Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 15
Текст из файла (страница 15)
.,Gет. .,РассмотримRm+1:в^i(A),A,=Rm+1.вXj(-)Выберемслучая.Axj(-)чтобы1)0,. .,Фотображениерегулярногоti])Cq([?o,=J2чтоследует,значит,и,г=0г=0G5.1.3)=отображе-..где^(/30,А,•НетрудноAn)•,обмалыхВ'z.—+в,а\,г,ш.. .,0>обратноечтомалогодостаточно(А(^),=т,существуюттакие,любогодля/3(е)<з%(х(-)).=1.5.3)Квекторат)),а0(п.функциичастности,. .,г,=константаитакойнайдетсяФ~1((а01,дифференци-0 <6ц,=ат)aiФzг0,=непрерывно(/^ж,-(.))обратнойотображениемодулю=<ЩE-(-),(а0,=теоремегладкоегфункциичто=Ф@)ПоХ)^^(-))»+этомпри^gPпри#i(x(-)=проверить,идифференцируемы••••,Anf^)),чтопоР(г)=т.е.i=oj{e)xj{-))г=ait1,=m,..i=oиприэтомПолучилось,пространстве С1([to,что^i]))m+Si=o@j(?)xj(')ПРИкакционалапротиворечиюсвдопущением,любойбольше,допустимаятакчтог),маломдостаточноичемменьше,х(-)?х(-)функциифункцияокрестностисуществуетlocextr.для3^(х(-)).>(в(акоторойпространст-х(-)именнофунк-значениеПришликпротиво-+6.§6.1.4.задачи109ИзопериметрическиеПример.11lx2dt->extr;lxdtх@)0,=x(l)0,=1.=ооРешение.1.LЛагранжиан:2.Необходимоеусловие-jtLi{t)3.ЕслиэтомАослучаехА.=АтоСз-2А0х^всехнаходим1/2.=ТогдаНеизвестныеC3.+наАоконцахиВнули.—ПоложимCrf,+условий0.=Лагранжанет.C\t2=изА+множителиэкстремалейрешение:?2,0—Хх.+Эйлера=0=допустимыхОбщееd,константы0,=Lx(t)+Хох2=уравнение—констан-изопериметрическихусловийх@)х(\)\xdt=3,-2.=\(C\t20^^==0^С3=0=C2t)dt+0^^=+Т=°ТооВимеетсязадаче4.единственнаяПокажем,х(-)чтоДействительно,возьмемeC(J([O,1])допустимаяабсолютныйдоставляет\hdt0.==минимум.х(-);функциюдопустимуюихэкстремальх(-)тогда3t2Действи-—х(-)2t.—h(-)=Далее,о1li i2г•г••ог'•dt2^•\xhdt.О0000Интегрируяпочастям,получим1111j=fxdft-\xhdtx(t)h(t)=f tdt-6=0.=0000Таким&(х(-))образом,х(-).ции>&(х(-))любойдлягНетрудноSm-mчтополучить,=\x•2гфунк-допустимойdtFt=2J—dtооОтвет.Функциязначениеминимум;х=задачи6.2.Необходимые6.2.1.Теория.3t2Sm[n2t—=абсолютныйзадаче#тахчтоочевидно,высшихусловиявдоставляет4;порядков=идостаточныеусловия.%(х{-))Рассмотрим-+изопериметрическуюinf;$i(x(-))задачу=аг,г=1,.
.,+оо.ш;=4.?ПОГл.И.КлассическоеисчислениевариационноегДеtx&i(x('))=*0БудемдалееС2(%).классу(з)задачиЛос1,=x,x)dt,гчтопредполагать,принадлежат\fi(t>интегрантых(-)Пустьт.е.нейнаО,=1,fiC2([to,евыполненоm,. .,меньшейпоt\])мереэкстремаль—ЭйлерауравнениедлятLинтегранта/о=J2 ^ifi+cА^.Лагранжамножителяминекоторымиг=1Говорят,чтох(-)наЛежандра),выполнено(усиленноеЛежандраусловиеусловиееслиПриLxx(t)^O(Lxx(t)>0)допущенияхотносительнонашихVte[to,ti].гладкостиfiинтегрантов*i3?(х(-))функционал\Ldt=имеетвторуюФрешепопроизводнуювх(-):*°точкечA(t)где=x(-)ЕсливсзадачахLxx(t),C(t)locGLxx(t),=min<Г"(х(.))[х(.),Lxx(t).=по(п.равенствамиB(t)необходимому2.5.3)функциятоз,х(-)]условиюх(-)%'(Ц-))Ю]mf;-второгоО G=порядкаabs=minвзадаче0;x(to)=x(ti)=O.ПравилокприводитЛагранжа,множителей(Ах-j-gi(t)(неоднородным)уравнениемПустьТочкагнаСх++fiX(t).экстремалиhgi(t)h(t)dtчтонаесливсВх+Этодля+^ingi0,=(з)ж(-)выполненоинтервалеto.х(-)O,ж(-).экстремалиусиленноекесли1,=выполненога,.
.,условие(to,t\)(полуинтервалесуществуетнетри-Якоби,уравнениягЛежандра.условиеto,точкенеоднородного=(неоднород-называетсяуравнениенасопряженнойназываетсяГоворят,Сх)+Якобирешениесопряженныхприво-г=1=--j-fix(t)нетривиальноеЯкоби),задаче,уравнениюjmгдеэтойкпримененноеh(t0)Якоби=которогодляh(r)=0.(усиленное(to,условиеt{\)нетточек,6.§Дадиманалитическое[то,отрезкахт\],^о(^о)Hi0,=то(/цф j,i=hj(-)1;=Нетруднокогдат\0,г<1,hoга).
.,снезависимыточкаhj(to)Якобиhj(to)0,=сопряженнойявляетсятурав-ho{to)условиями=отрез-однородногокраевымиуравненияусловиямидлянарешение—неоднородногочтоточексопряженныхлинейнога,. .,Пустьt\.=краевымипонять,тогда,<1,=решение—игgi,<toЯкобиуравнениянахождениясредствофункциикогдаслучая,111задачиИзопериметрическиесj1,=итогдаО,=fij1,=га..
.,толькоматрицаho(r)hj,..тт\hog\dtН(т)\hmg\dt..=hogmdtdthmgr,..Jo4вырожденной.является1.ТеоремаПустьНеобходимые(з)задачевгладкостиусловиюслабыйfa(з)минимум[г, t\]х(-)толюбомпригVхгулярен?ЯкобиC3([to,иV),?задачиусловиеC2([to,?местоt\])условиелюбомна(з),доставляетрегулярности,[to,отрезкеI/интегрант/о=С+?Vидопустимойнавыполненырегулярности.функционалыПусть3/\линейны:=квазире-г=\(з)2.9/Пустьминимума.Тогдах(-)(з)функционалх(-)экстремалиусиленныевзадачедоставляетсильныйbix)dt,%i=1,.,?Лежандра,условияминимум.Теоремат],удовлетворяютсякоторойнасильного(t, х)всехt\])минимума.удовлетворяютга,.
.,Якоби.идлях(-)независимостиусловияR,1,функцийДостаточные=0,=имеетзадачиЛежандраусловияпригЕслиэтомэкстремаль—fa,C3(W).eилинейнойвзаключающеесяслабогоусловияинтегрантыквадратичен'.га,ми-112Гл.И.причемфункциифункцииЛежандраВо,Ь\,иЯкоби,т.е.нижняяграньЯкоби,тоАо,а\,.
.,атЬт. .,условиеиравнаэкстремальабсолютныйминимум.еслиестьнеусиленноеусловиевыполненоусловиетоточки,сопряженныеЕсливыполненоусиленноеусловиеединственнасуществует,иПример.\jxdt;2-?2)d?^inf;2.Необходимоеусловиех@)O,=0.=Лагранжа:множителейправило—х(Т0)=+хх—0.=3.ОбщеерешениеAsint=t\)оо.—оо-АвыполненыТогда,допустимаядоставляетдифференцируемы,непрерывнонепрерывны(to,интервалезадачевисчислениевариационноерегулярности.в6.2.2.Классическое+допустимая1). Средиx(t)—экстремаль4.Применяемвыполнено:ЛежандраЯкоби.УравнениеРешениеho однородногоЯкобиh\@)2=0экстремалейздесьсho(O)ho(t)H(t)hi(t)имеетsin\h\dr1t1=сестьусловиямивидcostsinttcos—условияРеше-ho(O)0,1 =0ж+H(t)Матрицаrhodr=+жtt=УсловиеЭйлера.уравнениемусловиями1.—2).(теоремаПроверимуравненияcost=имеетсявыполнимостьсовпадаетсестьx(t)естьвсегда6.2.1п.0.>неоднородного=0=0.уравненияh\@)=х@)условиемусловияAqh\сдопустимых=достаточныеРешениеsint.2п.уравнения(costВ1—t—.00Такимобразом,detH(t)кОтвет.0=абсолютный2=Ближайшая2cost-нулю-tsintчтоприонидоставляют2тг=0;=Ток(f-f)dtееможноисследовать=Sm-m-+inf;методамиМожно—оо.=у@)Csint=0.заменойп.7.2.2.=у(То)=показать,x(t)уу@)=0х,=производными:у@)х(-)2тг<абсолютвид=задачустаршимиТоприимеютоачтоSm-mминимум,задачеtgt/2.=2тг.=экстремалисоt/20,доставляющая2тг>уравнения=следует,Рассмотреннуюсвестиsint/2<^>t\6.2.1решенияэкстремаль,придопустимыеабсолютныйПримечание.можноп.допустимаяSm-mТо0точка:2теоремыминимум,это—=сопряженнаяИзединственная—точкисопряженные=у(Т0)=0,изадачи113§ 6.ИзопериметрическиеЗадачиРешитьизопериметрические6.1-6.17.задачи11гг\х6.1.dt—>extr;\xdt(~\~\~VP»"V"j~T*Т->extr;\txdtdt-^extr;ltxdtdt->9Г3dt-^extr;\xdtdt—>extr;dt-^extr;\xx@)0,=х(\)=0.1,=0о11гг\6ОHf*/'/У'^TIО=0,х@)=O,x@)1ТI1|f\|JJОО116.3.\x2dtхA)=0,1.=0о116.4.\х2жA)=4.-4,=0о1116.5.\х2extr;[xdt=l,О00[txdtж@)O,=жA)=0.=111Г6.6.\хГ=\txdt—-,=—2,ж@)1,ж(тг)2,=ооо7Г7Г6.7.i:2жcostdt=—,sint dtx@)==1.—оо6.8.[i:20,=ж@)ж(тг)=0,1.=оо|6.9.t dtsinж\x2dt=—,extr;^x@)ж(тг)0,=тг.=отгтгтгГГтгГ±2dt^6.10.pcostdt=-;extr;psintdt=2,+тгooox@)ж(тг)2,==llniln'tпгf^^vi~T*?n'tnrpp—nr\Ii7»[/—Г)i/p—JJоо\x2dt^6.12.[\xжetе*dtextr;о[(i;2(P)6.13.оо+x2)dt->dtextr;=x@)x@)0,Let=0,жA)B.M.Алексеевидр.1.2dt=^^,x@)8==0,—I—I0.114Гл.6.14.\(x26.15.(P)И.Классическоеx2)dt+->\xe~lextr;dtr—>ldtЪ^=fxtr;6.16.исчислениевариационноеж@),xB)1,=О,=2.=extr;llll[i;2dt^(P)6.17.[x2dt=l,extr;ооВ6.18-6.25задачахнайти6.18.ж@)допустимыежA)=экстремали.\xcostdt=l,xtr;0.=x@)ж(тг)=0.=отг/26.19.отг/2[(х2Jextr;=1,х@)I,х(-Т0)х{^\=О0.=т0[(Р)6.20.(задачаxdt[extr;-+-т0у/1х2+dt=х(Т0)=О=Дидоны).т0[6.21.ху/\+x2dt[;ж(-Го)1Iх\±26.22.=х(Т0)0.=1dtextr;-^оо[xidt=l,xi(O)xi(l)=0;=1x2dtж2@)=0,O,=ii.23.[х1Х2dt[te]extr;-^(it=[tx2dt0,=ж1@)=х1A)=х2@)=0,6.24.\(x\+ж2)(it—>¦xiX2(it=0,extr;ar,(O)=a:2(O)=O,ar,(l)ж2A)1,==-3.16.25.dtextr;Г4\x\X2dt=J5=ж2@)—-,=ж2A)=0,=2.7.1.старшиминазываетсязадачи.взадача=xk,Rn+2L:ЗдесьназываетсяR—>интегрантом.A)условиямБудемконцах\ х(-)ЗГ{х{-))ибудемписать7.1.2.Правило4.Доказать,экстремалей, илипох,то8*9/уравнениееее<^(Rn+2),х(-)функцияке.(з) п.Эйлера-Пуассона:видурешения7.1.1.Эйлера-уравненияизоднаУ/L:функциейгладкости),вместедопустимых^Rсоэкстрема-доставляетпроизводнымиx(t),x^n\t)).
.,локальный(з)вяв-интегрант,—своими(?, x(t),производнымиследующеедопустить,з).maxнет.Эйлера-Пуассона.старшимивыполненоЕслиполучимеслисофункцииуравнение—являетсяU].Тогда,задачеt\]),х(-),ЗГ{х{.))),<т.решенияПустьнепрерывнойх^(условие. .,[t0,(з)вCn([to,условиями.решениемчтоУравнениех,на-неравенство(locзLдопустимыми.допустимойпривестикраевымичто7.1.3.е.экстремали,заданнымипоказать,Теорема.являющийсядоставляетвыполняетсяminусловиедопустимыесх(-)пространстве{^{х{-))locGт.задачу,необходимое3.Найтиудовлетворяющиерешения.2.ВыписатьПуассона?i]),называютсялюбойS,1.A)0,=Функциявдля<ЗГ{х{.))х(-)>1.ФормализоватьVteчтоэтомприCn([?o,{максимум)х(')\ съ([ьо,и})—переменных.Gextr;(з)->jфункциядопустимаяминимум5 > 0 такое,существуеткоторойдля2t\],dt1,n-+nt\]):ж(п)(*)). .,х(-)[to,отрезкачтоговорить,локальныйслабыйеслина1,функцияФункции—Cn([to,.
.,0,=исчислениивариационномx(t),fcпроизводнымистаршимипространствеx(t),?,соклассическомвследующаяпорядка.Задачейконцами)закрепленнымипроизводнымипервогоусловиеПостановкапроизводными115старшимисоНеобходимое7.1.1.(ссоЗадачи7.§Задачи7.§%eвэкстремумCn([to,пространствеt\]),уравнение:чтоЭйлера-Пуассона.Lx(k)(•)GCk([to,t\]),k=0,1,.
.,n,топо-116Гл.И.А)<\Дифференцируя5.2.3,КлассическоеОпределение6.1.3,такинтегралакакже,Дифферен-этомывделали5.1.3,пп.формуле:следующейкприходимЛагранжу.повариациизнакомподисчислениевариационноек=0Б)Усиленная([to,Се^t\]),О,=Дюбуа-Реймона.леммак0,=j1,0,=1,n. .,1,—га^(-)Пустьлюбойдляип,. .,х(-)функции0,=1,Cn([to,евыполняетсяЕt\]),равенство\^)A)t0Тогданаап('),^[to,отрезкеt\]дифференцируемынепрерывнофункции+an_i(-)-^ап(-)выполняетсяравенство(•••(—(—an(*—Рассмотримуравнений:<<дифференциальныхследующуюизсистему-ро-_pn_iB)Системалегкосопределенамногочленсрешаетсяуравнений,интегрированияначинаяточностьюа0an_i0,=0.дифференци-интег-последовательногоПрипервого.многочленап—pn_i(«)функциидлярп_\(-)функция1.
Подберемэтомстепеничтобыобразом,=помощьюсдотаким+рп_2-+линейныхпэтотвыполнялисьсоотношения*i-r)k{pn-i(r)an(r))-dr=k0,0,=1,n. .,-C)1.*0Рассмотриму(-),функциюформулепоопределяемуюt\{tT)n"'(Pn-i(r)~-ап(т))dr.чИзy(k\to)=O,иk=выполняется0,у(-)функцииопределенияk1, . .,n—1,=0,I,т.е.соотношение1.п-. .,у(-)A).чтовытекает,еТакимCffdto,Всилуt\]).образом,у^п\-)условийСледовательно,рп-\(-)=C)—y(k)(h)=O,дляап(-)у(-)Задачи7.§со117производнымистаршимиt\Пk=0J(k=0t0ЗаменяявB),мыпоследнем(-)интеграленаихизвыражениясисте-получимсистеfc=ofc=oк—Оt0t0Учитывая,последнегоy^k\t\)чтосоотношениякО,=0,=n.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
