Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

.,итакие,глад-Аш)ичтор(-)?для8.§г)стационарностиЗадачаЛагранжа127?&:поJ?tkд)дополняющейfc0,=0,=1;нежесткости:КЩО=0,1,г=га';. .,е)неотрицательности:>0,ХгРассмотрим<следующуювнеравенствФОтображение?причтосогласног(з)YSиэкстремума.Убанаховых^ФивытекаетизАТФвдоказана(§2.4).(ft(-),=v(-),ЗамкнутостьgУri)r0,образаФх(^Jобразу(.)С(А,—линейных—=Фх(^)г;(-)сС1 (A,0,=1,га,. .,$u(t)v(t),вместовг\==0.произвольноеУравнениедифференциальныхкоэффициентами.силутеоремычтотого,силувзяв=непрерывнымиRn)гимеетДействительно,0, tqлинейныхп2/@Y.сположимсистемеh(t)<fx(t)hрешение/i(-)жеH.отображенияRn),эквивалентноGсовпадаетпросто=1.1.3).Тампроизводных:для-г]утвер-(п.пространств(ti)^i)n,гдедлявыпишеминеравенств,условияпространствRn).Лагранжапринципиравенствнеобходимые(A,С=(з).задачевыполняетсяпроизведенияотображенийформулыполученыиравенствга.. .,пространствовтипабанаховости1,+минимумбанаховостьГладкостьга'=действует2.3.3п.теоремеотипаограничениямивограничениямиДействительно,утверждения=0,задачидлясзадачсга'..

.,Ф@=0,г=1,. .,га',(?)локальныйПокажем,1,задачуэтомдоставляетгладких0,=S:пространстве^0(O^inf;^i@<0,«^г@ТогдагуравненийОноимеетсуществованиядлясистем.ТакимСогласноу* G Y*,Лагранжаобразом,этойвсе(з)равные2.3.3п.теоремынулюитакие,Со-выполняются.ЛЛагранжамножителинеодновременнозадачиусловиянайдутсятеоремечто=(Ао,для.

.,функцииАш),128Гл.ЗадачаI I.=J?(x(-),A)у\;Лагранжаu(-),иА)U;у*,t0,оптимальноеуправление=Z(t0,+выполняютсяусловия=узр-1ттДляJgx&иинеотрицательности.0а)??tkРасшифруемq(t)0J^w=0,1,=чтопокажем,условие0равенствов),эквивалентноаизг).следуетусловие.ifстационарностипоИмеемх.Xifix(tyZ=б);ик3?tk=0,теоремыэквивалентно=0,=доказательствасоотношениягде0,нежесткости=х(Ь)tuстационарности^=0^^Д,дополняющейx(t0),г=0t0г=0Определимр(-)функциюусловийиз{)A)ВсилуКошидляопределяетсяaтеоремылинейнойнеоднороднойнашимиRnG?/(•)поGСC([?o,ti],Rn)можнозадачирешения(АТФ,однозначно.другойр(-)2.5.4)п.стороны,однозначнодляопределюбыхфунк-определитьусловиям/i(t)НоединственностисистемыусловиямииhфункциюисуществованиявтогдаA),силу\{p(t)h(t))'dt=B)(px(t)h(t)/i(f0)2/(t),a.B)=имеем-p(to)h(to)P(U)h(U)=+=\{p(t)h(t)+p(t)h(t))dt=to?ito+q(t)h(t)Выражаяиз+p(t)(px(t)h(t)g(t)/i(t)dtсоотношенияпоследнего+ипо-подставляя*0лученноетождествоввыражениепоаеRnи0=у(-)-\p(t)y(t)еусловиепостационарностиС([?о,U],dt+Rn):(у*,2/(.)>+х,получимтождест-8.§Отсюда(у*,чтоследует,ЗадачаЛагранжа129у(-))\p(t)y(t)dt,==p(t0).lx^Такимобра-*Ь??зом,??=г)условиезначит,и,Расшифруемтеперьусловиевыполняется.постационарностиучитываяи,у*:видi=0toVv(-)eC(lto,h},Rr).Отсюдаполеммеусловияв).>8.1.4.(п.Дюбуа-Реймона5.1.3)вытекаетсправедливостьПример.тг/2и2dtextr;—>+xхх@)и,=х@)=х(=0,—)\.=оРешение.1.сделавПриведемпеременныхзаменукзадачух\х,=Лагранжазадачивидух^п.8.1.1,х:=тг/2и2dtextr;^о±1#2,=Функция^2^=Х\@)^ь—Ж2@)=0,=Лагранжа:тг/222.Необходимыеа)система(х\б)Эйлера+Ж1-гР2@)A,,=0,поЕсли9В.М.Аовнули.—Алексеев0,=значит,и,1, 2идр.тохАо^х2=-\-р\{х\—Итак,для=0,+р2-pi-р2-Р\=0;ZтерминантаAiXi(O)=+и:=из0в)2А0г^^^при==0A20.=чтоAiАоР2-следует,б)условиясилу«=^А2,=LuЛагранжаLлагранжианадля=постационарность3.+и):=0,+LXiPi(O)=u))dt-^^^^трансверсальностьв)+Ж1условия:L!bi-—+Рг(^2уравнений^27х2)-р2=допустимыхA30;==0изтогда—всеэкстремалейа)=р\множителинет.130Гл.Положим+ЛоР20.—С"=1/2.=ОбщееsintИзCtf)изsintр2(тг/2)изаданныхная(#(•),пара:4.и(-))сabsGх(-)ж=+^(х(-)х(-),+хtsint,х@)хС%—Значит,решение:С^+р2р2подиф(С\получилиС\,=+определяютсядопустимаяэкстремаль-I.)^ж@)=^(«@.-=Общеенепосредственнойфункциюх(-)быладопустимой.и(-))тг/2]),«(•))+р2уравнения:С cost.образом,cost.cost—такиеС2([0,«(•)С=чтовытекает,тоЕдинственная(\тгтг+0,константы—и(-)еИмеемж.-\-помощьюх(-),-\-функциюЭйлераТакимcost.концах.Возьмемmin.(х(-)парана=управление=Неизвестныеи(-))ПокажемС=хуравнениеcost.оптимальноеуравненийдифференциальногоэтогоПосколькуcost.Сзусловий+исистемыстационарностидифференциальноег^ЛагранжарешениеС+условию+ЗадачаI I."(О)управлениеДляэтогож(тг/2)=(#(•)>чтопроверки,и0,=ии(-),чтобынадовзятьуправление=тг/2тг/2тг/2[2=dtии[ г^2+000Интегрируяпочастямвх(-)функцииконцахитг/2й(жх)+последнем(жй+их=йж)—f 2(ж2>х)+dt.условийучетомнаполучимтг/2тг/2dtсинтегралеи(-),управленияdtdtтг/2тг/2=\+ш;—(иг?)ж+dt0.=оооТаким^(х(-)образом,(х,следовательно,и)Gпоследовательностьгдеж(-)x(t)(например,х(-)=t2(t=—пж(-),+тг/2J,г^гхп(-)тг/2])Cq([0,изж=+^(х(-),^Действительно,+оо.=функциянекоторая—и(-)-\-и(-))5тахmin,хп(-)парх(-),-\-absж);и(-))й(-)=после-пгх(-),+чтотакая,г^+ж^(хп(-),тогдаследова-и,возьмемжип(-))=х^0-^+ж,(на+оо.ЗадачиРешить8.1-8.21.Лагранжазадачи18.1.m2dt—>extr;x8.2.\u2dt-^extr;ж8.3.[^x2dt->extr;ж—--х=и,х@)ж=гх,х@)ж=гх,ж@)=1.=1,=ж@)0.=жA)shO,=0x(l)ch1,=chl+shl.=ch18.4.\u2dt0x(l)=shl,-^extr;x-х=и,х@)=х@)=0,жA)I +sh1.8.§ЗадачаЛагранжа131тг/28.5.u2dtextr;—>х+х=и,ж@)х+х=и,х(О)и,x@)=1.=О,=x(-)отг/28.6.lu2dt^extr;ж(|)о=1.тг/2u2dt8.7.extr;—>j\-\-xx=•"х(=0,/\7Г/28VI0iIЬ»О\ГТГ'ПГ*+ж2(О)/itO^I ПГ*IIlI7Г/28.9.о[ г^2^^extr;+жхи.=тт/2 /8.10.о[ u2dt+x2(O)u2dt+x2@)extr;-^жтг/28.11.07Г/28.12.[-018.13.\u2dt+i:2@)-^+x2@)^extr;extr;x-x=u.x=u,оl8.14.\u2dtx-x@)1.=оl0тг/28.16.u2dt+@)xextr;-^ж+x=x+u,ж@)u,О,=оl8.17.Ux2-\-и2)dtextr;^x=x(l)=1.оl8.18.Ux2+о9*2^x2)<ft-^extr;ж=^-+гх,ж@)—^о=1./)=—{'132Гл.ЗадачаI I.В8.208.19,задачахопределениявсехЛагранжаивыписатьнеизвестныхоптимальноеуправлениеиэкстремалиуравненияОпределитьконстант.опреде-длядоставляемогохарактерэкстремума.1\(х28.19.+и2)dt->extr;x+и2)dt->extr;x+V2x=и,х@)\/2х=и,х@)=1.=1.о18.20.\(х2-от8.21.\u2dtx2(T)+^extr;+жжж@)гх,=1.=оВ8.238.22,задачахнайтидопустимыеэкстремали.тг/28.22.[и2 dtх@)+extr;-^+жжж@)гх,==х(^0,о1\(х28.23.(Р)у2)+ЭлементарнаяRr,[to,t\]xRr=\ip(t,u(t))[to,t eи(-)t\]найтибудетидляминимумаввыполненозадачеt\]->u(t)inf;а)ty/.Если(з),тоt\],Rr):W,(з)управления.(з)задачирешения(p(t,min=следуетприи).(*)(*)Соотношениедостаточноеназовемпринципомэкстремумаусловиевэле-управления.Пустьфункциядляe([to,чтооптимальногоТеорема,[to,u(t))иКС1пространстве(з).задачеxdtu(t),решением.О,множествопроизвольное—оптимальноготакое9.1.3.НеобходимоеэлементарнойвДля(p(t,вПустьЗадачарешения.=управления.%задачей9.1.2.Правилож@)1,=задачиR.-^элементарнойназываетсяух-оптимальногозадачаf(u(-))Этоxyзадачи.(p:каждомextr;Ляпуновские9.1.1.Постановкаиз->9.§9.1.dtи(-)любой(з)задачевфункцияточкинепрерывностисоотношениеmin(p(t,и)=(рнепрерывнаабсолютныйдоставляет(p(t,u(t)).A)минимумфункциии(-)9.§и(-)б) ПустьвыполненоA).Замечание.терминысуществуютВследствие(p(t,S(t)(p(t,<v=9.2.Rr,из—тгсм.+1,Аu(t)5,—u(t))tприXгзаданныймножест-произвольное1,т!.

.,иXд^\аффинныеПравилоeК(АТФ,управлениядо(х)+гu(t)eA,задачей.ляпуновскойdt9i(x)\.(з)+xu(t))=mнимфункцию2.Выписатьнеобходимыеа)принципЛагранжа:г=0условия:поминимумаиих:тт\min\fi(t,и)=\\fi(t,г=0г=0minУ^А^Дж)г=0г=0=1,линейныесводятсярешения.Составить+. .,m,W,4.3.1).п.inf;-+\^А^Дж);(**)u(t)),(*)—>гдлямножество.\fo{t,=\fi(t,u(t))dt1.ичисловойотрезок—пространство,0,=выпуклое—J1=0'оптимальногочтоминимальнос-задачу=(в5],ф А+ти(т)).задач.линейное—для9о(х)9.2.2.[г=(p(t,—>(р(т,>%XR,—>Сt<вопреки—бесконечный),Rrт,Асуществу-v)и=4.3.3).АПустьвыпуклые.

.,v)ляпуновскихзадачи.Axf(u(-))(п.дляилиЭкстремальнуюназываютАТФвЛагранжа(конечныйfi'.функции,прямой(p(r,очевидно.случаеПостановкавсюду».u(t)Положим<непре-Пусть(p(t,—>верточки«почтиинтервалf(u(-))Тогдаб)ПринципtА.t eоказываютсялюбойчтотакие,такойприА.t Gизмеримом9.2.1.Ru(t))б),ипротивного.%?vнайдетсяУтверждениеОб-^г)приu(-).множествоиз.«дляиотфункцийточкиv)минимальностиа)непрерывна)непрерывностиокрестностиа)«измерима»утверждениеи(-)minитерминыи(-)непрерывностиabsаналогичныенаДокажем(гдегточках?«кусочно-непрерывна»заменить<\ви(-)ТогдаУтверждения,еслинепрерывности»=икусочно-непрерывнасоотношениеверными,задачи133Ляпуновскиезадачи=134Гл.ЗадачаI I.б)дополняющейЛагранжаиоптимальноеуправлениенежесткости:K(&i(u('))9i(x))+0,=1, .

.,т';г=в)неотрицательности:^0,Аг3.НайтидопустимыеравнымиАоединицеравным4.ОтыскатьилиCi)Задачаinf;u(t)&(и(-),х,А)->inf;xeA.(з2)=mfнев)чтоотображенийвыпуклыеСАXрешениемп.АьАш). .,задачуA0,=1,какмыxRrЛагранжа§ 4).вRнепрерывные,—tЕслиfa(t,—>чтоu(t))(и(-),х)паранайдетсягсум-являетсяненулевойвыполненыАвектора)-в)соотношения9.2.2.ненулевой(Ао,вектора)-в)соотношения9.2.4.Теоремап.(и(-),Еслиусловия.Аь9.2.2,Аш),. .,тоАо(и(-),^ 0, такой,х) ? absЗдесьдвойственности.х)мыУ?Ахичтоminсуществуетвыполняются(АТФ,зп.себяограничим=АФ))dt\fo(t,u(t))dt^M-(з)<0,и(-)?У,г=1,.

.,4.3.3).задача-вида^o(u(-))=измеримыхфункциитодляаффинныеисовокупность—которых9.2.1,п.Ci),дляпринциписследовали—>т1. .,Утакой,Достаточныезадачамиэтуfa:гусловия.(з)задачи(Ао,иное,А.наНеобходимые=чтоминимумаусловия.выпукло,для%,—>управления.принципдостаточныедляи:суммируемыточностивфункцииАне—Пустьт,.

Характеристики

Список файлов книги