Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

.,следуетоптимальногокакиное,(**)ичто—1,+принципомW,(зОeзадачаэлементарнаяестьТеорема.gi:сЛагранжаидеей->иRсоответствиисА)(напомним,—>полномвх,9.2.3.НеобходимыеXэкстремалейдопустимыхJ^«),это(*)б),(зг)константе.задачи:соотношениядляполо-положительнойсоответствиив—Соотношениеотдельноможнослучаенайденныхнаходятсяусловиядвеудобновторомдругойудо-нет.Действительно,рассмотретьбываетВогх(-),Лагранжа,множителямиэтом0-любойсредиегоВыписанныеПри^сихдопустимые2п.Аоиилирешениечтопоказать,Лагранжа.а0=га'..

.,т.е.нулю.Аослучаиположить1,условиямодновременнорассмотреть0,=экстремали,необходимымудовлетворяющиенегт.=9.§Эточастный—случай(з)ВключимТеоремаПустьсепарабелъноеR,—>I ^i(O)0,=1,0,АА.Ф(*.М)функцияаdomintе3tAx)S(a)-^dt-^и)(АТФ,п.х(\)=х{.х0,=оа{t2xж3/3+а?х)-dt-*extr.а—9.4.fFafox3)dt--^extr.о19.5.lt2x2dtж@)extr;-^хA)=0,=1.о9.6.[cos2tx2dt->extr;ж@)=0,ж(тг)1.=о19.7.(Р)f v^TftvT+~A2<ft->inf;Аfa:ж@)=—%х0,—>/^(t,внепрерывнаextr.ж@)%t5/д/<(*.?+mRGизмеримыхфункцииmu)9.2.[(x2+tx)dt^extr;9.3.[aсовокупность—9.1-9.7.-mf.=0.(з(а))sup=(/0(t,задачи[ (х3mзадач.19.1.иеГ},ЗадачиРешить0бесконечный),функциичтотаких,?сушаinf=^—>5(а)еУнепрерывны,любогодлято=ляпуновскихилипространство,и:на<)длят,.

.,<щ0,<«i{конечныйRтопологическоегgiравенством+вотрезок—суммируемы=+двойственностиАотображенийа(з(а))задачиWO)inf=когда&i(u(-))inf;->^-функциюS(a)9.2.1,п.задач&о(и(-))Определим(з)задачисемействовзадачи135Ляпуновские4.3.4).u(t))точке—>136Гл.ЗадачаI I.МетодомЛагранжаинайтидвойственностиоптимальноеуправлениечисленныезначения9.8-9.12.задачу9.8.(Р)о19.9.Jfy<ft->inf;х+х=х@)и,жA)=?.О,=-2dtуж@)inf;->ж@)=жA)0,=жA)?ь==6-оM!j*"9.10.(Р)d*->ж@)=0,inf;жA)=?(а>0,/31)>о(обобщенныйВейерштрасса;пример5.21,задачи5.25,|Ш5_<Й_>9.11.частныеслучаи:4пример5.3,п.9.5).(<р(*)^0),inf;ж@)=0,жA)=^(част-оныйслучай9.6).задача—ii\xdt9.12.ydt^inf;ж@)?,=жA)=0.=ооРешить9.13-9.16.задачи9.13.Среди[0,отрезкеограничивающих1],принимающихзначениянулевыенайтиплощадь,заданную#(•),функцийнеотрицательныхназаданныхнаконцахиминимальнойкривуюотрез-ограничиваю-(задачадлиныДидоны).9.14.(Р)ДоказатьКарлсона:неравенствоidtjiiместоимеющее<любойдля/гдеоо,R=х(-)функции(R+)ifR+,илиL^I),изтг2,=Кдля(К)=которой4тг2.1\х29.15.dt-+inf;п<ж@)х@)=0,=xоО <(задачао9.16.ссплайнах).(Р)Средиплотностьсrmk=l,.

.,m(jfeGR,1,<плотностейматематическимнулевым<..р(-)вероятностииожиданиеммаксимальнойдифференциальнойслучайныхдисперсиейзаданнойвеличиннайти(задачаэнтропиейШен-Шеннона).ихОтметим,ляпуновскойкчтобольшинствозадаче.задач§8можетбытьрешеносведением10.§10.1.Принцип10.1.1.(воптимальногопространствеуправленияПонтрягина.максимумаПостановкапонтрягинскойуправления137оптимальногоЗадачи10.§ЗадачиЗадачейзадачи.форме)КС\А,будемRn)КС(А,хоптимальногоназыватьRr)R2:хуправленияследующуювзадачупрост-&o(x(-),u(-),to,ti)^mf;(з)x(t)<p(t,x(t),u(t)),A)=u(t)%?VtА,B)е&i(x(-),u(-),to,ti)^O,Щх(-),i=u(-),t\)t0,О,=г.

.,га',C)1,=га'+ti,x(ti)),+11,m,D). .,гдеЩх(-),<),U)t0,=*o^г(*о»+АЗдесьRfi'.xRnxRrxxпроизвольноеR—вектор-функцияRr.изизодинЧастнымконцовво(to,t\)(#(•),Четверка(этои(-),(A,КСограничениеесли,типасмыследопустимогоB).процессом),если?t0,ti)-5?(х(-),<^о(?)to,^(х(-),==>0(х(-),tl)| c(A,R-)xR2&о@-ии(-),наТ).впроцессом(A,Rn),A)u(-)и?ограниче-допустимым,D).и(-),такое,—и(-)t\)to,называетсяоптимальнымговорятпроцессаи(-)связью,являетсяC)существуетуправляемоговчерезКС1?процессещеxзадача,связьпроцесс(илинеравенствох(-)соотношенияуправляемыйЫ'),выполняетсяуправляемымУправляемыйоптимальнымявляетсяуправленияесливыполняютсятого,t\,Rnxобозначатьсябудетдифференциальнаявключения<произволь-—переменной,дифференциальнойназываетсявыполняютсяи10.1п.управления,Rr)кромеДопустимый(локально)t\)R</?:непрерывностивto,оптимальногозадачеточкахмножествоto^:Rx^(з)га..

.,A,int?1,закреплены.называемоевсехt\0,=переменных,2 переменных,1 переменных,фазовойA),выполнятьсяинтервалеrзадачиназываетсяУравнениедолжно++rслучаемобадажеилих(-)управлением.2n+гto,отрезок,+nnВектор-функция?функциифункции—R—>—множествокоторойR—>RnxRn-^Rrxконечныйзаданный—Rnж(*о),вчтоt\),to,<дляS,сильномвсякогодлядо-которого138Гл.ЗадачаI I.10.1.2.ПравилооптимальноеуправлениеЛагранжа:функциюm\{У2,КШ,&=ирешения.1.Составить*iЛагранжаи)х,p(t)(x-ip(t,+^2\i l>i(t0,+u))\dtх,x(t0),+x(t\)),tuA(Ao,=Ai,Am),. .,г=0р(-)еКС1([г0,и],Яп*).2.Выписатьнеобходимыеоптимальностиусловияа)стационарностипохЭйлера:уравнение—?процессат|Ыг)Lx(t)+0J]=г=0лагранжианадля771I/V^Xifi(t,=и) +p(t)(xх,—(p(t,и));x,г=0б)трансверсальностипох:г=0терминантадлятг=0в)оптимальностиL(t,minпоx(t),x(t),и)ипринцип—L(t,=x(t),(,вминимумаx(t),x(t),u))форме:лагранжевой^^u)-p(t)<p(t,x(t),i=0вили(понтрягинской)гамильтоновойформеввидепринципамаксимума:тахЯ(?,H(t,x(t),x,u,и,p)=p(t))ptp(t,=x,H(t,u)x(t),—V^i=0—функцияПонтрягина;u(t),Xifi(t,p(t)),x,u)макси-=10.§г)Задачиt&:постационарностиуправления139оптимальногог=0г=0(условиеконцов);выписываетсястационарностид)дополняющейтолькокон-подвижныхдлянежесткости:\&г(?)0>=г1,=га';.

.,е)неотрицательности:>0,Xi3.Найтивыполненыдопустимыеравными0=т^Аоилюбойили0-иличтои(-),t\)пох1,(to,ТогдаGдляx(t\))t\,([to,функцииа)стационарностиx(t))\Rn*),неравныеJ?Лагранжа(п.похнекоторая—ф{,функцииаокрестностиА=нулю(Ао,Аьи. .,такие,условия:fx(t)=VteT,гдетг=0б)трансверсальностипов)оптимальностиf(t,x(t),-p(t)v(t,p(U)=-ТХ1;и:пои)х:=TX0,p(to)x(t),и)>f(t)-p(t)$(t)VteT,iточ-Эйлера:уравнениеp(t)+p(t)(px(t)Уt\]},выполненыпроизвод-частныев10.1.2)—управ-гдеЛагранжаодновременномножителиt\],[to,t Gих%,дифференцируемыгладкости).(условиенайдутсяКС1их(#(•),=оптимального(рУ{(t,непрерывнога,.

.,x(to),га,множествемножества0,р(')внепрерывны?Пустьзадачев0,1,. .,=ограничений.Понтрягина).процессгнаходитсярешенияснятияэкстремума.оптимальныйокрестностьправиломаксимумаfi,экстремальныхЛагранжаусловияфункциипроизводныевышепринципом(принципуправления,случаиединицеравнымдопустимыхописанноес—Аонет.решенияНеобходимыеto,точкичтосоответствии10.1.3.рассмотретьположитьконстанте.показать,Теореманеодновременноотдельнонайденныхсредипоказать,полномр(-),ивыпол-которыхдляАможнослучаерешениеМожно=второмположительнойга'..

.,процессы,бываетэтомдругойпроцессов1,ЛагранжаудобномножителямиВо4.ОтыскатьвсПринулю.Ао0,=управляемые2п.условиягVueW;Am),что=140Гл.ЗадачаI I.Лагранжаг)стационарностикtk,по-Шо)и+TXo(p(to)+k0д)дополняющей0,=управление1,/(*!)0,=оптимальноеTtl +TXl(p(ti)+0;=нежесткости:КЩО=0,1,г=га';. .,е)неотрицательности:>0,\i10.1.4.ДоказательствосвободнымсозадачидоказательствопринципагПонтрягинамаксимумаформулировкучастногодлядоказательзадачислучаяконцомизакреп-временем:x(t),t,u(t))dtx(t0)Теорема.(х(-),и(-))Пустьоптимального(з),похвнепрерывны{(?,множестваокрестность%гладкости),(условиеТогда^Уx(t))\выполняется%,х[to,t Gчастныеt\]},>f(t)-p(t)<p(t)р(')гдеединственное—GизRr.пои:произнекоторая—D(x(t\))VtGT,(усло-(l)VueW,дифференциальногорешение№+p(t)$x(t)краевымфоптимальностиусловиеУгдемножествопроизвольное—fx(t)=задачевпроцессf,(puuxфункциимножествеx0.=оптимальный—управленияпроизводныесдляисвободнымсозадачи—га'.. .,ПриведемПонтрягинауправлениязакрепленным1,принципаконцом.максимумаоптимального0,=уравненияvteTB)условиемр(и)Отметим,чтооказываетсяАоЛагранжамножительаединице,равным-ф/(х(и)).C)=условие88функционалеприока-x(to)потрансверсальностинесущественно.ЕдинственностьследуетКошидля<\элементрешенияизА)vG^теоремылинейныхB)уравненияисуществования(АТФ,системИгольчатыетакоемалоечислоЗафиксируема]~UC)условиемзадачирешения2.5.4).п.^0,УправлениеUa[краевымединственностивариации.исte[T-a9r)чтот^Т,точку[г—а,г]СТ.эле-10.§Задачи{игольчатой)элементарнойназовемxa(t)Пустьначальнымрешение—x(to)условием2.5.2)п.to,окрестноститочкиделенано[to,отрезкеопределяющуюэтуБ)фиксированнаяОt\].[гx(t)-aпри=We[to,ay(t)+y(-)элемен-аи(-)).иголкой.всемт-а],(г,Пустьv)числоGaиа(г;),(г,Парусуществуетлюбогодляна(ха(-),паравариации).Тогда[0, ао][to,отрезке—>аовыполненоt\];этомпри\ xa(-)-x(-)\\c{[t0,tl])^0rJt)VtначальнымtJ,[r,eпричем\г]-^-sup(ate[r,u]дифференцируемакусочно-непрерывнодифференциальному№[г, t\]наиуравнениюVte[T,t,]nTD)Vx(t)y{t)=условиему(т)ф,=ДоказательствотеоремыАТФ,теоремыначальнымданным.2Леммафиксированная(одифференцированияфактовлокальнойуравнений:онепрерывнойМынетео-дифференцируемостиихприводимотсылаяздесь,дифференцируемаИспользуя=/(г,х(т),отеоремуподзнакомv)среднемк/(г)-иа(-)).v)Тогда—фиксифунк-инуледляинтеграла?%{ха(-),—всправа(г,Пустьх(а)иголка,Хх(+0)<<v).основополагающихдвухфункционала).приращенииэлементарнаях(')изAip(r,=1.5.4.п.В)ф(т)-следуетипоv)дифференциальныхсуществованиярешениях(т),леммыобыкновенныхтеориифункцияназываетсяэлементарнойназыватьнаобразом+0;-^3) функцияудовлетворяетспроцессаичтоследует,х(-),(х(-),функцииопределена(АТФ,окрест-+0;—>2) xJt)0г]ТСначаль-некоторойвниже,элементарнойао,—ссуществованияаоха(-)Вектор-функциявариациейвариациейбудемua(t))единственнымиголка.ха(-)функцияа-^определяетсясвойствахxa(t)=x(t)приформулируемойэлементарнаячтотакое,следующее:1)вариацию,(о1Лемма1,ха(-)леммы(игольчатой)элементарной—>изx(t),^априи(-).управления(p(t,=теоремеопределенавектор-функциявсемэлементарной•))xq.=вариациейx(t)уравненияПолокальнойха(-)функциясамомуправления141оптимального-р(т)у(т).функций,числовыхилемму1, получимправило142Гл.ЗадачаI I.Х'(+0)=Лагранжах@)x(Q)limиуправление-(\f{t,xa{t),ua{t))db-lim=оптимальное+()Qt+()JQttoiflim=fЧт-аг{f{t,xa(t),v)Uf{t,f(t))dt+-xa(t),u(t))f{t))dt-t\/(r,=fxВыражаяизx(t),v)B)уравненияp(t)№)Г)Завершениееслииха(-)равномернооптимальныйприЩха(-),по/(г,ж(т),т.е.иа(-))хх(+0)2леммег;) -р(т)(р(т,Щх(-),>«(•))0,^х(т),выполняетсяизи1леммычтоследует,управляемый(х(-),и(-))>Х(О).хх(+0)Х(а)^выраженияпроцессдляопти-—^(г)ик10.1.5.А)ЛеммаVивмаксимумаW,еvслучае.КПустьподмножествимеетТогдаобщемпостроения.изамкнутыхкоторойнепустоелюбая(цент-пересечениевсехпересечениеком-—К,множествсисте-непусто.ОбозначимбаУтеТсистеме.система—система).{Ка}ае%р(т)(р(т)~принципаподсистема<<Т(т)центрированнойо(центрированная>утверждения{Ka}aeoiконечная>доказательствуВспомогательныекомпакт,v)A).соотношениеПереходимТогда\>\>О>асчтовытекает,системыкхх(+0)'длядопустимыйПосколькух(-).малыхр(т)у(т).-выражение—стремитсятопроцесс,Отсюдавпредставление.иа(-))имеемp{U)y{U)=Из(ха(-),тоD),dtдоказательства.[0, ао],еа(PiMt))искомоеф\х(+=\fxydtполучимdtуравнение\jt=значениеC)условияучитываяdtdtнайденноеучетоми\fx(t)y(t)+p(t)(px(t))y(t)+Подставляяf{r)-открытобачерезвК.ЕсликдополнениеР| Ка=0,тоКаQFаКвба=К\Ка).=К,т.е.То-{^j10.§естьоткрытоеЗадачиуправления143оптимальногоК.компактапокрытиеПоопределениюкомпактаможнотогдаf] Kaiттнайтитогдатакиеа\,|J Gaiчтоат,.

Характеристики

Список файлов книги