Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 24
Текст из файла (страница 24)
.,Простая0,=TkJ2 P~sт\=наx(t)>s=0k^°°чтопоказывает,проверках(-)функцияэкстремальнаяхпроизводнаязадачи189Разныечтотакова,(т&,интервалеО=ее^ПРИlim^к=Tk-константанаилучшаявторая7fc+i),A)вимеетвид(з)Задача(сбылазадачэкстремальныхбылаГ.решена12.4.методовпривлеченияВ.Н.теориитеорииНаГабушиным.полупрямойзадач)экстремальныхэтаза-неравенства.Адамара.НеравенствоквадратнаяпроизвольнаябезрешенаГеометрические12.4.1.R=конструкцийГ. Магарил-Ильяевым.использованиемзадача/случаядляXПустьпорядкаматрица(х{)™=Тогдап.произволь-—j=lимеетместонера-неравенствог=1Доказательство,[13,основанноетеориисм.задач,экстремальныхв444].с.12.4.2.ЗадачаоТеорема.тела,любуюточку,влежащуюконечномерномвнутривыпуклогоможнопространстве,чтобытак,гиперплоскостьтяжеститяжести.центреЧерезрасположенногопровестиэтаточкапро-оказаласьцентромсечения.Докажем<\сj=\натеоремугладкойграницей.Обозначимможносчитать,пространствачтоRn+1;пространстваeГ(о;)векторw,РассмотримV(u)—решенияследует=Г(а5)гиперплоскости.—{хограниченноеобъемсфера| (х,0}=иортогональнаяш)и\0}>(и)ГгиперплоскостьюАГ\И(и).телаinf,-+—шеисодержа-Sn.(з)компакт,существованиеПустьичереззначит,и,Вейерштрасса.теоремыгиперплоскостьОбозначимявляетсяединичная—задачунепрерывна,экстремальнаяintA,и)нульRn+1еSnиз| (х,черезV(u)Функцияобщности,принадлежащаяRn+1{хеэкстремальнуюVОбо-этому.ограничиваяSnRn+1вSn;=П(о;)Необозначения:проходящая—полупространство,содержащееточка,ксводитсяА.Введемuo—гиперплоскость,легкочереззаданнаяRn+1.телаограниченногослучайтелорассматриваемоенулемвыпуклогодляОбщийLiе\,подпространство,.
.,иеп——решениебазиснатянутое(з),вэтойна190Гл.СводныйIV.векторые\,этое^-ь. .,окружность,отвектора-7Г<обозначимид.<(ри)г((р)ПустьрД(?>)И7Г,Рассмотрим=уголэто—гладкостиграницычемунаАпересеченияхп).объем,^-мерныйПриПриаплюс,вэтотэтомдругомdx\вэлементЛизизdxnЛ..—точки(п—одномх=^-мер-+полупространствСуммируяминус.—наоднойкоколоdtp0.=делитгиперплоскостипримыкающийПустьсосредоточенногоугол\xi\dxdip.знакэтивеличины,соотношениюкприходимнар[@)Liповоротеуменьшится.Т(ид),вповоротеравныйвзятьПри—гладкой.ПодпространствоU(uji(dip)),Пдругойкобъемаn-мерного. .,р[@).части.двебудетФерма:piтеорема—величинаафункцияминимумаравнаувеличится,элементАтелаусловиеобъемdipнужно(реи),уголзадачу:Т(ид)(х\,образующийВыбе-стороны-TY^ip^TY.(Зг)гиперплоскость=обевOi,изод.вектор—У{Шг{ф)).экстремальнуюВследствие2.НеобходимоеВычислим,частей,содержитотсчитываемыйвекторLj-подпространствомОнаср,1.Рг((р)^Ы]уголприложенияSnО{.OiнапараметраиСечениееп..
.,которуюкачествевВыбереме^+ьотделгXidx\4.3,ТакимидAd..образом,absеЛmin=^>зdx\XiЛЛ..dxnО,=г=1,п,. .,Г(х)Ат.0е.это—1.описанноевкприходимАЕслиА.П>токонус,—можноЗначит,единственно.теореме,чтодоказать,вслучаесечение,мыконусаприхо-неравенствуV(AидгдеГ(а5)тяжестицентрЗамечания.тот—П(о;))ПSn,извекторV(A>ПприП(?))Vu;Sn,точказаданнаякоторомеестьцентртяжести.2.В§наугол2 былиплоскости12.4.3.частныерассмотренытрехгранныйилюбогоДляврасположенного@(А)диаметромвуголэтойR3.Акогдатеоремы,—Юнга.НеравенствоТеорема.случаиRn,ограниченногоимеетАмножестваиследующеерадиусомА,множествазамкнутогоместомеждунеравенствоR(A)описанногошара:9{А)Доказательство,в[13,с.основанное431].натеорииэкстремальныхзадач,см.12.§12.5.ПолиномыотпунктаЧерезнуля.1]),т.е.сопкоэф-старшимуклоняющийсяследующейтрехуклоняющихсястепенинаименеерешениепервыхнаименееполиномах,полиномединице,равнымLq([—\,метрикеоидетречьобозначимTnqкоэффициентом,Вприближения.наилучшегоэтогоразделахзадачи191Разныевметри-задачи:к=\12.5.1.ПолиномыЛежандра.ИмеетТеорема.следующееместо()2n(n\fPn(t)n2WBга)!Bга)Рп(')гдеоснованноезадачи,[18,наИмеетследующееместоTnoo(t)Tnoo(t)ПолиномнемедленноизобЧебышеваИмеетТеорема./,\Полиномы_Тп\РешениеTn+\oo(t)((гаl)arccost)+Чебышеваполиномамитеориирода.второгосм.задач,экстремальных96].с.об12.5.4.Теоремастепенипметрике1—^sсвои+1максимальноеНапомним,([to,ичтоt\]),вточек,их(-)—р(-)которыхр(-)полиномх(-)функциинеобходимоминимальноеполиномчтобытогонепрерывнойотуклонялсяСпДляальтернансе.наименеепространстванашлосьвчтобыдостаточно,принимает,чере-значения.наименьшеговуклоненияС([to,t\])опре-соотношениемопределяетсяМ-)-р(-)\\с([ц,и])=infР1.Необходимость.<f(x)рода.sinнарезультатравенство:_называютЭтот12.5.4.п.—второгооснованноезадачи,альтернансеследующееместоrpЧебышева.полиномомтеоремы12.5.3.Полиномравенство:2"(n)cos(narccost).=называетсяследуетчередуясь,см.задач,экстремальныхЧебышева.Теорема.[18,теории93].с.12.5.2.Полиномыв_ri_=Лежандра.полином—Решениев=равенство:=maxte[to,t\ te[to,t\f(t,x)=\ х(-)-р(-)\\{•)^пtM-)-p(-)\\c([to,u])-Рассмотримзадачу=max+k-\x(t)k=\inf.192Гл.СводныйIV./(•)ФункцияЗначит,выпуклая,—поотделиприложенияинепрерывнаяизследствиюбесконечности.нарастетВейерштрассатеоремызадачихрешениесуществует.(и достаточное)2.Необходимое3.Применяемтеоремуdf(x),О GЛьчиселнайдетсятоAs.
.,\ х(')-р(-)\\=<sиs0условие:об1+пdf(x).еСогласноочистке.векторов<т\dxf{ji,Gу^этой<toточекx)еслитеореме,<т^<..t\,/(т^,чтотаких,<rssх)=иss5]Лг5]Ai2/i=O.A)1,=г=1г=1Вследствие2/iA)Из/(г^,чтотого,ж) ^ 0,/(т^,х)Дифференцируяпроизводной.B)исубдифференциалпочтовытекает,получаемж,. .,rf-1).B)sign(x(ri)-p(ri))(l,ri,=ссовпадаетточкевжсистемаS^A,sign(x(r,)-p(^))rffcO,=l,. .,n-l,C)0,=г=1имеетнетривиальноерешениеи,значит,sтеориювычетов,1.+п=Рассмотримполи-п+1n(t)номTi).—г=1ГконтурY\(t=Применяя[to,охватываетt\],чтополучаем,еслито1немедленнооткудаформулыпоследнейлибопротивоположны1 точекп+изнакиs^чтовидно,<т\х(тг)..знакамП^),для—pin)тп+ьж(-)функциязначения.Ы')производнаянеполучилирможетбыть,противоречие,\х(т{)аП'(тг).=либоИзли-совпадают,Итак,р(п)\—Еслипринимает,нашлось\ х(-)=допустить,<—Ы')р(т^)—р(-)\\иметьпосколькуризне—которогор—менееполиномследует<т^<..t\,ир(-)некоторогодля^rsмаксимальноеG^п-P(')l c([to,ti])»являютсяНоположительными.должна—р<т\чередуясь,чтор(т^)^toточкахвр(-)величинытоотрицательными,—-P(')\ c([to,u})чтоокажется,р(п)чередуются.которыхПусть1,минимальноетокоторыер(п))——чередуются.Достаточность.п-\-x(ji)знаки<(x(ji)А^ signчтоследует,топопеременнопотогдатеоремеЭтого,нулей.пстепенитребуемое.Роллянеоднако,менее>п—1;УКАЗАНИЯОТВЕТЫ,ИКl.X=R,=R,5.X=R,6.X=7.X=8.X=3.X/(ж)/O)/(ж)R2,R2,R2,9.Нет.sin=введению2.Xж.arctgx=/(x)/(#i,f{xu•x2=x2-#2)x2)sinж.+2e~<sinx2—x\){x{-/О)X=13.X=х2).+(arctgxK.=3x1).-функцию0,12.1/A=R,=Жр—(xi=РассмотретьX4.f(x)TL,=arctgx.=РЕШЕНИЯ0,=R2,inf;1 =0.-/оОь/l(>bR3,Ju2i*Ьо)inf;¦>~(а,X14.R2,=1xx—99,-\-:2c2 -ж3ж1+2ж3—1,1, 2,г=15.XR2,=x-?}+ж--C2+ж^3-г16.х(а2х)(а—17.жRn,=—Jj^(Vх)-^sup,f; ж^-Л+п.а)р1.1.1.Функцияб)и<хdtf31, 2,=—=(i t3d)'точки.заданныеа.inf.->fc=i^КК0 <inf;-^жinf;—>§упражнениямNзадаетнорму^12^21^ 0;1призначенияхследующихпараметров:2.13В.М.>1;ЭквивалентностьАлексеевв)аца22—нормидр.следуетг)изаинеравенства>0,аца22—| х| ооо\2>0.194Ответы,4.Следует7.Например,| ж|положитьпространство| ж(-)||нормой{tinf=?наВ}.[0,отрезке1] функций/ОI\x2(t)dt)=| x/tО>решениянепрерывных11сиуказаниянонормированное,—банахово.неоибо9.Нет,функционалне| ar||=maxfM,10.a)являетсяограниченным.Щ);\a2\J\ a\ai11.Надо=взять,f2(t)sin27rt,(|s/i|212.a)=cos2irt.+|s/221/2оболочкулинейнуюнапример,| zi/i(-)Тогдаx2/2(-)l|c([o,i])+f\(t)функций==anКп.2.X1.2.=1.(-1,=R,1)./4.5.а)б)Нет;6.Единичный7.Следует,да./2 (ипространствевписатьнапример,В(хп,числофиксированногорадиуса=<вообщелюбомв—нижняяО01,^единичныйшарХ[-1,1]),фикси-шаровв-ж„||остальных-р),6жВ(хп,р),случаях./равняетсяно—р,неточке.=/2пространстванепересекающихся\ х\ >1,l/«)(l|s-функционалаграньвп19.беско-положитьAИ1-1,Укакойр),ирf(x)вг)нет;пространстве).бесконечноеТогдавшарбесконечномерномнив)нет;L={x(-)\=Q\x(t)=t.достигаетсяОтветы,10.Можно12.Рассмотретьв1%пространствеJ2Кkt>0,1.4.п.1./(x)=xsini,R^R,/:/(ж)2./:R^R,3.R2/:rsin^)R-^|ж|,=вж4./:R^R,5./:R^R,1.1./х(ж)[ж]==Ах,х1.2.Решение.('•f(xx)f(x)-остальных{?жиррационально,Фрешех)Ах=1.5.f'(x)[x]1.7.Решение./Ах=(а,ж>.f'(x)[x]1.6.Отображениед:ср од,оН/R,—>присуперпозиции^(ж)х2{х,=ф0f'(x)[x]=х/\ х\х(х,-х)/\ х\ 3.х),1.9.О1113*f'(x(-))[x(-)]=6^x2(t)dt}ОО12tp:(х,f(x(-))[x(-)}=\x(t)y(t)dt.1.12.f'(x(-))[x(-)]=2Jx(t)dtjx(t)dt.отобра-суперпозицией(х,=11.13.Ах.=х).является=1.10..10.определению:f'(x)[x\=>г=1==теореме1.8.понаходимA=/()И(>?Пожп)..
.,+=0.=(si,А(х-Х2)0.=Ж2>°'случаях,?=@,0).в=(#ь=xЖ1=Ж-I 0I 0,1.3.f'(x)[x]=Ax,отображений=rcos3(p,Производную+жкоординатахf(x)=№0.=0.полярных/(*)эллипсоидx=равенствомопределяется+А. .}.1, 2,=компактныйиГk=\=t/k,1(х,у)=хфункционалнапример,рассмотреть,hxkрешения195иуказания1jx(t)x(t)dtRR,Я—>х)/\ х\ ,f{x)[x]t==2{Ах,g(x).х).у.=196Ответы,/'(?(•))[*(•)]1.14./'(*(¦)/(«(О)"-=ж@)ЖA)1.20.=определению:-жA)ж@)++г(ж)==x@)e2<°)./'(?(•))[а:(-)]f'(x(-))[x(-)}1.18.10^яA))х{0)х{\)+о(|=1.17.х@)понаходимж@))(яA)ж@)жA)+2х{\)х{\).=Фреше(?@)=решенияf'{x{-))[x{-)\1.1Б.Производную*(¦))+*@).=1.16.Решение.г(а;)иуказанияf(x(-))[x(-)]=x(l)cosx(l).1.19.-x(-)=sinx(-)..21.f'(x(-))[x(-)]=\x(t)Signx(t)dt.=i(t)xW1.22./'(?(•))[?(•)]1.23.f(x(-))[x(-)}Vx{t>=x(t))x(t).11.24.f(x(-))[x(-)}=^'(x(t))x(t)dt.1.25.Решение.fотображений-^kog,=fc(ri,R,0Отображениед:Г2)р(т\,=C([t0,П])тъ).По/R2,-^д(х(-))г\(Lx(t,=х(П)),tc(t)Mt)1.27.x0.1.29.{ж=(х\,Х2,•••| |#г|Жп) |,Возьмем1.30.Решение.| жп(-)||с([оПосколькутой{ж1.28.11)чтоочевидно,стороны,l^jl..гнекоторыхДляХ\Х2.Хп1»| ж*||то^x(t))x(t))dt.ф j}.0}.=функцийпоследовательность=-^+x(t),—отобраR2суперпозицииt0+La;(t,=k:fl(x(-)),=x(t),(x(t0),=отеореме-))[x(-)]],1.26./ (^(-))k(')]суперпозициейявляется\ х*\\^8.Итак,(ж*>lim| ж*||^п(О)==8.Сдру-8.11.31.3/2.1.35.л/2/л/3.fc=1°1.32.1+2/тг.1.33.J2\Pk\+\ q(t)\dt.1.34.1/л/З.Ответы,1.36.ВРешение.1G\ sin2Trtdt)силу,\\1/2/решения197иуказанияКоши-БуняковскогонеравенстваО/I\x2(t)dt)1/2чч| ж*||=>1/л/2.<Сдругойоо| ж*||| ж*||стороны,1,=тол/2(ж*,>sinTrt)1/л/2.=Так11л/2 sinтг^11х,2([о,как1/л/2.==1])1.37.д/5/2.1.38.Л*:I2^h,1.39.Л*у=1.40.T3M=1.41.Т^М=Л*2/B/i,{0}•••)'2/2п-ь.
.,. .),2/i,2/2,1)}.2/en},. .,(XU^г=1J1.48.lin{l,e\,enусловиям••Уп,•,•••)•lin{D,1.45.-1)}.базис.Г}.. .,2/тг}.=. .)•У2,2/2,?a;^=0).RneРассмотрим^оB/ьстандартный—MЛегкокасательномC([0,eFчтопроверить,отеоремы{ж(-)=C([0,F:отображениеТогдаF(x(-))(уи=R2.1.44.. .,Xn). .,t,{0}.1.43.1.49.Решение.=У=R+xR_,1.42.cone{@,1.46.Нп{в2,1.47.\x=уз,@,=1])1]) | F(x(-))=всемудовлетворяетF'(x(-))[x(-)]ипространстве=1г\x(t)=cosx(t)dt.СогласноС([0,этойТ^МтеоремеF'(x(-))Ker==1])о1.50.{/*(•)1.52.Решение.и3 5 >г1]) | Л@)По(а)0о(а)=ЛA)=котображениеапри0.Положим""ТогдааТаким1.53.r(a)+G1 еобразом,{0}.1.54.^^limM,{0}.Т^М=>Gа@,одноточкехa-\-r(a)1):^-^=R+.f-—)V71=П+10.О,=G2UlimТ^Мявляетсявчтотакое,Vn+Г<1=МR—>дляГR.hмножеству@, 5)г:—>1.51.векторвектороми0}.=определениюкасательнымодностороннимеслиС([0,GМ198Ответы,2.1.A,2.2.E,0)2)2.3.Sm[nabsmin,Sm-inglocmin,5min+oo.=+oo.=2.6.(-2/3,2.7.A,0) ф2.8.(-4/5,~*bmin1)-1/3,1)loclocGextr.(8,точка:стационарная—10)^absGSm[nmin,Smaxmax,-4/3,=SmaxSm[n+oo,=-3/5)absg4/25)1/2)D/5,min,abse3/5)@, 0),absg1/2)1/3,-1)1{(-1/л/б,Smaxmax,=-Smax=+oo.5minО=недостигается.+oo.=(t, 0,max,VOA/л/б,locG-1/л/б),1/л/б,Sm-int <и-oo.absе1/л/б)}—1>=1/л/б),1/л/б)}1/л/б,—Vtmax+oo,=-2/л/б,(-2/л/б,2/л/б,B/л/б,(-1/V6,-1)1Smax1,t <<-2/л/б),2/л/б),-1/л/б,locmin1/л/б,2.14.{A/л/б,min,absGmax,{(2.15.-1/л/З,1/л/З,1/\/3),(-1/\/3,A/л/З,1/л/З,A/л/З,-1Д/3,-1/\/3),1/л/З),-1/л/З),( 1/л/З,1/л/З,(-1/л/З,—1/л/З,{A/л/З,1/\/3)}—2.16.(О,0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
