравенство^^рм^уA)Далеебудетфункция,Iописана1.<оэто/СлучайРассмотримR+.=функцияобращаетсяэкстремальнаякоторойнанеравенствоR=вA)неравенствевравенство),(т.е.когдааналогично.доказываетсяэкстремальнуюзадачу2-^-dtinf;—>х\Х2,=Х2\и\и,=^х\@)1,(з)1.=оЭтооптимальногозадача—выпуклогослабуюипроизводныхдоказать,чтовыпуклостифункционалаимеетвидх(-)задачионоединственно.(з)вы-задачаодновременноограниченностьвторыхснизуфункционала,существует.ВполунепрерывностьрешениеФункцияпроизнетрудносилуЛагранжастрогойвы-(з)задачиооо2.иуправленияИспользуяпрограммирования.(y)Необходимыеа)система+условия:Эйлера:уравненийб)трансверсальностьв)оптимальностьХох\+-piпопои:0,=х:р\@)supP2U-_р2==-/л\,Р\=0;m(xi@)-1).188Гл.СводныйIV.Замечание.ВследствиебесконечномЭтонетруднопределупри3.ЕслитаккакрB)СледствиемявляетсяДействительно,B),4.Вчтотого,условияединственностивэтогоB)Пусть>и(х(т)У2signЗначит,имеютB).p(t)Източкаp(t)чтоп,B)-D)ииз=-t2/2-at+l,(х(т))-2>0,корень(л/2,2).и,необхолюбоедостаточными,(з),задачирешениюаизх(т)единствен-B).системырешения0,=x(r)p(y/\x(r)\tф+место0.Тогданепосред-r)равенстваx(r)p(^\x(r)\tрр(т\)x(t)=((а2=-=—2)/(а2<—+2)I/2,такаясуществуетх(т\)0,p2x(p(tуравненияr).+что/?2_2Nl/2наивывести,@, п),чтоследует,единственныйфункцияпрограммированияявляютсяр(т)нетрудноt егдеследует,R+нулем.единственностьsignB)-D)соотношенийучесоот-(x(r))x(^/W(^\t^r),x(t)=L2(R+)eсизфункциичтоудовлетворяютC)Ноpтолькочтоточка,убеждаемся,непосредственнок1):=частьсуммируемая0кприводиттакая—невоз-1.B)=навыпуклогофЛоследует0посколькудругое2 сводятсяконстанта.—Li(R+),peбытьсрешениягж@)0,часть—задачеминимумауравненийрешениеЛоположить=праваяможетсправасилунеобходимыеп.левуюслевапоэтомуконстантазначит,инито,Vt6R+.C)I/oo(R+),ехLi(R_|_),Gхрни^i(R+)fi\t,—кпереходяизр=°Yт.е.нуль,I/2(R+),ех=продифференцироватьполучитсясоотношенийчтоНоиp(Q)+еслитор^?интеграл*P-\P\учетомзатемсоотношенияsignp,=p2(t)1.—черезх—х,=итогеобозначитьр%=Врассматриваяичточтоu(t)1/2(R+).Gпереходом,следует,либосоотноше-[О, Т]оказывается,б)и1,=(еслиследующемуа)изх\этомнарассматриваетсявыписанныхинтервалПритоu(t)либотоневозможно,0,=задачапредельным+оо.—>Лоф О,/iчтоконечныйнаТприложенияобоснованиеосуществитьзадачиограничениеитого,требуетсяинтервале,соотношений.отделр(т\)0,т\))=0.точ-Отсюда[0, т\]наип<аA+/о)x(t)и=а-12.§Такимобразом,(— \)кзначениепринимаетк-\0,=1,го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
