Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

.,\/p+signa^,-\/vзначит,¦1,допустимымn\ai\p'~xпСлучаинепреры-задачирешениепредельнымпереходом.max,Sma^(b)=206Ответы,2.71.РешениеиуказанияэкстремальнойизвыводитсязадачиппЕsup;Ei4,49343.2.78.К13./.(*)/iПустьЬ>0).а>0,-10,261.2.77.решения/ги/2(ж)=,§упражнениямфункции—3прямой,на|х|.=1,045.2.79.заданныеравенствамиТогда0,1;>х\х\i,Сдругой^1,(\у\ 2/1>1;loo,1,—Ы>2.стороны,О,\у\ -1.(ЯМ>2.00,Такимобразом,спреобразование(функцияфункцийневыпуклыхинфимальнойконволюциейфункцииисходные3.1.а) Ог)>аиа)3.20,б)а>0,Ъ^О,а) Г (у)илиб)<о{=р>1 ^=>=а\2=0.0,1),0,2//*Ы^>еслидажев)р>1;любое;-аи+00,уасовпадатьда.—3.3.функций,с0щ—б)ненепрерывны.а\\п22да;суммыможетсопряженныхвсюду0;Лежандра-Юнга-Фенхеляневыпукла)f\=+°°;^=О,<0;о ^>,=—с;4ав)/*(?/)1- 1г)1=/' (у)д)Ге) /* (у)===^J Р*Ы|у|р /рх,/*0 у)\/р5[-1{ay,=max=+00,у.>У <0.1/+.01];&у};Ответы,а) 5{(аи3.4.б)>аи0,О,>аца2)}а\2-аца!2а22—О>О=/*(?/)=>или&11<^12/*(?/)t 22=+00=0=ац{(А?/,а\2=?/)/4,?/1),+оо(?/i,?/2)остальныхвGImA,^ImА;Агдеслучаях,—А(аь==а2),ЛО,>случаях;=?¦"-'•'-'"¦+00остальныхвслучаях.2-3.5.у)/4;О,=^{^}5=остальныхвЛAпЛг) /*Ыf*(y)^^{А~ху,=+00,у—207решенияb;-аиа22иуказания/«(ж)а)0;=\х\хО,\хО,д)1,-IJ,=г)/**(ж)=О;-1;=/**(х)б)1,<1;\х/**-а\;1,>1.<1(x*,x(-))=\x(t)dtJL(t),О,/i@)=0гдеиприоf*(x*)3.6.А^(*)этом=может,нуля),+00I2/1I3.7.а)I2/2Kв)треугольникг)Вр,Д){{уи=(а1У1J+остальныхв+| \У1\р'{a2y2f[-1,1];б)3.9.а)\у\ < 1;б)\У2\р'<l/p+1/p'1,=1.<3.8.а)+1;A ±л/3);(—2,0),вершинамиу2)Ы2<[О, 1];?\уг\[-1,в)<0].1;г=1;г=1г=1,.

.,п;г)[0, а].бытьфункциявозрастающаяслучаях.б)1;с(кроме,справамонотонноединица,вариации+непрерывная~"1};208Ответы,иуказаниярешения1{ж*3.10.| (ж*,х(-))\x(t)dfi(t),=/х@)где0=и/х(-)этомпри-онепрерывнаяможет,монотонносправа,единица}.\ х*\{х*еХ*\3.12.а) [-1,1];б) {х* е С*([0,1]) | (хнуля)1}.<=-/х2жA/2)3.13.Изтем,чтоf(x).<ф<(рf(x)неравенству=^>уВгдеИзА,сопряженнымоткудафункциям,приходимf(x)А\=А2=4.1.выпуклойx2)х2)х2)||решим=1,>1.x2>0,x\x2х\^0,x2^0,Ж1Ж2субдифференциалов.х2 + хуубедиться,иу2у)к1^Внеравенствех2)1},-1}.А,ссопря-х2),=+раскрывая3|ж+уусловиеявляетсявыпук-Сильвестра).=df(x,0 еэкстремума:ЗаОНомодуль.2|—критерийиспользуядостаточноеfi2A(x)<решить,+(х,=^включению.можнозадачу=\х\2последнемx2,x2),0,у)пользуясьнеравен-противоположному>2.Необходимое3.кпомощьюлегков1,следует,инеравенствополучаем<сразупротивоположномуследуетх\f(x,1.Функция(в этомсразу=условиятребуемое.ПереходяЭтускприходимусловияg(x)5A\(x\,=Решение.ее1}.=5А°.=функциямследует=fi(xu{(х\,{(х\,3.20.исопряженнымоднородностишар.3.18.мыизединичный—1,Юнгакиоткуда3.17.Решение.Ух,>неравенстваПереходя(р* > ф*,\x\2/2,>е1,+/ХЗ/Х2=3.16.Решение.\х\2 /2</XI3.14../(ж)/х3жE/6),О,>/X*чтобытьвариацииЗЛ1.В*3.15.(кроме,функциявозрастающая0,у).гдеу<2,ЕслиУ>2,-fжтоУслучаеж-у<О g9/(ж,решений=2такжестационарныху)^^2ж+у +3=Аналогичнонет.точек0,2у+ж3+=впоказываем,нет.Еслих+у=2,тоОтветы,2ж+=За?/ +1—0,=2?/+единственная—1)-1/2)4.2.(-1/2,4.3.a2absG1/2>a^з=/31/2A/2,=>4.5./30>4.6.2^(a,жительныйb)b2+1>1/2)absG(a,=>\[^Лй+=a)Gabs<0min;absGmin;min.@, 0)^(^i/^f+^l),=>^iui/(a2=min.1 =><a[-1,Gаmin.a2<0,=209решенияточка.Gabsb2 <+4.4.0За+?критическаяA,Ответ.иуказанияг1,=Лгдеn,.

.,^2а2/(а2J^ ^2а2уравнения4.7.Решение.1.min.поло-1.=Формализация:|inf;—>absGединственный—ЛJ+г=1ж)^22), /З/л/2)+пкорень(а,min;/36/^/2(^Л),+OabsG(а1=I2,еф 0,а0/спри+оо).—>/с=1ФункцияЛагранжа:2.Необходимое1, 2,=3.ЕслиЛоПолучили1,2,. .=Положимж^жусловие:0=Лоа/е<^^>2\xk/b\+=0,/с=к=..ЛодалееG0,=фЛто0точку,2;=тогда\xk/b\/с=14.Очевидно,чтоточкасп.Л=^>2^0,=Поло-эллипсоида.границе0=а|б|эллипсоидаграниценалежащую+а&изследовательно,и,неф0=^>ж&=—аф2к/Х.Л2=координатамисюЕ-лабсолютныйдоставляетвлишь4.8.A~ll2,5minгдеположительноеВ.М.t2Алексеев—1/2Gидр.absmin.А:гдеfрешение1.4.914| x0-f| ,=единственное=функционалу,минимумподпространствек=\=Л&а{хк}ууравнения=(Л*Лвозможнынормали{^fc/b|}.—>+| (Л*ЛЛ/)-^*^,Л+А/)Л*#о||-—210Ответы,4.10.Еслисторонвозможнот\гп2,построениетпот\,длинамивекторамиравентгитп^т^т\т2,междуиraoraiих\аь—невозможно,4.11.Вауголто#i#2х2х3,и(х+т.е.изж1х2)/\х\n\—1.^единицы,вж2)).f(x)чтотого,силуВейерштрасса^ хг,—>следует,df(x).1, 2,=<9f(ж)a)виднытотакую=х3)/\хслегкохгдепоточкихЕсливсеЕечтополучим,д\х\еихприО,=направленныхнемодулючтог,Перенумеруемвекторов,следует,впостроить.б).условия0,=+х2\—iиз120°.угломслучайвектором,Отсюда—^жизчтоподточкух3\+ж1!—направленныеединичныхдвух^п|жнеобходимого—3;вытекает,х3}Из—суммегРассмотримхх.=(хчтотого,экстремума,превосходящимбольшех2ххх3угол120°,изодинзадачиуглов4.13.Еслиточки—этоточкавыпуклым,ктакомуилиэтогообразуюттотре-углыТорричелли;точкаили120°,равенрешениеточетырехугольник,диагоналей;искомаявсеугла.выпуклыйпересечениядостаточнымеслиявляетсябольшевершинойявляетсяответу:задачирешениемтреугольникассовпадаетdf(x)О Gусловиеприходимменьшетреугольникауглом.120°,нулю.4.Вследствиеявляетсяпрове-120°.условиемточкаВОтсюда[х2,суммаж3,иравнаравенесливысоту,inf—>(жь=вектора,ихх2\ж0 ехнулю.+Итак,ж2вслучаех3}чтобытак,—Вменьшехгточкиа)Торричелли.точкойназывают3,теоремыдвух:сумме[х\треугольникауглыих2},х3\—ограничений.единичныхтривравны1, 2,следствияж3}.т.е.[х\в\х+экстремума:изж2,=0,отрезкиявляютсятреугольникахсуществует.одно{ж1,х2\—=безусловие3.Возможно\хгизх2.НеобходимоеXточкамитупоугольномвырождается+х\),+оо,^задачи-т^дXхх\задачу|ж|решениеxGе.=искомымии—(х\,=выпуклуюб)#2ра-построениеФормализация:\х=(хгпри—е,=е)Х2,Еслис^2.—меж-уголх\,тгдли-стороне.1.+ооa?iпериметраf(x)чтоторавенпрямоугольном4.12.Решение.Получилиеилиминимальногобольшейкпроведенную+—е=стреугольникатреугольникеВвысот.треугольникиХ2сто-длинамисторонамисоответственно,(вершинымеждусмеждууглы—гпогп^A,0)==а^m\m2,ерешениятреугольникаа\,остроугольномоснования—>иуказанияточкаесли—вершинасискомаянечетырехугольникмаксимальнымОтветы,4.14.Послеформализацииf(x)з^mi\x-xi\=решения211иуказания(rrii>0,=1,2,3)гг=1следуетGприменитьнеобходимое(минимум,какdf(x)полученногоэтогоуглытгобразованные—товнутри треугольника,сдлинамииз4.15.Центр0=п),=absabsGб)5тахmin,однойссовпадаетх@)болеевыполнено;такжетого,hosh(To=thToОтвет,>аа=а<-th—ToToththТо=>Ccht=^x5.6.a?iУказание.=^2=0^Воспользоваться^>0=Va.+00>а+loc=thTq.(LxxНетрудноимеет—Якоби.условиеР.Имеем+P+—h\=вид2cthT0хнеотрицательноО GGabsmin^locmin,extr,5т1ПabsVC5min=теоремойR,=—oo,<а5minmin,G+Рполо-определенапри=QформыматрицаthT0,—знакоопределенной—ДопусаЛежандраQQчтоследует,являетсяC2sht.-2/shToпринеи0;=регулярен.Матрица2aСильвестраопределенаприусиленное2cthT0критерия-\-Сchtформы-2/shToположительноC\cht=интегрантвыполненоt)/shTo.—+oo.=х—Условиеквадратичнойопределенностьsht/shTo,—оо=ах(То).=х2порядка.чтотом,вб'тахж—хлюбое,—второгоусловия0)ж(То)=Эйлера:аn),=Эйлера:0,=0,=х\4.РассмотримубедитьсяПроверимSm[nax2(To).=уравнениеуравнениярешениеэкстремали:2 >locextr,?х(xnoo—lа)трансверсальность:Допустимые14*дугитреугольника+oo.=x2jrx2,=условия:3.Общееи=Sm[nl.L5.5.Решение.=же+oo.=ф locextr,cost+5тах2.Необходимые=внутеслизадачиэкстремаль,min,sint+5.4.sintаrrij.видныпересекаютсясуществуетрешениехЦ+оо.=G5.3.etИзне—иШгискомой;еслиацдлинами[х\дугиявляетсятотз,единственная—Smax5.2.cht=этипустьмногоугольника.5.1.х=итп^сотрезкиЕслиточкасуществуетигаз,которыхилит\,пустьТП2,треугольника.вершин(хпточектреугольникасторонРасшифровкасторонамиизпостроеннаявнепересекаютсят\,О Gминимумаответу:равнымиокружностей,(соответственно).осцдугиугламиусловиесуществует).следующемусторон,треугольника,Проведемподкдлинамисдостаточноепоказать,приводитусловиятреугольникинетрудно=(xn—oo5maxБоголюбова.0;=Sm[n0;==приthTo.—+oo.ncht);S'max=212Ответы,5.7.lnt—5.14.-t2/45.15.(t31).t)?abst)/12Gt4)/24G&/Tq=0^>жGlocmin,=0=^xфlocextr,ж5.18.xloc>=Tq/3Т0/3^ж^^>жне5.20.x>=ж=>ж^locextr,5.24.Int5.25.4/t5.26.(lnC(t5.27.e/t5.28.ж1 GУказание.+ватьсятем,(хх)чтох/х2=3.Общеедопустимые=5тах^=>loc?xmax,#max—oo,=+oo.=+oo.=abse5тт5maxmin,=—L1—+oo.+oo.минимальностиx2\2=—oo.=5maxmin,/ dI+оо.=+oo.=5ттдоказательстве\.+oo.max,+oo.max,max,=loc—oo,Smax5maxabs.чо=5.71).с?x—To/3<l)))/lnC/2)5.29.Решение.2.НеобходимоеSm[n=absmin,1 GПри/^^>min,GabsG\/t=Tq/35тахl)/(t+Int—(ср.Бш\пmin,abs+oo.+oo.=absHг——<?б'тахGabs=экстремаль,экстремум,?б'тахoo,—экстремаль,min,min,max,+00=extr,locelntloc?=единственнаяl))/ln2—-oo.Sm[n?G5.22.(ln(t+=+oo.экстремаль,locabs+oo.x5maxж?5.23.t^сильный5.21.Int=^>extr,^^>не—min,extr,?t/To—To/3-T0/3жlocloc—==экстремаль,0<—oo,сильный=Smax5minединственнаяGSmaxmin,единственная—oo.—absG?=?t/To=единственнаяloc^mm=—max,—extr,5.19.xabsBt/3K/2=фxmin,сильныйне—5minabs—>+oo.=T0/4)t++oo.=max,(C/To+-abs1).+5maxSmaxmin,?+oo.=-eV(e3min,absрешениял/И7!.=5.10.t2)/A-5.16.(t5.17.x(t)??V?x2+?—5maxmin,^/4t3/3,=5.9.21n(t5.11.A5.12.?t/T05.13.(t??V?abs1 G+5.8.x\??V?иуказанияможновоспользо-.х/х2.=условиеэнергии)(интегралЭйлерауравнение—С.решениеэкстремали:Эйлера:уравнениях\=(t—IJ,хх2==(C\t(t+—2J/4.С^J'.ИмеютсядвеОтветы,4.Втораясильный^х\=минимум.ибоЯкоби,условиеlocблизкиеИзextr.(tIn5.31.t3—t5.32.Int G5.33.t3G5.34.cht/ch5.35.sh2t/sh25.36.(e*5.37.(sht/2sh+1)GabsдоставляетвыполненопересекаютсяSm[nчтосиль-услоtприследует,min,abs1.=Значит,#тах—оо,==abs5.42.(t—+cht5.43.tch5.44.(t5.45.((^/shT0)sh(?1)abslocGmin,5тахsintsint5.53.shtloc5.54.02t)/4To<oo.=+oo.Smax+oo.=+oo.тг/2^=>^>точкасопряженная—Якоби<экстремалейнет5.55.sin2tTo+oo;допустимаяэкстремальabsтг^=>=^точкасопряженная5maxmin,absGдопустимаянеэкстремальТо5тахsint(^>тгнеsinSm[nabst GSm[nmax,тг=>точка#max—oo,=x==^=(^/sinпри^absGmin;необходимоевыполненоV Сmin+oo.=shT0)/sinT0-экстремалиС+oo.=min,+приabs<—oo.=—Якобиsht=>тгиG<Sm[nmax,=G=^допустимыеsht-\-=abssintточкасопряженнаяSmaxmin,extr.(sh7r/2)—5.56.0absG+oo;условиеф5.52.(Trsint—+oo.=—oo.==5maxoo,—хmin,+oo.=+oo.=1 G——1—shTrб'тахSmaxmin,min,условиенеобходимоевыполнено^>+oo.=absToabs=^тах—oo.=+oo.=Gmax,—oo,sh5тахabs=сопряженнаяЯкобиabs=t/shabs+5.51.Sm-m—SmaxG+oo.extr.5.50.costcostmin,5maxнеобходимоеф.abst)sht+min,=выполнено1 GG5.47.cos2t5.49.Sm-mSm[n5maxSm-mG5.48.sin2tmax,min,-T05.46.costSmaxmin,+oo.==absmin,absGSmaxmin,1 GTo ch To)-shtabsGabsG+oo.=shr/shTo—t +—2 sh+oo.=1 Gabs1)++oo.-l)-t/2e1 sht/shsh+oo.5maxSmaxmin,t/sinTq)(?(^-sh2T0)sht/shT02t-+oo.==e)+oo.==min,+sin—5.41.sh2tsin2t5тах5maxe1-t)/(l5.40.sint5maxmin,G+Smaxmin,min,1 G5.39.shнеabsGabsabs5.38.sintтгэкстремалиэкстремалиБоголюбоватеоремых^непоэтомупервой+00.5.30.2=полем;окруженаНаэкстремальлокальныйрешения213иуказанияlocR,GToextr;—условие^>тг=? ^притгshпри^absmin;допустимыхтг+oo.=—oo.ToТо2->To)cosтгнеsinвыполненоt +sin2tGнеобходимое=214Ответы,ЯкобиусловиеТо==>=>тг=придопустимыхдопустимые?экстремалей5.57.tcostхsin=нетabse5.58.Sm[nО=^tcostloc5.60.tsint?max(тг/2)б'щахТо<<5.63.et5.67.Sm[n=5.68.5min=2к<к^locSm[nextr,=не—1,#max1,б'тах=^тах—To,С)sintSmax=minсо-—условиеlocextr,VCGSm[n#mmR,==+oo.—oo.+oo.=+1,x=+1,ж=Trt/2absGTrtmax.absGmin.^t/T0=Ze=^>max;min;Вейерштрасса^/Toextr;locGlocexусловиеlocнесильныйтг+To;k2kir,abs?fcGZ^x<min;необходимоепринадлежат5тах=2br,+тгabst eвыполнено+=min,=t sint ++oo.Sminabssin=^k/стг,=GZобоихвслу-требуется=^допол-исследование.2Ьг++^То<2Ьг?тах—То;=<+тг/2необходимоехкк^xе?t/T0=Z=^>x+кктг,Gmin;max;=^тг/2=locGloceВейерштрасса^/Toextr;Zеусловиеlocнесильный—+Т0;2ктг,+ 2Ьг,=Зтг/2<^/То<выполненослучаяхвZобоихслу-требуется=^исследование.дополнительное5.70.Sminдополнительное—(t=необходимоетг/2-тг/2случаяхнеобходимоевыполненоtsintне-оо,max,^/To<выполнено—неТо)-тг05тахabs<5.69.5тшне?max,^/To<дополнительноенеэкстремаль+oo.==>¦>==e5.66.Sm[nхне+oo.ТоТоприG=sinпри5.65.^ег~Т°/Т0не(^/^mmabs5.64.te2~tслучаяхдопустимая5тахmin,=экстремали0,G+То>То<=-?/2-Ц2Smax-оо;=>х==^>хе&/Т0loc—еloc=—оо,ВейерштрассаToextr;исследование.5.71.5minmin;max;условиеlocнесильный+оо;=необходимоевыполненохО=>¦точка=>¦экстремаль=>тг^>^при-тг? ^при+оо.=сопряженная—точка=^тг=abs5maxдопустимыеТо2/ct—оо;=R,e+00.=^>-тг;тгЯкобидопустимаяточка=Sm[nextr,V С#тахоо,—locmin—оо.+oo;Gmin,=>¦5.62.О—оо;^abst G==сопряженная—Якоби=sintabsG5.61.тгсопряженнаяЯкоби5ттусловие——00,ирешенияextr.5.59.tsintусловие+=необходимоеэкстремалиС sin2tSm-mmax,оо,=выполнено=иуказания5max=+00,=—Ц2^=>=^требуетсявобоихдополнитель-слу-Ответы,4Т05/4/5-4Т05/4/5i >? <СгдеGЖ1Необходимоеlocх4(С5/4=С5/4)/5(t + СM/4)/5+ СM/44((То-неПриПотеореме|?|max,С5/4)/5такATJ|?|.=самостоятельно).выполнено,<min,locе—исследованиеextr.locе-уравненияlocнесильный—СM/4+(проведитеВейерштрассаminусловиеслучаяхэкстремалейх2из^х4((?==>определяется0,==>решения215иуказания/5чтоЕслиНеоб-обоихвдопустимыхслу-экстрема-нет.5.72.Решение.задачи1.ссовпадаетжекраевымичисленнымБоголюбовачисленноеиусловиямизначениепростейшейзначениемсзадачитемиинтегрантом1,1.2.Необходимоеимеетхинтеграл3.Общееусловиеconst.=решениевновойЭйлера:уравнения4.Единственнаядопустимаяхх(e2-iJ,Впервоначальной<1/л/Ззадачеlocидоставляетmin5.74.Краевымx(t,Л)h)—J(x(-,приt,*^maxh))к,—ктому,выполнено.0.=НоSm[n1она—оо,=Лежандраусловиеkt/h=любогодлякabst2abseSmaxmin,ибовыполнено,нет.однако,приO^t^/i0подобратьx\)доставляетиh>0fc(l—так,+oo.=дуга—(to,точкиэтой+оо.=5тахmin,Навыполнено:также>0.минимума,минимума,(?; /с, К)и=х0.eчерезВв0;до-хо)сокружностии(t\,нацентромabsmin,~rOO.включить>неслабогоСильноговыпукла.экстремальУказание.хhломаную^ t ^проходящая=<нехВейерштрассаусловие2txA<t2—иэкстремаль+взять5.75.л/15.76.y/2t5.77.Допустимаяоси|^|приэкстремальэкстремальусловияНеобходимоех2Достаточно—1)/(\maxэкстремальБоголюбоваудовлетворяетокружает0.>функциячтоэтаВейерштрассатеоремедостаточныеЛ=2=ибопоусловиямвыполненыэкстремалиL±x(t)min+00.=поле|^|условиезадачи:absloc1<удовлетворяетрешениемС^.доставляетдоставляетприибоусловиямявляется#тах1/л/З;минимума,5.73.Краевымне|?|присильного?t—lei^i.?tэкстремаль>+=проверка),непосредственнаяЭйлерауравнениеC\t=экстремаль(возможназадачеLинтегрантадля—полеинтегрантчто5.75-5.77задачахэкстремалей,Основнаярегулярен.допустимаядопустимуюпокрывающееэкстремальформуладоставляетлегкоэстремальtoполуполосуВейерштрассаabsmin.^приводитt^t\,216Ответы,5.78.ЭкстремаливDКонстантавизопределенаизравнаисследование<х=A—полосу^tot^t\,х5тах=внеподx(t,имеетa)верхняят.е.сопряженную=5.82.x=—oo==5.83.x^min—oo=5.84.x^min==5.85.x==5.86.x#max+00—oo=*^maxSm[n+00—oo=^max^min+00==б'тахКонстантыс.+00=-oo==+00(х\,(x\,иасэкстреполо-покрывающееформуладоставляетэкстремальh +t2/D/i)(вдве(То,х2)x2)(xn(t)(xn(t)(x\, x2)(xn(t)(xn(t)(x\, x2)(xn(t)(xn(t)(xu x2)(xn(t)(xn(t)(x\, x2,(xn(t)(Xn(t)=(sht,sht)(sht,sht),x(t) + (sinTrnt,x(t) + (sinTrnt,(et, e-t),x(t) + (sinTrnt,x(t) + (sinTrnt,(sint,sint),x(t) + (sin2nt,x(t) + (sin2nt,не======5maxmin,——=sinTrnt)),sinTrnt)).sinTrnt)),sinTrnt)).—==(t4,===X3)==t3),x(t)x(t)=x(t)x(t)sin2nt)),sin2nt)).—(sinTrnt,(sinTrnt,++(t+++cost,@, -nsin2t,(О, П SHI——sinTrnt)),sinTrnt)).costcost,0)),2t,0)).—t),огибающей,сильногодаетобВопросabsGПрисзначит,и,лежитточкаэкстремали.пересечениеминимум.—=этаединственна;допустимые@, То),кривая?)еслинет;имеетвнутрисильныйэтаточка=это-баллистикеЕслиэкстремальэкстремальдаетогибающейэкстремалиимеютсях@)условиюabsисследования.5.81.хследую-Допустимаядопустимаяточку^max—безопасности).(навесная)дополнительного?min=безопасности,Нижняятребуетхбезопасностиэкстремума.+Уравнениедопустимойкривойкривойэтомг)sinдопустимая-\—t2.кривойбезопасности,наПодробноеформеначальномуat=виднаименованиекривойдопустимая+оо.видсемействалежитчтотому,имеютсяанет.квазирегулярен.к>однаОсновнаяудовлетворяющиеимеютносит(гопределить|?/То|при—бытьаимеетсяаD)/C.+должнатеперьусловий.экстремалей,интегрант5.80.Экстремали,0,Еслито—полев0;>=начальныхвключенаприводитmin,tизбытьВейерштрассаэтогоcost),отыскиваются?.=ch(tС=экстремалейс.[13,427].впараметрическойзаписываетсяобразом:константа|?/Tq|допустимыхв—хСаshr,=22однозначно=асодержится5.79.Экстремальможетaпри|?/Tq|задачиэкстремаль=cthr,=экстремали;прилиниинулю,СспТ0/Сгрешенияцепные—уравнениядопустимыеэкстремаль;щимзадачезадачеуравненийсистемыдвеabsиуказания+oo.minтре-Ответы,abs5.87.х=\?5.88.а>а=-1=>жа<-1=>#min5.89.f5.90.fx5.91.5ттxl)/4-±4??5max=eabsmin,1.Функция5.93.Решение.eR,SminSmaxmin,abs0;=+00.=abs?=VCSmax-2t=решения217min,min-00,—00,=absabsе=1/2,=5.92.(t2Ctи+оо.=О G=х=1,=5maxmin,1 =>—указания+00.=Smaxmin,+00,5тах^0=x+oo.=locextr.+oo.=Лагранжа:о2.Необходимыеб)=0Общее1.ЕдинственнаяА^=>0=—Эйлера:х4.Непосредственнойh(-)еслихtBT0=—?)/4.—?2/4To]),C\t+убеждаемся,проверкой? С1 ([О,0,=АоC2.+чтоft(O)0;=Полагаемнет.=Ао+0.=экстремалейдопустимыхэкстремаль:Действительно,Xox(Tq)A,=уравнениярешениедопустимая2АохЭйлера:уравнение—2Ао^(О)трансверсальность:3.Ао=а)условия:х=Единстabs?max.тоЧЧт0J(x(-)+hxhdt-\hdt-h(-))-J(x(-))=\h2dt=00о°-lh2dtlBx+l)hdt-2xh=-lh2dt^O.=О00Очевидно,Sm-mчто5.94.Sm[n=Допустимая—00.=(xn(t)-00хэкстремаль:5.95.5т1п=Допустимая(xn(t)-oo={-?,(C+5.97.Sm[nДопустимаяloc(T(T82) ф=Tnn,locn),=8)=+00.=?extr.Smaxloc+00.=extr.0<t1,<l^t^n-1,Tnl)(t-n+1)хэкстремаль:1,?2/4=n,=n-l^t^(Ty^,2=^>0)фlocextr,+00.=maxt2/4+—Smax1t +n2)/4-=n),=—-00-1,Допустимаяt2/4(t2хTnt,-==экстремаль:5.96.Sm[n1=extr.=-00экстремаль:(xn(t)(t2=хnt)/A-=t2/4t,+—A+tn=y/b)tn),5max(T=+00.=8 +4л/5)^218Ответы,иуказания5.98.Sm[nДопустимая5.100.SmaxToTo>хsint+5.101.(t=>Asint=>5min5.102.(t—1)1)+^5.103.ch^~ch5.104.tcht5.105.tsht—ж(Т2л/2)фlocextr.+oo.0 g=VAR;esintGabsmin,costGabsabsmin,5minmax,5тахSm[nabsmin,sht(sh1 +chl)/ch1 Gth1 ch1 Gabsmin,Sma^G1—=>+oo.==0,=-oo.=—=minSmax\[2t—5maxтг/2<absgтг/4тг/4—Ton),=t2/4=min,+oo,=тг/2тг/2absGTn-t,=экстремаль:5.99.cost=(xn(t)-оо=решения1.5.106.Решение.5max—oo.=+oo.=Функция+oo.=abs5тахmin,+oo.=+oo.=Лагранжа:lSf=о\ o(x22.Необходимыеб)А^^>Общее1.0=функционаланет.хcht=min.sht+shtС\=х)—+0;=ПолагаемАоC^cht.Един-=et.=Действительно,квадратичногодлячтоJ(x(-))=Формулаabsпроверить,J(x(-)+x(-))=Эйлера:хGхчтолегкоАо(хАожA).экстремалейуравнения4.Покажем,\§х(\)А,1).-Эйлера:=экстремаль:допустимаяА(ж(О)+уравнениедопустимых—решениеЕдинственнаяA0x2(l)-2Аох(О)0=dtа)условия:трансверсальность:3.Ао=x2)+ВейерштрассаVx(-)eCl([O,l]),J(x(-))+кприводитs@)=0.тождеству1х2х2)+dtJ(x(-))^O</(#(•)).+ж(-))<Очевидно,#min+T=l.=T+=—ТпT2chTsht,=0.x@)=0;J(x(-)поэтому+оо.Smax=единственное—Tп),=единственное—+оо.решениеуравнениярешениеуравнения1.5.110.x5.112.I]),=1ж2A)cth+нет.sht/shTn,2shTcht,=5.109.хsh2T=dtж@)5тахчтоэкстремалей(жп1=5.108.xsh2T1]),Vx(-)eCl([O,5.107.ДопустимыхtJctheC\[O,Vx(-)ОтсюдаUx-x==ж=t/y/2,y/2-(t-f21/6.=IJ,5.111.f=2.х=y/2-(t-IJ.+Ответы,5.113.Экстремалидве==>rcthr.=Cchвидалинииshr,=аТ$=цепные—а|?|нет,экстремалиимеютсязадачеуравненийизопределяетсятоврешения219иуказанияТогда,о|?|если|?|одна,экстремальПусть—.аТ$><=>¦ааТо,име-экстремали.^Г44А5.114.х5.115.x=COSt\^\(^=(х\,4х2)(x\,x2)=(cost=~dt~*~2\dx)г'1\ COS°'/1 sint,tg+=1COScost5#117#1tg+sint).~XZ+2U&z/Ж=х-ВУказание.5.121-5.125задачахГамильтона-Якобиуравненияв5.121.Сх5.124.t5.126.Решение.5.122.+C2t.JC2=g(t)C2J.5.125.еговрешениеSОбщийинтегралоткудаполучаемt=(t2-sina2to—cosЭйлераt26.2.3t2+6.3.Et36.4.5t36.5.60t36.10.2sint6.11.2e1-tabsmin,1 Gabsmin,gabsmin,SmaxGabsmin,Smax12t2ЫabsGabs+cost+1 -1+G1 Gabsabsmin,a=+oo.Smax+oo.=5maxmin,=+oo.sint+oo.=Gabsmin.5maxmin,Smax/3.+oo.=5тах—cos+oo.=absmin,tmax,+=Якоби+oo.=min,2 Gх2=Smax5maxmin,GС2cost./3.вида).sinтеореме—SmaxabsG+abssint36t+2sint)/7r—+4--6.8.(t6.9.t1 G96t2Ga+-6.7.costsin+3t6.6.-10t32tx+aх2—22t3t)/2+cosaсогласноAt-+видеда6.1.3t2урав-ьб|иsint=.имеетv<9xуравнения-^\a-СхГамильтона-ЯкобиУравнениеat;Ищем5.123.C2cht.+решениеf(x).+Cisht-(x-искатьследуетвиде==+oo.+oo.+oo.имеетвид220Ответы,6.12.2Aе*)/(е2-#max1.3.Ао=^>АхGabsОбщееХо(х2Aet=min,х2)+С\ег=Полагаемнули.—ххАже*.+0.решение:С^^~1++C^te1.absmin,tet.=убеждаемся,5тахmin,6.15.Решение.1.2.Уравнение3.AotetчтоG0 ^^>C\t=A1/2^?2хАо=х2+—0=всеC3.Aot2i;2L=+AtЛагранжаС^х+А/2=Единственнаядопустимаяпроверкойубеждаемся,НепосредственнойXtx.+0.=множителиА?2/2=C^jtBAot2i;)——++oo.=Лагранжиан:Эйлера:=4.+СУ?2.Пола-нули.—Общеерешежэкстремаль:t.=abst ?чтоmin,+00.=6.16.4/t2Gabsб'тахmin,6.17.Решение.1.2.Уравнение3.Ao+=Лагранжапроверкой6.14.te~tАоПолагаемabsе+00.=*->max+экстремаль:4.Непосредственнойрешение:3)-множителиAet.=ж)+все—допустимаяПолагаем1)?/(е-L2Ао(—ж0=х—Единственная#max(е+Лагранжиан:Эйлера:0 =^>=1/23)+решения+00.=2.Уравнение=4е-6.13.Решение.АоиуказанияЛагранжиан:XqxЭйлера:=0 ^^>=1 =>2A=0х=Хх.LXx—все—+oo.=Xqx2-\-Xx2.=0.=ЛагранжамножителиОбщееа)решение:А >0^>Пола-нули.—хС\ё^1=+С2е-^^б)Xв)АO^x=<C{t=0^>хsin\/—Atэкстремалейэкстремалейдопустимыхдопустимых+х=случаеу/2sinC2cosy/^Xt.Вв)k=±1,функцияа)случаяхбесконечноеимеетсяkirt,доставляетминимумизВнет.4.АбсолютныйследуетC2;+Ci=±2,х..=±л/2sinyrt,чтотождества11[(i;2тг2ж2)-dt=Ux-тгctgтг^жJdtоо^^([О,Уж(-)являющегосясправедливостипроверкой.можнотождестваSmin=тг2,6.18.--tsintSmaxCsintж@)=жA)=0,Вейерштрасса.непосредственнойформулыубедитьсятакже=+7Г7Г1]),основнойследствием+00.VCgR.6.19.-tcost.б)ичислоВсправедпровер-Ответы,1.6.20.Решение.2.Уравнение0=хрического=+С\С2J—.+А(+_|_А2.Изусловий2То4.Прина/ ^<тгТос2Tq.=иАо—изоперимет-1=С\чтоследует,(сединственная/ окружности,/ <длинынацентром1концахрешение:концахдугой0),(±То,точкиЛагранжамножители\2f+х2.0.=на0,Ал/l+все=имеетсяявляющаясяэкстремаль,Аоусловийх_|_Хох=тогдачто=хОбщее /\2хиизследует,=>¦=0=Тогдаconst.=условияt +L—либо=>¦либонули,Лагранжиан:Эйлера:3.Аорешения221иуказанияосиПрих.2То0.=точностью/ >изнака)допроходящейтгТоэкстремалейчерезнет.6.21./I2То<=I >ляется2Т0=>х2То=^х=ch^min*Ьтах—3t2)t)2t33t3+—min,5тахabsmin,5тах-=(х2,х\)(St2=+(x2,=x2)=-t3(t3+t,+2t2)/10absmin,cost?abs5тахI.условие=—5т1ПSmaxmin,5тахx25maxmin,=+00.-oo.==+00.+oo.=min,L+oo.min,abseabsabs—00.=e+oo.==1 e+l)/10+-4tSm[nmax,2t-?Необходимоеx26t),x2t3-t),abs6t2+abs7.7.sht2.e4t3G7.9.Решение.-+00.=eIJ--7.8.chtCt-t3,=*bmax-7.2.t(t7.5.?2(?37.6.(t53t22t,-+00.=x\)—00,7.1.3t27.4.t4экстремаль,экстремали,=7.3.t4допустимая—экстремали,(x\,=^minC?2=*bmaxдопустимые—3t/2—допустимые6.25.xxэкстремаль,+00.х\)—00,=5t3/2=(х\,=—/.=Gдопустимая—0 опреде->+00.=*Ьтах2Csh—^2t—Скоэффициентгдеуравнения3t2=),—изX2=Х2—00,6.24.хх^minch——6t,+=0,^At,—6t2~ОО,=6.23.х\+±Собразом=^minнет,О,единственным6.22.х\+экстремалей—=—=+oo.x2.уравнениеЭйлера-Пуассона"х"—х=0.222Ответы,3.ОбщееС^+С3 sht+C((shT0=4.Применим(Lxx(t)Проверим0)2 >выполнимостьболееH@)ТогдаСопряженныеdetточкиH(t)=0;c=2~sh2shtвсовпадаетsin—задачеshtt,sint—chtsint—costневырожденная~коСопря-матрица.sh(Зтг/2,G^mmTp(sh2t-sin2t)0 G=sin5maxTpTp sinSmaxV2Tpfr (chTpTosin2&(ch-Tocost)sht—-abs?sinTomin,sh-TocosTo)ToTo sinTosin2To-+00.=+00.=sint-1.=min,-OO,min,0^^costcht=2тг).abs=C2 (chtsh6ЛежандраПрове-регулярен.Якоби=+-abs++shTocosTo).+00.?absmin,Gabsmin,7.12.—chtcost7.13.—shtsintcost+7.15.A7.17.shtG7.18.x(t)min,absmin,absGabsG7.22.ln(t7.23.tintG7.24.l/(t+7.25.t3G-cost.absGabs1)absG7.27.shtmin,1)+absmin,absmin,7.29.+00.=+oo.7.21.5тах5max=t=-sint.Gabsmin,5тах=+oo.t4Gabsmin,5тах=+oo.+00.+00.=7.26.+00.=t2+oo.=5max#max5тах+oo.+00.=+oo.=min,=+00.=min,min,G5тах=5max5max#тахmin,+00.+00.=min,min,+oo.==5maxabs5max5тахabs0 G=7.20.etGabs5тах5maxmin,cost)/2G7.19.tetabsG—7.16.cht7.28.1\t\?2^01sh2c7.14.t|_sht=>sint=—cost/12Jхti>shtcht[==^sint—7.11.C\=t\Т07.10.sht^max</12/121точка:нулюТоинтегрантt,cos(cht-costJкsin*)).-УсловиеУравнение—определяютсяОтвет.cosT0)(shtсоотношением0^^=Ближайшая^minth\h\H@)0,=ch='~~имеетсяchTocosTo=l,Положимh\TT=то>Если-того,Якоби.условия1экстремума.Эйлера-Пуассона.уравнением0.=(chT0-условиявыполнено;?т^Тоcosхcost)-достаточные=ToэкстремальsinT0)(cht-chЕслидопустимаяхсcht.С\+решенияЭйлера-Пуассона:уравнениярешениеcostединственнаятоиуказания+oo.7.30.sht-sint.Ответы,8.1.(х,8.2.(х,8.3.(x,8.4.(x,8.5.(ж,8.6.(x,8.7.(x,и)и)u)u)2)u)u)8.8.(x,u)8.9.(x,8.10.(ж,u)о(cht(cht,(tcht,(tsht,(sint(sint,(tcost,((t=========й)/\n8.11.(x,=u)=+oo.Gabsmin,5max=+oo.0)+2)costf—\abscostу45max2tt)-8.13.(ж,8.14.(x,и)u)(v,-8.15.(x,u)V0)(Ccht,(cht,==0)absG/3tshlcht=к,JabsG/-ли8.16.(ж,-\и),v8.17.(x,o,_,oVx+х8.20.(х,л/2х,+2t)sint++4cost\++\/2t(\[2chu) J =)=-,V—jJ-G(y/2ch(tl)V2chl-shl2hlV2hl/absгде-^-p—^^^^,=^G——7Г4min,Gabsmin,5тах+oo.=+oo.y/2tshsh+2(shl-chl)cht\sh2l-3Jabsло.Smaxmm,7Г/+,mm,+oo.=\/2t\-p7^y=Gsh(t-abs1)sh(t-l)absG(C\t=и(\)=min,C\,=0;=и(\)гдехй@)1,=(х,0,и(\)=и)[C\t=\С2)f sint,ctgи)=((t+1-0sint,icht,mm,abs,mm,cost+оо.+(C3tQ+определяются+оо.=0)+GC4)sht,uabsmin=изопределяются=С3,б'тахSmax.

Характеристики

Список файлов книги