Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Очевидно,=4.1;^0==единице.равнымПустьu(t)+|?/|+^у—{у/аJR2.=const.=\y\const,=const.=const.=1.6.2.t10.47.Допустимыеn0,=±1,При..11.1.жabs1 G=этом11.2.?=-(?2=xn(t)экстремали:жоS'minmin,=0,б'тах3)/4^1ocextr,+cosBnl)^+max.°absGsign=+oo.=Sm[n(xn(t)-oo=n),=5max=+00.11.3.|^||^| ^1 =^>1 ^^>б'щахизлома),точек^min=1 достигаетсяС2,&--Gt2)/4?2)/4@, 0)точкиabsнет.любойнасоединяющей11.4.B?Т011.5.(tT0функцийдопустимых=(|ж(?)|ломанойиA,?);=min.absGGabsmin,min,Sm[nSm[n==-T03/12,-T03/48,Smax5тах+oo.==+oo.±1вне236Ответы,указания11.6.То2<=>хт[пB?Т0=?2)/4-ирешенияеabsSm[nmin,-Т03/12;=ft,O^t^To-2,^^minabs^11.7.ToTo=>xmin^min^absmm,^max==5тахmax,(?T0-12)/41(t1q/4,To=absG#minT0/2-xmax-(t,O^t^To/2,<^xmax io,=l^r(x(t)=xmin(t)x(t)11.6).#тах^Sm[nT0/2Iq,-T03/48;=2 <-tT0/2<G^Iq/2—^г2,+absmax,io,+оо).11.9.ДопустимыхJ(x(-),~t=T2/2T)=T-допустимая—(x(t)+00=нет.t =>=J(x(-),=>T)экстремалейt,0<tx(t)x(t)Т)=T=Т2/2+J(x(),-оо-^Т11.10.11.11.Ы#min1 Gх=0 <J(x(-),-=3,11.13.15t/411.14.15(t-t3)/25max-задаче=T+tТ/2,<T2/4->+ооТ^+ооприmin,(xn(t)=+ooabsG12,T)abse5тахкmin,3t2/211.12.6t-6t2Smin=abs=I=Bn+I)sin7rBn+lmin,(xn(t)+oo5t3/4GgabsТ-^=T-T2/4T)ответа+оо).-^-t,=>При-^за-к+00J(x(-),изэкстремальприответа-^Tприизнет.допустимая—-oo-^экстремаль=>=>^tT02/2.+min,T0/2J/4,-экстремалей-oo=илиилиZ—T0+T02/4.^+oo-^1q)—t,O^t^To/2-2,J11.8.Допустимыхзадаче(t—absexmin=1—-t=4 =><4>5?maxmin,ioabs|Bn+l)sin^Bn+=Sm[nmin,min,5min15/2,==45,Smax5тах=+oo.=+oo11.7Ответы,11.15.Smax=+00,11.16.Smax=+oo,11.17.Smax=+oo,5t3/8-20t3/320t3/3-6t211.18.Smax=+oo,10t311.19.x(t)имеется11.20.?(t)(Т2(t11.22.5max=+00,-sint11.23.5max=+00,———-rzxmin,3tabsG2absG1611.33.?0=+00,t=+00,t=+00,0^=>+oo;=IJ—Smaxabs(Tabs1 G(Т1).=min.1)1/2e—In^(t +sin1)GInS"G^echioж=?min,x(t)=>(T0=absmin.П),=Smin=?2thT0.min,0>любое)-экстремалей11.35.?? 7^0при—>=>?G!/=absgmin;нет.J(x(-),T)^chioGabs?(t)=>?+oo).=>5s?+(t-T0)sign?,r^t^To,==J(x(-),ПРИТ00^min;,^tshrизT^Oпри+00^^6^^r,|?|уравнения=cthr—rTo.+max.(f=00>любое)-экстремалей*^max?2T=chtr\——,0signabsдопустимых^Л=отыскиваетсяsign0^^>^(x(t)?=гTo)—=*bminTгде(t—min.min.1 G-(Жп(?)abs<cthT0^x=absabsextr.(X(t)11.34.|?|Gmin.O+00min.min.abst-00=absmin.1))abs1 Ge)-Gabsl)/(C-e)(e-absG—t))min.1 G-tA+—l)/(e2-4e++Sminloctcos—-et-допустимых=1).=+оо;=t2\4/—=+oo,=8.8.=min.Aottz—+00,cost^Smin=7Г=1Sm[nmin.3(tG15/8.=min,min,Smaxmin,=—absabsGsint)/C7r)++00,2(et+00,2(te-t-e*+oo,ln(t+=+oo,l/t+11.32.5^? 7^absG=cost=+abs1 g+e5minmin,экстремаль+оо,11.26.5max11.27.5тах11.28.Smax11.29.5max11.30.Smax11.31.5max12t2допустимая11.21.Smax=8t+1/3-1/3)=11.24.б'тах11.25.5max14t2-экстремаль=однаещеabs1 е++допустимая1=15t/8-1/3)=однаещеимеется(f3=решения237иуказанияabsgmin;нет.+00,T)=?2T-^0приT->0иJ(x(-),T)-^+oo238Ответы,11.36.(<^sh?)/shTo11.37.?? 7^(>(•),(x(t)0=>¦T)?0^^>=>1 =>^#тахx(t)+00=Т^+оо).11.40.хрешение—5min->min,absGmin;1/3,-=>J(x(-),+x(t)Тxmin(t)=изT)=^/Т+absmin,<^2Т/3^—1),=Gxmin7r.Sminmin,=0,#тах+oo.='t,11.42.ж=(rsmk(rкорень—Smin-2r3/3,To=7г^>Зтг/4)2t,Зтг/2Зтг/2уравнения=11.43.ToЗтг/2—-5тах=cosf=—irtToTosinпри+2arctgr~1)sint+2r<tЗтг/2<Gabsmin,Зтг/2.С-То<тг^r-=cost +Сsinответакза-+оо.^Г=Г^+ооиЖтах^t^T0,любое)-absежт;п0/20приrtgrabsпринет.Cost^Sin-r3/3,G|^|),+Sm[n&/T=^max11.41.sintmin;?2 cthT0,==>|f |+уравнения=(f=0T)v(гr-(To|^|3/3=±<^=+00.=нет.экстремалейJ(x(-),(x(t)=>thrt) sign?,-#minabsе<^2cthT^2=5minmin,+допустимых11.38задачеТо0=absGsni№Sma^To,любое)функцийдопустимых^+T)+0).->уравнения11.39.If I=^>=>корень? 7^ТприTocthнет.J(x(-),>thT00>^2+00=+00->|f|—(fрешения=-экстремалей^max'Sm-mmin=0(^sh?)/shT^=11.38.(t?(?)=>допустимыхS—abs?=0^minJиуказанияtcost? GGabsminabsmin;VCgR;-^+00ПриОтветы,То#тах>=>¦тгиуказаниядопустимые^экстремалиlocextrSm-inи=оо;—+00.=11.44.Решение.(и2Функция1.х2)-dtФормализация:extr;->ж=ие[-1,и,1],ж@)0.=Лагранжа:2.Необходимыеа)условия:б)трансверсальностьпов)оптимальностьназадачеАоминимум,Аоусловий2п.Тогдаиз0,=торавныр@)0ввсе(Xnu2Положимнулю.АооптимальностиусловияпоГ^РассмотримI.поведениер(рис.\р\<Движение2\qx—0;=в(Аори—>0необходимыхиз-за1/2=назадачеминимум.и\р\signp,[Р,Ых,Хни2=максимум).Лагранжамножителир0;=ри)—назадаче—р(То)А,=minи:^Эйлера:уравнениех:по3.Еслиплоскости239решения>1,<1-траекторийэкстремальныхнаплоскос-8).1 =^рпроисходит=—х,х=пор=^+рр=сокружностямРис.хх80=^постояннойр2+х2=угловойС.ско-в240Ответы,Направлениеростью.ростаприх;С"J/2движенияСрприубыванияж.наПриТо(к=—функции1/2)тг;тогда2пизсостоящихх@)условия0);кx(t)\С\Csint,x(Tq)р(х@)оси0)1.(кПусть1, 2,=1/2)тг—далеегдетпкорень—Нетрудно/От]\ 1-—условиятп,<антипериодично,Bnуравнения+arctgr^1)Signsinl)(rn—To,=n1,=.
.,чтовидеть,t*^max/г\fTq=Xn(t)=2тГПГj6^T.0В4.функционалафункционаланаОтвет.То=|назадачирешениеТоограниченийкомпактностисилу-CsintхGabs=0GabsJ(xn(-))5т1Пmin,V|C|min<1,abs7Г2'min(r—кореньуравнения1)(—-^—0;=Sm[nзначениеBп=0;=+t2cos(?-T0),Gфункци-непрерывностиВычисляянаходимжп,=^исуществует.минимумэкстремалях<=>+получаемх,<Тл(/с<состоя-УчитываяихТо<хп,к.. .,функцийнепрерывность—VTq.являютсятраекторийп(+заканчива-иэкстремальэкстремальныхI- рпчусловияэкстремалями*,|*|k+опреиз—=допустимая—^оборотов»,идвижениядопустимымик0условия=f(*1р<—прина0=N,G1 «четверть=изC')^p=+Направлениех;начинается==0>р±(t=ростасуществует—0,=из(p(Tq)1/2)тг,x(t)х±l^x=параболам.по1прих.С.движениеоситакже+x-х,+^рОптимальноезаканчиваетсяопределяетсяпроисходитопределяетсярешенияубыванияусловия=тх2/2=Движениеиз—1 =>>+0<р\р\П.+иуказанияr^t^To,rctg(To—r)=1,rGk.Ответы,11.45.GabsТо<=>тгV|C|minSm[n1,<О е=хрешения241иуказанияabsSminmin,0;=То{?,0л/1r2cos(?+Т0/2),-г<t<г,<t<ТоТо-*,То-г^/жabsG(гmin[То-=г3'-о? Gт,-<?<Т0,(rtgуравненияТо\1г——1,=лежащийна--,о/Г\#minsinТ0тг[-отрезкекорень—С=>тг=0;=^тах( ЖпТ0=(t)2тГПТsinsign=)^Т.о11.46.х±1=экстремалями11.47.±л/2ДопустимымиеabscosTrtGabsGmin,такжеэкстремали:5max±л/2=5max±л/2кA/2N.GДопустимы-+ооcosirkt,sinкcosttH,=±л/2=Допустимыми+00.=x(t)тг2,=ж&Существование\х\=+00,л/2-t2л/1=+00,y/2-(t-11.49.Smax+оо,=11.50.5тах11.51.Smax11.52.л/111.53.л/l——i r/10,t2Gabs^2Gabs=11.55.#тах11.56.5maxДопустимая=2,k)irt,+3,к=+00,ж=+00,5тш/^^\=+00,Ct211.58.Smax=+00,t11.59.Smax=+00,t2/211.60.5тах=11.61.5тах=11.62.Smax=11.63.5max=11.64.5max=11.65.Smax=идр.+oo,t2+oo,t4+00,t4+00,t4+00,2t3+00,?2/2(#i,#2)(x\,X2)=..Gж-tGG2t3-Gabst2Gabsmin.^2Gabsmin.———V~j——V~j—>(sint,sint)—abs)absG^absmin.min.5minabsmin,+1G+Gabset(lntAt).—min.min,t2t4absG2t3Ы22t,—+-(f=l-y/275).min/^сп(^~1)сп(^~1)А^и=5t3/2-min.(—absg-IJ?3)/2t2/2-min.absCt2=--при-+оо.=-00.=экстремаль:=Алексеев—#тах? GлЛл/l—вводядоказать,тг2,=absGmax,xSm[nt2 +—max,+00,11.57.SmaxA;^^11.54.omaxможнорешенияограничениепринудительноеB.M.функции5minфункцииabs0,=min.Указание.16Sm[nтакжеявляютсяэкстремалями11.48.Допустимыеa?imin,являютсяSminabsmin,3?2/2gabsg1.=4.=Sminabsmin.-1)GabsSminmin,Sminmin,-24/5.=min.==-4/5.-9/5.mm.Z,242Ответы,11.66.#тах11.67.5тах11.68.Smax11.69.5тах11.70.5max11.71.5тах11.72.5max11.73.Smax11.74.Smax===+00,tint+00,tintGabsGabs+oo,(te)++00,lnt+00,lnt==+00,e/Bt)+00,1/t+oo,1/t===^minloc=?r(chtsint=+00,cht sintфC((chToloc=1 =^>x=1 =>¦ж=0tsh—tt)/2cossht(th7rsint—sh—tabst Gt sintcost)+cossh—GabsGSm[n-(shT0-sinT0)(chtsht)/2+cost))(T0>ф5maxфлюбое)—Ucost/fcht)+5тш=+oo,2ch^ j^locextr;t +^mm+oo,=cth.тг,i—2sh+СП7Г(sh+/2^locextr.+chGrsint))7cht,cost=—^t +sin—1)\Ir,тг)IФ/ 2it) (chch+-i-ioroiо°htCOS11.85.5max(sint)/2+оо,=оi^t)ch—tt)cos—t +t)cosshxn(t)(sht)/r2sh^extr./ 2 ^ locextr.sint +X=^(t)^t-oo;=2sh-=sint,T^-^y+nI (chVcht—cos,,loCt)abs^^—sht+00,=+Smin=+oo,-,,loct^211.84.5тахi-oo;=A(sht-oo;=Smin+00,=sh?r'-оо;=,1+ch7rcht-+sh?rSmax^sh—+oo,='1осextr;+oo.=M+smлloc—+x(t)=O5max—oo,sint)+--5max11.86.5maxmin.min.cosTo)(shtэкстремаль:=.лabsmin.extr,—+00.=cost11.83.min.min.sin6maxSmax11.82.abscht-00,(sint11.81.absGmin.+00,t^11.79.Smax11.80.min.lnt=11.78.Допустимаяextr;min.min.absGabst G-экстремали:To ch ToTo chTocosabsG11.77.ДопустимыеcosabsGt+oo,=11.75.#max11.76.5тахmin.InGрешенияmin.+th?иуказания/min.,locextr.a^minextr5—-jтг+l0C1/-00=(sht—sint))/).Ответы,**л,^от11.87.Smax+оо;=xn(t)x(t)=хn(+11.88.#max=+oo;11.89.5max=+oo;11.90.#max=+oo;11.91.5maxx(t)+11.92.б'щах=+oo;11.93.5тах=+оо;,(t)chtcost=t)—sintжx(t)+(ncht^nlсЬ(тгt)—sintloc—+oo;11.95.б'щах+oo;sht11.96.Smax=+oo;sh(t11.97.Smax=+oo;cht11.98.5тах=+oo;111.99.5тах=+oo;t +absGch(t-absGsint+oo;111.101.Smax=+oo;2(sint-cost-t+11.102.Smax=-5тш=11.103.5max=-5min=cost—ch|(cht-cost)/2GabsGabsmin.1)/D-тг)x(t)y;=t24t-absGabsG32Bmin.min,Gabsл/2)/3;-0<t<2v/2,\-(t-4J,2\/2<t<4,absGmin,absG—x11.104.Smaxmax.-Smin=4;=-t2,0<t<l,ж^=(t2J-11.105.5maxж=л/5 (t4=-2,-2t311.106.5тах-Sm[n+=1 <—л/б)5тш=G16*=л/5 (t4/3-5t3/6+t2/2)absmin,G-жabsmax,absmax,-xGabsmin.gabsmin.—7=;оxжел/30);1/B=t)/B3,<tmin.min.(8-8\/2)t,+sint)min.—жJt2+0.=absGabsG=t)—min.1)-11.100.#тахt)—oomin.abs1 G—sin—min.1)-tmin.absG(sh1(shGr1Sminmin,+sint==5т1П+=—СП7Г+^1 +sh|Vsint-sht)/211.94.5maxtextr;cost+absG—oo=7Г—cost=Sm[ncossint)0.=extr;—t)+0.5minloc-oo=—=min,^оSm[nextr;SminabsG,,loc—(shGrmin,cost=x,fcost+absG—решения243-^-—сп(тг=+oo;=иsint(жп(t)VVСП=указанияV 5g-5?absmax.max.244Ответы,иуказания11.107.хотахл/5 ?2(?=~*bm=12л/5'1J/2—absG2tabs11.108.Smax11.109.5max=+00;5(t411.110.5max=+00;15?2(?-2J/830?2(?-IJ+00;+oo;=GabsG—жmax,=11.111.5max11.112.5maxрешения6t2-min.5minmin,5)/16+0.=GabsGabsSminmin,absmin,GSm[nmin,=Sm[ny.45.=720.==+00;C((sho;?sino;?)(cha;—+a;)cos(cosa;t+cha;t)(sha;—a;))sin+G(a;0>минимальный—кореньизопределяетсяcha;cosa;уравненияусловия);изопериметрического11.113.5тах=1,a;4.—Sm-m=Сконстанта—cosa;)(sha;?sina;t)—(sha;—sina;)(cha;t—cosa;t))—GG(a;минимальныйположительныйизнаходитсяС=корень5minиСmin1, С=a;4.==+00;((shutsina;t)(cha;+a;)cos—(chut—cosa;t)x+x(sha;минимальный—abscha;cosa;уравненияусловия);изопериметрического11.114.5таххmin=+00;C((cha;—Gabsположительныйизопределяетсякорень\х2условияdtSm-mGabsmincho;cosa;=уравнения1);=a;))sin—I,a;4.=о11.115.ДопустимыеGabsэкстремали:5minmin;11.116.5тах+оо;=11.117.5max=+00;11.118.Smax=11.119.Smax=11.120.t311.121.3t3t2-Gx=+oo;x+00;x=absG11.122.Smax+00;11.123.5max=+oo;11.124.5max=+00;11.125.5max=+00;abs(T=t2/2(Tt3/16-t2/4t2(T1)t22t3max,t3/2(t2 +(t5(8t5-25t4-+00;6t5=+00;ts(t2)/5G-IJG+Gmin.min.4=absGabsabsmin.5т1Пmin,10t3Gmin,Sm[nabsGGabs3.=absmin,absmin.min.G10t3)/6+ 20t3)/3+15t4-V7min.abs3t3+absG(TGG5t47)+absGabsG-?4/82t-=t3-BтгЫ1)1)==max,л/2йт=+оо.=t(\-t)===11.126.5max11.127.Smax5тахx2t3-XkBтгL,=Sm[nmin,absSm[n=20.=Sminmin,min,Smin0.=36.==720.320.R,Ответы,11.128.Решение.1.решения245иуказанияРассмотримэкстремальнуюзадачуж@)=0.->inf;о2.УравнениеЭйлера:Xx/t+х?A)=0.3.Решение,имеетудовлетворяющее(p(t)видл/Х)3^B0=4.ИзосновнойfЛж2\,—tпроверяемойJ)dtинесрf/.(/?;(?)ж\2г/.\{недостаточнойнооно_:нужномух\2л,dt,)неравенству.использовалосьусловиегладкости,обста-вТоцели.кпривеложекасаетсяцикла.задачдругихнеобходимоеформуле%{2у/Хv Ь)y/i^iBy/Xt)кэтом1].к\[х^=приводящейиЗдесьdtПри[0,наприходимJJV<p(t)име-Бесселя.функциянулейимеет*-непосредственнообстановкетрансверсальности:трансверсальности,—Вейерштрасса\[хJV=Замечание.и0=формулыЛ-^[гдеу/A)=>¦условиеусловиюаД3?\Bл/М),=0;=11.129.Решение.1.РассмотримэкстремальнуюзадачуR+2.УравнениеЭйлера:3.Уравнению(непосредственная4.Экстремаль+хX0.=—-^Эйлерапроверка).(р (недопустимая,(p(t)функцияудовлетворяетф ф I/2(R+))ибофор-кприводитдД=формулеAt2оо'проверяемойфункций)кнужномуУказание.11.129,вывестиПриемом,использованным((p(t)тождествоинепосредственно11.131.задачиэкстремаль)Указание.11.129,вывестипри\/t=lnt/e2—кприводящееПриемом,тождествофинитныхгладкихдляфунк-неравенству.экстремаль)проверяемое'о(скажем,непосредственноприводящейи11.130.задачиvнужномуиспользованным((p(t)=—t)—экстре-неравенству.приtBзада-решениидопустимаядопустимаяза-решенииэкстре-246Ответы,х1•2i I/аб-проверяемоеIVиПоступитькприводящееа)аналогично11.132.Указание.2A -t)tB-t)•непосредственноб)решениях| |—.ovit)J~.иуказанияcp(t)сПоступитьнужномунеравенству,te~l.=предыдущейаналогичносзадаче<p(t)=t(l-t).11.133.Решение.1.Рассмотримэкстремальную«•-(^)2.Уравнение3.Ищем4.Основная1(|i;|pрешениеsignx)нужномук<p'(t)x<p(t)signих0.=чтополучаем,тождествуp\t)x<p(t)-р(х-неравенству.При11.134.ta=приводитх\р-кip(t)видаВейерштрассарПример.[+Эйлерауравненияформула00ж@)=0.inf;Эйлера:приводящемузадачур4=имеемА.(С.Решение.тождество:следующееАюнц).[A1.е\и\)+dtinf;->х\х2,=ох2\и\и,=^1,+s^i(O)жг@)#о>=^i(^)vo»—Х2(Т)—0.=ФункцияЛагранжа:тJr(АоA=2.и\)-\-р\(х\+А! (х{Необходимые2(t)—@)atр2(-)3.p2(t)^0.+р2@)0vo)-+/xixiЭйлера:уравнение^=>Аовсе=0,—=АоAJ^=u))db-\-А2(х2@)max(p2(t)^максимума:Еслих0)—pi=(T)+0,р2/х2ж2(Т).-\-р\=6);+в)трансверсальность:стационарность-\-Р2{%2а)условия:=б)принципг)-х2)pi@)А2,+г|й(Т)|)из==Ai,p2(t)u(t)ив)=>|р2(Т)|==Лагранжаб)—p2(T)+/х2й(Т)множителитоАов|г^|)равны=0^р2(Т)\$e\u(t)\—/i2,0.т.е.нулю,=0,т.е.0Ответы,p2(t)Ga(t=ГТ)-х\=(#o>u(t)=>vo)Ф Г,Из1=u(t)илит^-1.ЛоИтак,ЛополагаемИP2(t)uзадачиGЕслиХ2,1.=е\и\—v0)0=илиОэкстремальной247решения=ж—Лотоиуказания—>\и\sup;1, получаем^ГО,УсловияОтсюдаОпишем4.синтезВозможныдваг=второй(tвначале—1,(tзатем[г, Т\)т')/(Тu(t)—т)1.нулю),aвремядвиженияимеетвид#i=72/2х\чтооно72е^).Bенулю2?72(ибох\междучерезт——7>=—72/2-чтоХ2^0.10переклю-ускорениеравноскоростью—7,переключенийкриваяпервыхСинтезизображенXlРис.перек-первомсо?получаемвтороеПридвигалсяаппарат(tконцеBDEиТогда7-переключениями(ибо\/2)х\,ABCТХ2внаконец,и,треугольниковПолучаем,+9Рис.равноподобия+=вто-Обозначимравно—рав-г))Из2е.=1—частей:когдатакжес1 +=ясно,трех(тх,происходит,Х2пуправление?=—переключениепереключениииз[0, т'])?9рис.состоиттраектория(г+Изаналогичен.равноA—первый.толькорим?случая:Р2(Т)иэтой^задаче.Р2(Т)е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
