Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 19
Текст из файла (страница 19)
.,=К.Ног=\i=\0=вспротиворечииБ)ИгольчатыеобойтисьЗдесьиПереходимксмоглимыпунктеневозможноиголок.Значит,системы.предыдущемэто(пакеты)наборыпакетов._приходитсярастакихопределению_(х(-),Пустьстольи(-),допустимого(х(-),t\)to,е]+u(to)константамиВключимнабора:Ггде...Гдг),,to<aвна?$о(х('),[toотрезокs,—..^.0.^oti{jit\<Тдги(-)),адг),. .,Nнатуральное^Г2се-конечно-параметрическоенепрерывности(a\,=^Т\точекПустьt\)to,фиксируемэтогомножество—^.G(т\,=Тдопусти-длянеравенствоп(-)Продолжими(-),Длявариаций.вытекалоГхиu(t\).и(х(-),процесссемействоГ^графиковг>0Выберемпроцесс.^-близостиto, t\)и(-),^(*)> ^о> ^i)-^о(Ж*)'^оптимальный—изпроцессаи(-),t\)to,чтобымалым,ViВвариации.иголкой.однойрассматриватьt\центрированнойопределением=иv|a|iЧерезиТG(to,Сt\),. .,vn),(v\,=на-дваобозначатьбудемдгJ2 \ai\-ПОЛОЖИМi=\oj—(t)7/—(t—)1)7~^^ДГS(t),t gj,tGAbНекоторые[toлежатТ.в[пначальнымВ)ОGF:(GRn—>дифференцируемая[to,Gпографиксистемы,(N-i)\a\i).-А^полуинтервалынеипересекаются(имею-|a|iмаломприуравненияcp(t,=i a(t))х,Это(to,точкагдеxo,=xo)внаходитсяxv('),обозначимрешениегдег]Рассмот-уравнений.t\],хF(t,x),=^(Rх(-),инепрерывная—Тогда,функция.х(-)еслисодержитсякоторогорешениеx(to)=xo,A)Rn))xнайдутсятовектор-функцииединственноеониПКошиxотрезке-аидифференциальныхсистемахРассмотрим задачугдеi)\a\x-Однакочтоx(to)^(to)).(to,точки{N-решениеусловием^-окрестностиIJ A^,совпадать.так,хсs]\+=могутт^ai) выбраныРассмотримдлиныt\s,—A^точки(имеющие—длячтоХ(-,to,xq)G,в5любоготакие>0иопределенноенаG\xo)Кошиэтойрешениеокрестность(to,задачидиф-непрерывно—G\GA),существуетопределенноеграфикаот-=144Гл.[?она5,t\—ЗадачаI I.5],-\-дифференцируемаЛагранжа(t, to,функция(toобластивиxo)5,t\—+0(t,гдеto)(t, to,x0)i—>X(t,5)хxo)to,G\-Q(t,=fфундаментальная—управлениеидиф-непрерывноэтомпри=u(t,t0),xo=x(to)fоптимальноеto)F(to,x{t0)),решенийсистемавуравнениява-вариациях:u(t,jtЭтообto<\хого,x(to)\—11^@-2.<на(t, rj)(t,дифференцируемогонепрерывно(t\,fj)(t\,=to,dakчтои,от[toajy)0,0),.
.,?о,—\а\t\?о]>ви+0,xv(t)-^отображенияx(to),..0 <(fa, x(t0),. .,(т\,Vi^°i/,=<того,кромеr]^fj=a\,xo,еслиотрезкеnPUto,=окрестности°^тvN),. .,0,>Д^сТтоso,(v\,=гоопределенаN,ПустьneT,t\,to\—?(-)||c(fo-eo,ti+eo],R«)доуравненийvтакое\toso,Отображениепродолжается<гдгxv(-){.Траекториядиф-непрерывнодифференциальныхсуществует<I.=ивариации.<Тогдаto)2.5.6).п...n(t0,существованииигольчатой<т\фиксированы.<орешений(АТФ,Леммаtn),to),теоремаданных•.,x(t))u(t,зависимостиначальныхГ)Fx(t,=классическая—дифференцируемой•to)...и,продолжанекоторойэтомпри=u(t,Tk)A<p(<rk,vk),Г)=Г)0).B)C)?7=?7=u(t,гдеto)dtor)=rjdtt=uфундаментальная—-n(t,D)решенийсистемавуравнениява-вариациях:U(t,Наметимопункта.Действительно,положитьаа),векторавха(-)тоизг]становитсяпредыдущего. .,свойстваха,to),U(t,.
.,элементарнойзафиксировать0) (числопункта.ТогдаI.=B)toаto,=ота,асо-предыдущегоxoк-иявляетсяочевидно,составляетизвариациитолькозависящимto)Формулалеммы.если@,=<Px(t)ti(t,=доказательствапутьлеммысодержаниеto)=x(to)компонентойх^{-)чтопо-ивек-превращаетсяутверждение3)10.§леммыиодноПредположимосвойствахтоже.элементарнойи(-)чтонужноиадалее,теоремуизполучимC)ЗавершениеD).начальныхкусочно-непрерывна,Подробнеенакаждомсм.вСноваконечномернойк(turi)=вытекаютотраздоказательства.Редукцияzх(-)женесколькоиD)ирешенийучасткеАТФ,4.2.6п.(tu=auxo,•иОбозначимзадаче.to,NфиксируемWN.хА)C)формулыЕслиВ)означаютПредполо-1.6.6.п.10.1.6.В).вмытакжеv)eTN(г,ТогдаB)определения.зависимостиприменитьнепрерывностиизследуетнепрерывна.дифференцируемойсформулированнойданных,исразуформулаивариацииE)отеоремытоуправления145оптимальногоФормулатеперь,изЗадачи•N++2•положимFi(z)=Fi(tuto,аиxo,aN).
.,=t\r\fi(t,=Xrf(t)4ирассмотримзадачуFo(^)^inf;ад^О,гВсилуобигольчатойточки¦?=(t\,окрестностьЛемма,'zПусть<\<\(х(-),и(-),t\)&о(х(-),to,>t\)обв?0,множителейЛагранжа2.3.3)\%о\z%(to)\В.М.<<ео-точкойсилуmin3^7.Гх&о(х(-),\хо?о,—чтобыт^к,?0теперьx(to)\<вследовали?\изпо?0графикчто(гдеГ^инеравенствоTXrfполучается,(з™)такой,|a|iчто\zчто1п.лежитнеравенстваТогдаеслиz^\—<z=<?\,длялеммы(А^идр.сАДг,г;),JIi=ДДт,отеоремытоv))Аш,. .,итакие,кза-множи-правилеиравенствамиАо,ЛагранжагтnАлексеевизадачимножители=Лагранжамножителейдоказаннойгладкойг=010?|—правилаВнулюЛагранжа—допустимойнайдутсяравныефункцииследует<щ—locграфиковследовало,изПрименение(зтп).всеG—»задаче(п.0)WгдеГ^.?0,будет=Б)<R7V+n+2.в. .,Cl(W),?^-близостииз\to?0,чтобытак,to\—0,процесс)Выберемt\).to,<0).
.,x(to),to,вариации?\\to(t\, rj)Fo(z)^Fo(z).<|a|i0,чтои(-),графикаотВыберем(t\,допустимыйигольчатой^-близостиx(to),to,=Fiвариациитак,—0 ^соотношенийлеммыrj)выбраноги(-),to,(t\,=a^O.^T'v'm,. .,леммыFi(z)=0,. .,m',г=1,т'+1,=неравенствамиД1?. .,~pN,чтодлянефунк-146Гл.выполненыЗадачаI I.Лагранжа(Xiг0,=1,/(?,г1,=и)х,0,>~pjО,=управление(??га',. .,(XiFi^z)нежесткостиоптимальноестационарностиусловия0,>иjга/).. .,0),—z\,=неотрицательностиN). .,идополняющейПоложимt,=и),х,г=0тl(t0,X\)h,Xo,to,=X\),t\,X0,тг=0pi(-)гдесистемырешение—Pi(t)+Pi(t)(px(t)скраевымопределенияPi(t\)условиемдляQ,(t,to)Из—ф{Х1-=fix(t)=определенийэтихиопределе-чтоследует,=7x(t),ftt,p(tl)Го))%{t)U{t,=-lXl,A)=to),txN??\f(t,=xv,Ua)dt+l(to,xv(t\))t\,xo,-y^fljOLj.to1РаспишемпредыдущегоЭЩг)дакфункциистационарностиусловияучитываяолеммуфункционалаприращениии??Лагранжаформулы%точкевB)-E)преды-пункта:=Vk)Af(rk,~p(rk)A(p(rk,vk)-fik0,=B)k=l,.
.,N,77=7?bto)-p(to)+1Ж0i,Го)77=7)==-Io=0,C)=0,D)Г)=Г)-Ш)+10.§Задачи??Ш%1Очевидно,ф О,АчтоB)соотношенийуправления147оптимальногоибобы,следовалоiиначе/1что/,определенийиз0,=1=чтосоотно-ирУмножениемневозможно.натположительнуюконстантуИтак,нормируемчтодоказано,выполненыXiFi(z)0>0,XiВ)пространствеОкончаниеRm+1{mn 5^А?оJАполняютсяG)г?)любоеимеют(Ао,1,v),излемметехоонир(-)любыхдляПринципКС1vti],Rn)изменения1,Rn*)N,.
.,К(т,множестваt\],счтотакие,вы-$/.GвKC([t0,U],пространствеRr)R2.xобосноватьпозволяютдоказательстваегопространствеИ^([*о,10.1.7.*i]>Rn)Loo([to,xU],Rr)xR2.Примеры.1.Пример4[inf;Решение.управления,1.введякзадачу<х@)1,оптимальногозадачвидуUu2+x)dt^mf;х[-1,еии,=1],Лагранжа:Jgf(А0(^2=о10*управ-х@)оФункция0.=и(-):управление4\x\Приведем+х)+р(хv)вектороптимальности,условиемдоказанxA)-условийк=ненулевой([to,максимума([tOtНезначительныеТ,?тПонтмножест-Vk),всеКС1вы-которыхмаксимумаK(jk,а)-е)сферыдлясуществуютепространст-определенияВ силузамкнуты.Значит,теоремыЗамечание.принципеИзv.=системефункциявкомпактнойА,множествпересечение.ииг,=чтоутвержденияга',F).
.,?T,векторовцентрированнойо1,=tтеоремыtвзяточтотакой,га'.G). .,vG^,пересечениевыполняющимсявв)п.Аш). .,выполняются(г,вывести,непустое=гРассмотрима)-е)внетрудноПо0,=состоящиеконечноенепусто.А1 >,=утверждения-К"(т,гКпричеммножества=0,доказательства.подмножестварягина,ХгЩО^^Авектор1.=того,кромеи,J^Xiчтобытак,единичныйсуществует=оЛвекторA)-E)соотношенияE)0--и))dt+\x@).=0.148Гл.ЗадачаI I.2.НеобходимыеЛагранжаЭйлерапооптимальностьпоЛо0,=р=?(Xou2тоИзр0=в)\р/2\начальногоб)изир(х+и):—рп.—рЛ=Ло0=1.=все—Тогдамножителиа)изр=1ихGчтоследует,Г-1,0<t<2,1,А>находимусловияХоп2=ПолагаемусловияJsignp,Иза)изри)—нулями.4.—х)+и:minоказалисьХо(и2=х:ие[-\,\]ЕслиLLx=+б)трансверсальность3.управлениелагранжианадля-±LiЛагранжаизб)оптимальноеусловия:а)уравненияв)ифункциюнепрерывную(-t,0<t<2,jt2/42t+~Здесь4.Gabsизвозможноmin.сослатьсяинаможнонаша(п.ПроведемИнтегрируя(t-4)/2,частям2t<с4,<существованияВо-вторых,аусловия4.1.3).Пустьее.потеоремуточки.выпуклая,необходимыедостаточнымипроверка.=задача^Ло0явля-непосредственнаяфункция.допустимая—использованиемвыпуклогопривозможна#(•)+#(•)можнозадачдляминимумаНаконец,чтотого,накритическойчтото,доказательствасослатьсяединственностьпрограммированияявляютсяпутейнесколькоВо-первых,10.3.5п.2Iх@)чтотого,0=x(t)иполучим4444\х2dt[2жж+000<ftfa;rf(t+4)-=44+[i:2^t\Bх+-tоооонаПример[0, 2]участке^0.Итак,жGabs+[B-t)xdt^3S(xmin.2.|ж|T^inf;(простейшаях=42dtибо4)xdt+задача1,<ож@)=^ьбыстродействии).ж@)=5,ж(Т)=ж(Т)=0=10.§Решение.Задачи1.управленияПриведем10.1.1,п.иТФункциязаменуоптимальногозадачвидупеременныхх\управ-х,=х2их=вводях:=inf;—>кзадачусделавуправлениеуправления149оптимальногох\х2,=х2[-1,wGи,=1],х\@)t;\,=Лагранжа:т-SfJ(Pi=2.а)(*iж2)-р2(ж2+Необходимыепор2@)Аь=в)оптимальностьвыписываем):г)стационарностьУчитывая0=3.Aoбытьможетбынулями.следует,что0u(t)то=>1=-А4;слагаемыеиsignp2(t)=+A3Ai(T)неp2(t)приА4Ж2СГ)+-р2(Г)>=г)извыпи-^ 0;0.=аналогичен).Р2(Т)Й(Т)Значит,=a:2(t)ЫТ)\,=1ибоu(t)=иначеp2(t)a)изили—1.=Т-t,C(t0.=все—Т),=-{Тэтоматогданер2Лагранжаизв)условий,начальныхописываетсяxi(t)ПримножителиМножествоуправлениям,=р2(Т)чтоследует,нулем,таким-1и=u(t)+Ao<^>0,=соответствующихчайAo^^тождественнымбылиотзависящие=>А4=Еслир2(Т)-А3,=АоТ=и)—Т:i,(T)=0,J?T/+Рг(^2х^)—чтото,получаем(нег^поJ^tpi(T)A2,р\(х\=терминантадля-p2(t)u(t)=Lж=по(-p2(t)u)minА0Т+лагранжианадлятрансверсальностьue[-i,i]dtусловия:Эйлерауравненияб)гх))—сле-уравнением-t2/2)^^1/2=;слу-150Гл.Еслир+(?)C(t=возможностями+наиТ)в)силуЛополагаемp~(t)=C(tсоответствуют(х\,Т)-такиех2),г)из1.-управления:управлени-фазовойназываемойплоскостью5).(рис.ДлязначенийтехХоt,1=ТакимХ\которыхдляХ2=образом,t,значениямфазоваяявляетсяСt +=ххтраектория,параболыкуском1,=х\соответствующая+такойх\/2=имеем1-=поизусловиякаквэтимС.этомt,х2х\(х(Т)х(Т)=направлению.и+(-)•))&кривой<^(?i)<^2Си,&),(?ьсоответствуетпроцессотрезкеи(-)Предположим,(#(•),и(-),[Т, Т].задаче.(дляТ),Т.>y?(?i)г^+(-(длякаждогодлякривая,приводящаятох2начинающаясяПустьэтой|?|=+другойДоопределимфункциюточ-всоот-траекториии~(-)),некоторыйимеется^перенаправ-траектории,определенностичтоТоднимVsltx2.=траектория,решениедоставляетсвидеть,нетруднооптимальнойТгде@, 0)совершаютсяфазоваяоптимальнаячтоуправлениеТ.надвижениявремяПокажем,1—х2),точкуПереключениякакнауправле-^2рис.5).этом,(х\,соответствующихединственная\х2\всегдазначит,4.времяПриимеется@, 0).Посколькуточке<^(?i)-=месторазрешенномунеравенствами(см.точемпоусловий,и~(-))(дляусловияточку+и~(-),описываетсяатакх2,искомуюболеенетраекторииначальныхиначальногофазовойС,+определя-теперьВпопастьдолжныпоСовокупность<инамыдвигаясьпереключением,управлениям0)=х\/2—плоскостиуправления.переключение=1.Укажемсовершаться=ку-—убывания—фазовойдолжноu(t)траекторияусловия=техдлядвижениякак5.чтофазоваяпараболыизАна-1.=которыхдлянаправлениетакх2,х21,определяетсяРис.определяетсяслучаеполучаем,кусокдвижениявозрастаниязначений—значени-НаправлениепараболеАналогично=вТогдаоптимальнымсоответствующиеплоскости1.=возможности:две1,+управлениеМЫимеютсятраектории,и~и7^ О'т.е.-вРассмотримуправлениям1,=оптимальноеи^ото\р2(Т)\чтоЭтимЛагранжа<^2 7^ ^(?i)»жевытекает,ЗадачаI I.функцияуправляемыйх(-)нулемх(-)ина10.§ВЗадачиусловийсилупредставитьвПосколькуx(s)науправления151оптимальноголевомх(-)функцииконцех(-)иточкевможногвидеx(s)1 >=х(т)Vsх(т)-[О, г),e(г=тоs)(l-?(s))-dsО,>опричемx(s)Аналогично,1,=сх(-)функциивозможноздесьравенствонепрерывностиаж(?)ж(?)=условийучетомх(-)иточкевеслитолько,тогдаVtнавгвовсехточкахнепре-[0, г].Gможноконцеправомпредставитьвидеfх(т)Us=t)x(s)—ds.тТакx(s)как—1>x(s)=\/s(r,eT),тотж(г)-х(т)Us-r)(-l=-x(s))ds<0,типричем=x(t)здесь=образом,x(t)Vt10.2.вТОтсюдаПринципнеобходимыеусловияхминимума1—x(t)ибудетпунктезадач,изучавшихсябудутминимума=минимумаэтомдля=x(t)условияВусловия=следовательно,и,исчислении.необходимыхВсенеобходимые5-7.х(т)=имаксимума=вариационномпринципаизвыведенымаксимума.10.2.1.п.f].классическомрассказанов[0,eх(т)f.чтоимеем,x(s)еслилишь,f].[г,VteТакимвозможноравенство5.5.1Простейшаяивзадача.кдополнениесильныйлокальныйусловиеВейерштрассаэтомунеобходимостьчтозадаче,вминимумДокажемпокажем,g(t,x(t),x(t),uO*0(ОпределениеА)VwФормализуемВейерштрасса(з) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
