Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

.,уравненияпрешениемПонтрягинап.h(-)1,п-х(-)порядкаh(t),функцияявляется1,чтодопустить,нетривиальноепроизводными0,=вывода1теоремеуравнениеЭйлера—L±(t,—х)х,Lx(t,+xx(t,ТаккакLxx(t)>Lчто(напомним,Vt[to,t\],СА(%))Lxx(t,Эйлераx)x,Lxx(t,>0вФ(?,В(дважды)силунепрерывносилуx,у)LT!(t,предположенной=x,Lx(t,—Лежандра,х)х,е.т.=неравенство(напом-LxxфункциинепрерывностиЩx(t))x)cVe<%\Vtety/\.разрешеннойЗначит,у,?уy)(Lx(t,Rn,х[t0,ti],вty/\областиотносительноФ(?,=у)х,гладкостидифференцируема,х)х,такоесистеме,=Lxt(t,+^(R2n+1),eхх,х)хусловието(t, x(t),V(t,равносильногде<^>х,найдется^iчто+0=усиленноеGех)х)хх,выполнено0х,х,-у),Lxt(t,х,значит,у)функцияинтегрантаи,уравнениепроизводныхполокальной-Lxx(t,у)у).х,Ф(дважтеореме0.158Гл.ЗадачаI I.(АТФ,существованиянепрерывнойи=x(t*),(t0-?,Пох(-)на(|А|RnА,+t*5.6.1).Дифференцируясм.вAn),г]определеноx(t*)точкаизданныхAi,An)).

.,х(-)экстремальА)}=интерва-начальных. .,xn(t,что{#(-,+даннымиотПокажем,экстремалейe];+t\г,—некоторая. .,дифференцируема.полем[toначальными—(xi(t,\ut\г,—зависимости=центральным[toсгде(АТФ,данныхчтоотрезкеЭйлера(t,\)^x(t,\)непрерывнонасуществованияначальныхотрезок5)<О,>дифференцируемойфункцияотеоремеот5ипродолжимоx(t*)2.5.7),п.Оуправлениеглобальнойи>гA G=оптимальноерешенияуравнениятеореме(АТФ,2.5.2)п.такиех(-, А)x(t*)t0).решениеинтервалаизависимости2.5.5)найдутсяа)решениелюбогоб)дляп.Лагранжа(определениеокруженаэтоготерминап.Афункциюx(t,—>А)А,поАполагая0=обоз-иxx(t,X)\x(х(посколькуполучаем|А|Оt^ (~^ЫЬ=>А)x(t,-^S)<=dxdt,\j.*(t>A),-^(Lii(t)H(ttA)i(t,A))U)Получилось,этомПриматрицавыполненыx(t,A),Lxi(t)H(t,U)А,А))) |л=о±(t,U))=>+Lxx(t)H(t,+удовлетворяетU)0.=Якоби.уравнениюначальныеследующиелюбогодляLix(t)H(t,+(•, t*)ifэкстремальL,(t,++чтоэто—условия:дд\л=одХдХл=оH(t,ПустьH(to,to)Якоби,невырожденности(to,существуетf.решениеуравненияПосколькувыполненонетривиальногообразом,H(t,матрицыto)t Gи(АТФ,данныхблизостиt Gt*[to,t\].2.5.5)п.разрешеннойксводитсяочевидно,любогоЯкобисуществованияначальныхдостаточной=условиелюбомприкtoЯкобиматрицаh(r)(to,=t\].сусловиямиусиленноеhрешенияh(to)усиленноетеоремытоже,to)=условиямглобальнойдлянематричноеif0,=тоудовлетворяющегоТакимотto)—О,равносильноНонепрерывнойtoусловиеЯкоби,уравнения<т<(п.t\сноватогдавзависимости(дляH(t,первогоt*)будетгло-силурешенияЯкоби,уравнениясистеме5.5.1).невырожденно-котороепорядка)невырожденнойпри10.§РассмотримЛпоt\].толькоА(т,?)об\t—найтисилу5qсуществует(их(т,А(г,гладкостьобратнойт\ < 5,А(т,внекоторойтакое5точ-5(t)=0,>единственноесуществуетБM'-функция^)^x(t)(г, ?),|x(t,^)определениютакаянай-можно5q,<сущест-прикоторомкакже,гладэкст-окружающего?)-rx(t,dt=А(т,t=rПоложимдифференциал.ееА=Аи(т,[to, t\]}х(т)\(г, ?),—поля,положитьпо|^С-=t Gфункциицентрального5(г,О)Лгладкостьt,Имеем{(?,=А(г,единственное)Остается(г,тох(т,точки—иФункциядифференциал.5,<^Г^этомПриПостроениеС2.закончено.экстремаль,Олюбойпонять^.=т.е.х,А))найдетсяx(t)\(т,=длянетрудно^))|?—графикачтотакое,как(?, x(t,=функции0)компактностиодноЛ)чтотакое,Щт,ВФ(?,Имеемтеоремеесли=[t0,t eЗначит,чтоуправления159оптимальногоотображение(?, 0),точкеЗадачиA(r,О).*(*.А(т,ВычислимS-функцией.называетсядиф-ееЖ(т,А(т,0)=?.A)х(т,\(т,0)=и(т,0.B)ДифференцируяизвытекающуюЩ=j{Lx(t,подзнакомтого,чтоx{t,xGC2,интеграла,используянепрерывностьх\,получимА(т,О).*(*.А(г,С))),x(t,A(r,О).А(*.A(r,a:A(t,А(т,0>d*0)A€(r,+тt*ji(t,Интегрируяестьаэкстремаль,^^НоокончательнослагаемоевтороеизA)=следуетпотакже(Li(r,#а(?*>С «(г,^(г>0).A(r,А(г,=А(г,^)'дБ(т,С)т=Li(r,(с^, и(т,(с\\0)def=^)Р(^,/х(-,получимО)=имеем—^^чтото,0)А€(т,^))А^(г,O>0)A€(r,B),0)«л(т,х\(т,равенство*л(*,(используячастямчтото,0))..чО-/,откудаокон-dt.А)160Гл.ЗадачаI I.ЛагранжаиоптимальноеуправлениеАналогично,dS(r,Цт,=f, и(т,J«Lx(i,a:(t,(Li(t,+x(t,A(r,Цт,=Здесьпослеi(*.С «(r,0)экстремалейграфиккоторойx(t0),S(tux(t\)x\)#(-,частямx0)d=A(r,e, «(r,?)),«(r,B)учетом+жл(т,Л(г,экстремалих(-)иследуетх(-),([to, ti],этойв^)?).во0.=%покрытаяRn)Итак,одно-~~центральнымлюбая—окрестности;-Я(г,принять^))Аг(г,ПустьКС1G=f0)функ-x(to)этомпри=Тогда\\dS(t,=x(t)),*a(*,с?))А(г,Вейерштрасса.Л),x(t\).S(t0,-<?x(r,расположен=sa(t,0)).Л(г,формулаграфикаполем?))).A(r,поОсновнаяокрестностьA(r,"хт(т,связнаяфункция,*(*.О).тождествоВ)О).интегрированиявнимание=А(г,x(t))(-H(t,=\(L(t,x(t),x(t))x(t))(Lx(t,-(p(t,x(t)),x(t),x(t)),x(t)}x(t),x(t))++4{L±(t,+x(t),x(t)),x(t)})dt\b(t,=dt=Отсюда(t, x(t),x(t))dtJd5(t,-x(t))=t\\(L(t,=x(t),x(t))-L(t,x(t),u(t,4(LA(t,-x(t),u(t,x(t))),x(t)u(t,-tx\g(t,=x(t),u(t,x(t)),x(t))dt.4ЭтуформулуГ)тахRn.Еслиеслитеперь(?, х)выбратьВейерштрасса.Изусловия.чтоследует,формулойосновнойназываютДостаточныеV,е%толежащейквазирегулярности<?(?,х,и,внутрииитегран-х)О>V,Уто(и,х)изеформулыRnx10.§Вейерштрасса([t0,#(•)т.е.ti],чтопоследует,Rn),графиккоторойсильныйдоставляетДокажемуправления161оптимальногонемедленноКС1еЗадачие.т.исследуемx(t0)А)ПустьлеммеоЖ(а^(-))Rn),—оо-^Б)матричноеПустьрешениеа+оо,-^выполненоусиленноеуравненияЭйлераJT(>(-))удовлетворяющееневырождены(to,t GдляHx(t)допустимаябых(-)бынетривиальнымy(t\)0,а=0.to,(зх).H(t,матрицатеоремы1),Функциянаклонаэтогоt*)A(t)>старшимиа11поАлексеевиX)др.=ti).Щ(г)хоH\(t)x\+ЯкобисКС1([to,тоН(-,уt\],настолькоt*^ t ^ t\гдеtoприхбылох—(to)уRn),всю=x(to)=чтовывести,нетрудноt*)A,=еслиусловиямиЯкоби.условиюиз—иботопокрывающееU)H~l(t,x) =H(t,(см.U)H~l(t,H(t,близко(см.доказа-<toполосуt<t\.п.Ж(х(-)В)доказательстваx+ж(-))изопериметрическоймысущественныеU)x.U)x),Значит,Больца,наусиленногоневырожде-единственна,невырожденаусловию.лишьуказываемВ.М.0задачи(дляпроизводными)ДалееИзt\)поля:-ибох(-,/.==экстремальэкстремаль,Вейерштрассаформулематрич-—tl)Я-1(to,x(t)функцияполе,u(t,поr)H(t,иH(t,значит,и,Эта—естьг)to)=усиленномуфункцийтогдаО,=экстремалью,х(')доказательствоОтсюдаH0(t)1,любаяПосколькучтоН(т,0,H(t,уравнения—НоПоложимпротиворечитх(-)H(t,иx(ti)==допустимойэтотеперьx(t\)0,=решением=0.<G—оо.соответственно.вдругойг)t0),экстремальбылаСемействокti)jг,и?(•)функцияЯкобиматрицыto)H-\tu^j/,=Пусть=[to,H(t,=Hi(tj)Тогда=Н(т,и1теоремеJ^(?(-))=x(t0)inf;чтоti]позадачи->вытекает,S'minе.т.inf;,.->существуеткоторойдляусловиеусловиямЯкобиусловия0,=dtТогда1.4.3)п.?(?i)=при?=х\.условие?(?0)ж))Якоби.(АТФ,угловh],(Вж,+x(t\)=ж0,выполненоскругленииС1 ([t0,G«^>задачуж)нех(-)(?(•)),функции(%('))^%,вминимум.2,теоремулюбойдлялежитненовые-Ж(х(-)).>задачивсехприводиммоменты.1)теоремырассуждений>изадачидетально,со162Гл.10.3.2.5.5.2.п.ЗадачаI I.ЗадачаИзсуществуютСо ?Vo,х(-, СьЭйлераТогда,?iGСг),=5.5.1,x(t\)иX(ti))x(t0),Ci)Со,X(ti)))Сь=существучтог&(Х(;X(ti))l(x(t0),x(U)))x(t0),для1.0,=х(-),графика-+^(ж(.,чтотакие,уравненияокрестности&(Х(-))=проделанорешениемалойв1теоремебылоэтопоказывается,x(to)x(U,лежит-какединственноеl(x(t0),&(Х(;^(ж(.))+вдостаточностьточеккоторогох(-)+п.V\иуправлениетому,существуетДля&(х(-))=V\графикесли&(Х{.))1VbокрестностиоптимальноеДокажемподобно<\теоремы,теоремымалыелюбыхиБольца.условийдоказательствеприЛагранжаX(to),тоx(t{)))+=Ф(ж(*0),+х(и)),A)гдеПроизводязатемдифференцированиеэточастямсрешенийдифференцируя,Эйлера,Теперьxi)[x0,хх]воспользоватьсяследуетВследствиеположительнойлежитмалойвиТеоремадоказывается1п.10.3.3.x(t0),(Дь/=—диф-повторнок(/b.

.,/m).А)6.2.1.(x(to),x(t\))x(t\))Ф(ж(^о),^/i)x,вдостаточность(з)п.6.2.1Распишем/o(t,=х)х,Ди=ОбозначимЛагранжа.поля.x,>задачицентральногоL(t,0.если5.5.1.п.множителилагранжианадляQ,+Докажем<\задача.ПостроениеЭйлера2экстремаль—соответствующие—^Ф(ж(^о),тотеоремех(-)ПустьUdt=PаналогичноДт). .,х(П)))Вейерштрассаформулетребовалось:чтотому,хх].поx(t\)),Изопериметрическаятеоремечто(x(to),приходим2Q)[x0,+определенностиокрестностимы(P=тем,;=наконец,и,формуле,Со, Ci)}{#(-,чтотого,уравненияэтойвинтегралаиспользованиемполучимФх/(ж0,x(t\))знакомподпоинтегрируясемействоуравнение+(/i,/(t,x)}x,всистемывиде-jtLi(t,x,x,/i)+Lx(t,x,x,/i)0=<^>x=I/^(t,ж,у,fi)(Lx(t,x,-=у,Lxt(t,y,уФ(Ь,х,у,11),=A)fi)x,у,/i)-Lxx(t,x,у,/i)y).10.§ТакприможноЗадачинекоторойвсделатьблизкихдостаточно/i,управления163оптимальногографикаокрестностиД,кхэкстремаливыполнимостивследствиеусиленногоЛежандра.условияПо(локальнойнепрерывноизтеоремамтеоремезависимости<?,[to,наt\]/i)A,=/i)A)#(?*)=исЛ+парамет-|Л|чтотаких,\±ЭйлераA,непрерыв-данныхЛ,уравненияt*to,кнначальныхлюбыхдлях(-, A, /i)x(t*),x(t*,близкомt*,приотчтотакое,решениеx(U,даннымиО>г(локаль-уравненийнепрерывнойотеоремамдифференцируемойпараметров) найдется|/i —/i|дифференциальныхтеориисуществования,<г,начальнымибудетопределеноto.<Положиму(т,/i)A,=B/1 (г,Л,/i),Л,/i),i:(t,2/m(r,.

.,/i)),Л,т2/г(г,/^(t,=x(t,t*Изусиленногото>0,чтоеслиЛзаканчиваетсяА=(г,ti],|^?, rj),/лA(r,^, ry),/i(r,^, г]))2/(r,A(r,^, ry),/i(r,^, ту))построениеАи/1обладаютполя.Функциях(т)\—ж(г,функцииэтомi(проверить[to,егfi))dt,X,выводитсятолькоединственныесуществуютприЯкобиусловия5такоеи/i)Л,<1,=это),что5,\г]?, ту)/л(т,=нужнойфункциейнаклонаБM-функцияA,/0(t,5,<чтотакие,Этим=закан-T/i).Положимдифференциал.ееиг/(г)|г]гладкостью.х(-,полянайдется—=?,=tназываетсяm.. .,x(t,/i),A,i:(t,A,t*AИмеемпоS(r,A(r,=?, r/),/i/i(r,^, r/).определению^, r/)+(/i(r,?, r/),r/)=t*AДифференцируяпредыдущем=по?пункте,A(r,=и^, r/),[L(t,x(t,/i=/i(r,/i),i:(t,ц), ц) dt,А,^, r/).подобныевыкладки,применяяA,проведеннымполучимЛС и(т,С Ч),=/х(г,С, т,))+(М^?),Vв164Гл.ЗадачаI I.ЛагранжаиоптимальноеуправлениеАналогично,^ЩТ^9Цт,=С, и(т,?, г,),/х(т,La(t,-Наконец,9#(,С, г,))?,77)/?, гх(т,Основная?, ry),*^=ft,В)-*> Ч)-/i(r,?, ту).\Вейерштрасса.формула?, г]))и(т,Пустьа(аь..=tгam),.

.,=yi(t)гXj,1,=/г(«,=x(s),jm,. .,5(ti,0,=a)жьx(s))ds.1,yi(t\)еслиж(^)a^,==то5(t0,-Тогда,0)ж0,=следовательно,и,*oгде^x(tj)x(tj)=jXj,=0,=1,t2/г(?)J f{s,=x(s),x(s))yi(t\)ds,i=ai91,=m,. .,*o<?(t,x,x)u,y,L(t,=L(t,Г)L(t,x,Достаточное210.3.4.достаточность=в=—y))x,(x(/i,—x)x,+1теоремеподобноЗадачасо1u)Lx(t,—/(t,x,fi(t,u,y)),x,ж)).ж,6.2.1п.немедленностаршими7.2.1.п.усиленноеизследуетЛп). .,и>ДокажемЛежандра,уравнениеегосводимстаршейкуравнениюЭтопроизводной.построитьn-параметрическоесемействофункций,удовлетворяющихуравнениюкраевымдоста-Расписываяотносительноx(t,Эйлера-условиямxW(U,х^к\и,5.5.1.<поля.условиевозможностьп.производными.разрешенномуЛь2теоремецентральногопорядка,x(t,fi(t,/o(t,вдоказываетсятеоремеиспользуяПуассонаu,/i)x,А) ПостроениеЭйлера-Пуассонадаетx,y))x,интегранта.Теоремаи/i(t,условиеквазирегулярности2п-гоx,x,—Л)Л)==x(k\Qх^(и),к+Afe_n+i,=0,1,к=п.

Характеристики

Список файлов книги