Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 25
Текст из файла (страница 25)
.,absGSm[nmin,2.17.@,. .,0)G7)G{(±1,2.18.(-2,2.19.@,2.20.@,abs0,0,1)Gabs1,0)g0 ^sup;чтохx^0^4.иПож^4,0)Smaxmin,1.2.21.Решение.@,SmaxA,+ooabs/@)ибо==6max,Smax±1)}(xnabsGНеобходимоеусловие—теоремаmax,y/n.=Smaxmax,(-n,=2n0,1.=3)).++oo.f(x)=x(8хрешение/D)=0,Ферма:f'(x)=0.—существует./функцияаx)(8—значения.положительныеabsmax.Формализация:Вейерштрассатеореме1/л/З)}absG0,. .,=Gmin,0,=. .,min,min,absSm[n0),. .,absin/4). .,min,abs60,=(in/4,2.@, 3),+OO.=GlocG=Smaxmin,Smax-OO,1/25,е1/4,=5maxmax,absG5minmin,absG3/2)=2.13.A/6,0,(t, 0,Ясно,+oo.=-oo,=Ь.=2.12.5тшиlocextr.2.9.C/25,2.10.A/2,2.11.(-1/2,-^3) ^+oo.=+00,=B,точка:стационарная5max#max—oo,=oo,—+00,min,5max5max1,—==absG=решенияextr.C,<б'щах—oo,14)2.5.Sm[nlocG=2.4.(—4,^иуказанияпринимает2x)-^Ответы,3.f'(x)О=4.ВсилуточкиЗх2^^absТартальячислоквадратответ1/33t/5(pi,-2.26.t3—=гдеabsерп)в(хРадиусж]0,В1.е)=иv\v^—тпсA=х2/А)——>sup,аналогичнырассуждения2/л/З.2.33.((п1/п.1 +Xi—2.38.(x\,=—>конуса\)/п)х/2.Куб.1.\хг\2y\допустимыхсуществует.ФункцияФормализация:1,=xj,=множества4/3.равна2.35.sup;xf),.
.,решениеВысотаРешение.(y{)fj=lкомпактностиВейерштрассатеоремеV(x)4/3.det=0),. .,Снеллиуса:преломления,Далее,равна-силу1/п.треугольник.тетраэдр.A,=—рп=13).рис.равенконусахп..12.§в=угол—равнаравна2.37.ПравильныйеАТФ,основания. .,=закона^цилиндраконуса2.36.Высота1.2.2).п.2.21.задаче2.32.Высота=J.АТФ,всм.p\ПравильныйФормализация:цилиндра).высотавгдеmax,(см.Высотае,квадрата,4/л/З-см.случайпадения,средах—Ответ.V(x\D-выполненугол—рассуждениям-этогограни.absе2.31.Решение.2.34.попо-разделитьтреть(решениеОбщийmin.2.30.24/л/З)+преломлениясвета^надоmin.. .,2.29.Квадрат.х8)е.на[ВС]absGа\v2О ^(т.зафиксированнойг>/~sinточкеaiскорости4л/3.4 +другоеДействительно,(D=середина—тяжести«2стационарнойтреугольник.Е2.24.Центр2.25.t2sin4/л/З.-единственностичастей».64/3=2.22.Равнобедренный=,4=увеличенныйобеих42/3+2.23.Точка2.28.Вж«Числотак:разности42по=>4/л/З,—половины,квадратуоОи4равновыразилэтой2.27.р=решения199решенияОдноравен32+иmax.Ответ.пополам,2Ах-существованияGхуказаниягjесли1,=>n,.
.,1и?/]элементов=по??Лагранжа:=пZг=12.Необходимоескалярноеиз=(А\,Xi0=0,чтоалгебраическихА{.Af)=. .,произведениеесть0==0,AoV^.<^^>тонекоторойдетерминант(Ai,кXjматрицы—е)0.=которого1. Положим=строкедополненийэтомщх^для\xio\поПри+to,дляпротиворечитопределителясоставленныйVXiчтоПроизводная=Аочтодопустить,бы,получилось1.??Xiусловие:3.Если—0,сгдвумяф j,^ 0,Аоэтоэтойэлементам=i i0ибоодинаковымивектор,строки:этоска-=200Ответы,Значит,строками.векторам(xi,=иуказанияXjXk)из2п.j] фе,—==>гХ{следует,JLXj—решениячтовекторXk,j,всемортогоналенXiФкНог.(xi,тогдаXj)=значит,и,\xiXj\2-2=2(хг,-Xj)2=2(xi,-Xk)\%=xu\2)-далее,(xi,Xje)-0=(xi,=>\%=>Такимобразом,Ответ.Xj)2.41.тг/2иприходимВ4.силу{0,f(z)задачеОтвет.—a2 sincpsimpчерез(р,а—>sup;площадьasimpзамену0 <sup;—>полупроизведениюДелаемzусловиеа2.<Поy/z=теоремеФерма:теорема—/а0 ^1,^этихв'zто2.43.Центр2х2)=(ех2\2—+arcsin=если——.Функция^е\2—г|ж2+е|2—|х|=1,2,^sup;АД2=+х2кругЛагранжа:+Л1|х1|2ж2+xixi+х20,всеЛ0/(х1,х2)=Необходимое\х\хгеК2,A,0),=радиуса).единичногофф=7г/2;т.е.Формализация:\х\=1решение.2Г=а2,тое.т.Сравниваязадаче.круга.1.х2условие:Ао0,=Aq0=Ж2Если1/л/2,вписанногоf(x\,Полагаем/2,1=находимто-критическихвмаксимумточках,^аизоднарешенияабсолютныйдоставляетЕсли^3.равны.равнаними).z)необходимоето2.44.Решение.нули.z(\=2Г существует.функции2.Xj\2.-многоугольник.—окружность,существованияа2}1/2,значение1/л/2|жг=0.=точекребраylобозначенмежду0<^<а2,Еслиf'(z)угларешение2.%)ПравильныйСЕВуголвсинусВейерштрасса2(жг,-всеФормализация:|О.Е|,=вписанногок2=многоугольник.четырехугольника,наe)2.40.треугольник.(адиагоналей=>2(жг,-симплекс.1.^(рe)2=симплекса2.42.Решение.0^e|2-экстремальногоуПравильныйПравильныйПравильный2.39.(xi,==Aiто—А0(ж2^^1 =^-А2=B—=\ )х\—-е)+Ai#i=0,е)+А2ж2=0.Лагранжамножители=х2+е,B—А2)ж2ну-—=х\+е^^>(подставляя=—е.=х2eC=Х2)—первогоуравнения2)±е;либо=^Получаем=указанияизх2l)xi—Ответы,сточностьюЖ1=переобозначения3) a;iдо-ж2либо±е,=е;(Bвторое)вох\=решения201иAiA2=В4.компактностисилудоставляетрешениетретьяПравильный1.АОВ,МСточки[CD].GFDравнак(аестьхJ/х,+Вследствиек(Способ(ро-^(р\DO\Стого,нужналишьисследовавчто(рl\иее^^(рлежащаяОВвнутрисоответственно,l2р((р)черезр(ф)пофункцияэтупритакр,нетруднор'(ф)Ферма:теорема/i(l+\DM\,ф)/cosф-sinэто(pугол—/2A—0.=OCD(p)/cos(рис.каквычислить,—р{ф).—(р$=диф-непрерывнофункциипроизводную(рВейерштрасса.рсамойа+оо—>теоремечто\CM\,попо-тг,иубедиться,условие=отрезок,точкойзадачу(роp(ip-\-dip)=иmin.Обозначимср.существуетпроизводная,р\(р)гдеabsточка,равнавыписываемприращение=ечтоО Алучахнепрерывнарне3.Проверить,0.заданнойзаданная—inf;задачинетрудно2.Необходимое+оо-^АОВ.углаее=свойством,Рассмотрим—>хделитсяCDBуглаМыточкинаOCD.какхпри2|OF|.)Млежатвеличинатого,Кромедифференцируема.+оо-^S'(x)тем=ПустьDирешение0.>Ферма:угла,1.величинатг,пропорциональ-Вейерштрасса.теоремасторонамипостроения:Вследствиеиа,OCDтреугольникаS(x)итеоремеобладаетпрямаяр{ф)гдеточкуравнаa.треугольника—А;OFдлинахстационарнойточкипериметрОПустьinf;->непрерывна=иж)+—2.46.Решение.D]внутрисоответственнокоэффициентпомежду[С,(акS(x)ИскомаяАОВ,ОВиплощадьнекоторыйединственностисилуGтео-до-параллельнуюF.чтосуществует=0^^xОтвет.прямую,черезусловиезаключенныйуглаММ—=чтох3.S'(x)пополам.позадачутого,4.В(-1/2,лежащаяточка,О Алучахподсчитать,где0, решение2.Необходимое-^начерезобозначимS(x)х=функционалузаданная—лежатЛегкох.Рассмотримпропорциональности.DОВсМПустьиПроведемеепересечениядлинах\треугольник.2.45.Решение.иМаксимумх2=элементовдопустимыхсуществует.+\)х\ж2—=экстремаль.Ответ.угла=^>л/3/2),(-1/2,=множестваВейерштрасса3А2)—экстремали:-л/3/2).теоремеAi)B—=sin6).(p,нам202Ответы,иуказанияВ4.стационарнойрешенияединственностисилу(рточкисмыслМ,точкевсаннаяокружность^проходитсторонзатемиугла,Надоизрадиусапровести[С,отрезокDивневпи-OCDтреугольникМ.провестиD],сСокружностьвозможных),двухвпро-говоря,точкуОтвет.(большегоМточкуиначевчерезсостоитCD,угловО;точке0кпересекаетсявнешниходнойв=перпендикулярбиссектрисамичерезГеометрическийр'(<р)проведенныйрисmin.соотношенияследующем:DВстационар-absGкасающуюсяэтойкасающийсяокруж-окружности.—>2.47.Площадьчетырехугольника,2.48.Решение.1.2тгRhsup;сегмента,априходимк=<Ответ.ИскомыйточкиразныеАВпрямойОтразимв2RV'(h)сзадачи=^R,?rft2).^а0.=естьftу/а/6а/тг<R.=полушар.отданной.Пустьизпрямой,тоточкинапримерних,искомаяточкаискомаялежатпоА,точкуПолучимдолжнатетраэдраа=отсюда,прямой.иЯсно,существует.V(^/a/ir)aстороныоднузаданнойсВершинавписанноготочкуА!.Пере-С.впроектироватьсяцентроснование.2.52.Правильныйтетраэдр.2.53.хо(х\=+Х2#з)/3+центр~~тяжестих3.2.54.хоИсключая^2тг/г;=—заданнойА'В2.50.2.51.х2,попрямой.асегментотносительнопрямойftft0,=Значит,лежатотсторону^@)иб°пересечениесимметричнокруга,—>высота—ftФерма:теоремашаровой2.49.ЕслиПересечениеft/3)-ftшара,<чторешениелА/71"'ад/а/Зл/^тг.=0того,ВейерштрассаV(y/a/2n)однуnh?(Rл/а/2^.=т^ftиестькруг.=поверхности).sup;из—ft^^теореметочка-+—следует0=т^Орадиус—боковойусловие3.V'(h)ft<-—неравенство4.По(R2Rft)задаче2.НеобходимоечтоV\(R,площадьV(h)(последнееftзаданная—вФормализация:0 <а,=вписанного=N\([ J2 mixi)М=1'IINJ2г=1mi—ДентРмасс-треугольниках\,Ответы,\x\еслих1,>тоxq2.56.ОбозначимN[ z2=x/\x=N(-2.55.Обозначимрешения203иуказанияEm*-rnixЕсли1,ТОжож;=г=1.N(ж=NЕшг-Еслиж=0=ТОXq)ЛЮ-—г=1бое;если^ 0,ж2.57.Изхоточки(а\1=товнутрисп2)>точкакоординатамиможнопровестилежитостальныхна/*?эллипсучетыре(^iaiJ/3астроидыэтаж/|ж|.=нормали,(^2a2J^3+(заастроидеесли(ai—этаcl^J^',—три=лежитеслинормали,вершин);исключениемх2/а2+точкадвевнормалислучаях.2.58.Източкиможноспровести<^23=2~4/3a~1/3^^•точкикроме@, 2-1а~1).точки3@, 2~1а~1);(?i,гиперболыa^J/3;+две(?ьточекисключаякости(г\0, ±—Vа\однойточкиможнопопровести2.60.Расстояниеотiиа\+\из;)х(х\,точеккаждойдора-плос-гиперболы.ветвихп).
.,+извостальныхк=(ai>обращаетсявсехнормалиточкиточкидальнейкоднуиближайшей(<^2a2J^3—неравенствоа\=1.Изнормаливетвикривой,кривойк(^iaiJ/3последнее)—\a2j0)>кривойэтой(—триеслиближайшейкоторыхДля)—(аэтойнаниже\aiJпровестикточекточек(дальней,коднунормали^2),венство,^2)иизах2=вышеизнормалигиперболыможноурасположенанормальдляпараболекточкадвеоднуответкоординатамиветви2~1а~1;+?2)еслинормали,2.59.Приведемс(?i,координатамитригиперплоскостипaixiЬ—i=\2.61.(а,х)Решение.Ъ—1.((а,0=Рассмотримх)Функцияхо\2—хо—Ха,0,=Xторасстояние12.\ххо)0=—х)хо\2—Ао(ха((а,=уравнениемиавекторов?absравноЬ)/(а,0Аа=А(а,++(а ^ 0).х).0.ПолагаемАо=1;тогдаа).убедиться,можноSm[n\(а,=противоречие.—min,Ь—хо)—проверкойхв§-^=4.НепосредственнойИскомое(а,условие:Аопроизведениеinf;—>??Лагранжа:3.Еслизаданагиперплоскостьзадачу2.Необходимое=Пустьскалярное—экстремальную\хх'!>?•равняетсяi=\хо)=—((а,Ь\/\а\.хо)—Этачтоb)/(a,темаa).исследуетсятакжех).Ответы,2042.62.Расстояниеотиуказанияточкипрямойдохрешения-\-b,atЪ Gа,Rn,равняется(\х-Ъ\2-({х-Ъ,а}/\а\Jу/2.2.63.х=а/\а\—abs?2.64.Стороныпрямоугольника:2.65.Стороныпараллелепипеда:2.66.(±а,0)0,Е\а=.\/2Ъ.\/2а,2а/л/3,absеслиmax,1.2.67.Решение.l(x)min,Рассмотрим2Ь/у/3,b >>а2с/л/3.с.экстремальнуюзадачуп?a>0).i=\г=\Множествоэлементовдопустимыхнепрерывен,тозначит,Функцияфункционалкомпактно,Вейерштрассатеоременепреры-задачихрешениесуществует.Лагранжа:п?i2.НеобходимоеусловиепоXq\xi\q-{3.Ao0=Положимзадаче.0 ^^>t^A^=>Ао4.Максимумкритической=2^^x0=1 =>—\xiкоординатотak~xlq.При#max(a)<\ВыведемА)ризявляется=1 <0,=вровно\xi\либо0,=i <n.элементомдопустимым^нулях:sign^достигаетсяотлично=нелибофункционалаточки_пЯстационарность-?+уQ=в(Xq/p)l^p~q\критическойточке.ктогдакоординат;Пустьуэтихэтомapkl~p/qmax=экстремальнойрешенияavnx~vlq.требуемоезадачинера-неравенство.1.>J2 \xi\qПустьа<3'•=Тогдаг=1п(Ei1=Б)неравенстве1.р=п.В)0 <Неравенствоr)-lп /Pn.r)l/P-l/1Уап<*=получаетсяпредельнымА).р<1.Положимyi=\хг\р.Тогдап.an г)-1/<*=(Ei-.ivпереходомвнера-Ответы,иуказания\/р205решения1/рi=\p/qi=\i=\(А),г=1Б),г=1г=1г=1Д)Устремляяеслиоткуда,,О <<р1/рР/пlimчтополучаем,l/n1жП0,кртоq,1/пг=1г=12.68.Неравенствоявляется2.70.какдоказывается,частнымРешение.1.Рассмотримпи2.67.в(см.2.67задачислучаем2.69.ЭтазадачаД)).п.экстремальнуюзадачуп\—>-^idi(р>у.sup;1,Ь>0).R,еaiг=1Множествоэлементовдопустимыхнепрерывен,позначит,Функцияфункционалкомпактно,Вейерштрассатеоремесуществует.Лагранжа:2.Необходимоеусловие^хг3.Ао0—0=Положимт^А—1.=^p\%i\p~l+^>хТогда^/Y1 \%г\рПоскольку04.КритическаяизЬр,=точкапостационарность—^oai^^^=>Аопто0п.2/1=0,signxi=неb(=единственна,являетсяxi=п,\Y1х:г=di\p').ТакимхabsGобразом,1/Р1/р\Xiг=1г=1г=1г=11ир=+оополучаются\/p'1.=^п^Рх.=п.элементом.г=\р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
