Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

5.5.1задачуVte[to,ti].каквданосильногодляп.5.6.2.)Фор-минимума.оптимальногозадачунеобходимоевыполненоRn,GбылоВейерштрассафункцииУсловието1втеоремедоставляетх(-)еслиуправленияi\L(t,х,и)dt—>inf;х=x(to)и,=x(t\)=x\.хо,(зх)*0Изследует,чтох(-)чтоусловия,пара(х(-),сильныйдоставляети(-)),гдеu(t)=минимумx(t),являетсяв(з)оптимальнымп.5.5.1,152Гл.ЗадачаI I.(зх).впроцессомЛагранжаСогласноодновременнооптимальноепринципуинулюА2р(-)ичтотакие,управлениемаксимумаАьАо,ЛагранжамножителииПонтрягинаКС1е([to,Rn),неравныеЛагранжафункциидлянайдутсяt\],*iJf\(X0L(t,=и)х,(p(t),+xи})-dtX\x(t0)+X2x(t\)+*oвыполняютсяусловия:а)стационарностиб)трансверсальностив)оптимальностипохпоЕслиАо0,=х(-)чем(п.з,0=условие(р"@)0.^В(п.1=былоТогдаLx(t)=Посколькуt\],Rn)вфункТогдануле.переменногочтопоказано,Эйлера5.5.1)все1.=p(t)иодногоуравненияэквивалентноусловие5.2.3п.что—Аоминимумфункциивыполнениюб)из^([to,GлокальныйимеетаПолагаемх(-)минимумаи0,=0.в) с АоВейерштрасса.Лежандра.функцииусловиюравносильновтороеиАж(-))+фусловиеусловиемлюбойдля3?(х(-)=условиекакиным,тонеобходимому2.6.1)(р'@)поXoLx(t)\=—А2;=рАоиЭйлераmin(р(Х)функцияЗначит,Lx(t),=Уравнениеlocчтовытекает,нули.p(t)неGв)из—чтооказываетсяатоЛагранжаследует,Б)рp(t\)Аь=^множителив)p(to)х:м:X0L(t,x(t),u)-(p(t),u)изЭйлера:уравнение—попервоех(-),функциинафункцио-неотрицательностифункционалацJ?,где__A(t)x)Ln(t),=абсолютныйвминимумПосколькуС1пространствахможнови(з/х)КС1вкотороеRn<^>на0абсолют-доставляет0.Утверждение=0(з/х)(ибо—вх(-)выполненокБ)неравенствудоказано.силупрост-функции1.4.3),п.Значит,вминимумыкусочно-непрерывнойуАТФ,см.ис-вариационногоабсолютныесводитсяслучае^x(tx)=классическогозадачеэкстремалиданномA(t)=Rn).минимум.(з/х)x(to)inf;совпадаютсильныйиt\],углы»задачиdtLxi(t),х(-)чтоинтегрантом«сгладитьдляGнепрерывным-+С1 ([to,простейшейвсх))задачепространствеисчисления=(Вх,+Lxx(t).=означает,Ж(х(-))вх)C(t)B(t)ЖНеотрицательность2(Сх,+х(-)тоужедоставляетдоказанногоА)п.Вейерштрасса,условие(A(t)u,и)^0УиG10.§В)УсловиевыполненоЯкоби,h(r)вытекает:^h()как0.h(r)=с0.=линейногооднородногопорядкавы-нетривиаль-h(to)h(-)второгонеимеетсякоторогодлярешенияуравненияЯкобиусловиечтотакое,нетривиальностидифференциальногоТакt\)уравненияизнаконец,(to,Gгh(-)чтоПусть,и.существуетрешениеОтметим,управления153оптимальногоЯкобинетривиальноеЗадачиh(r)условием0=Положимудовлетворяет{тtG[t0'T]'уравнениюЯкоби,тоТJT(/*(•))=*0Таким(нарядуИсновар(-),h(r)t >Тодоставляетh(-)).экстремаливектор-функ-непрерывная^0.могутвыведеныLиLxидопущенииLусловиявыполняются,=^>h(t)0.=обладаетМыгладкостивыполнено.иинтегрантавыводились$/,вЬц(-),ЛежандраусловияLxi(-)еслииLix(-)ичтоЗадачаБольца.3${х(-))допустить,Пустьlb(t,=экстре-dt—U],Rn).C3(^),Gпред-x(-)Gзадачевх)х,приЯкобиС1 ([to,eLeC2([t0,U],Rn).10.2.2.кпришлиЯкобиусловиеВейерштрассаусловиеC2(W),условияЯкобиутверждения.непрерывныe=усиленногообразом,доказанныеЭйлераУравнениепредположениях:0какойприA(r)h(r)откудауравнения=ТакимОтметим,бытьh(r)=0,=из-заh(-)решениеh(r)р(т)тообратимаh(r)ибоЗамечание.0,=А(т)чтопротиворечию,приВсе(кмаксимумаh(t)тестьсвойством,экстремалиh(-)(з/х).в0.=чтоозначает,минимумнайдется(ибо0=Лежандра).темdtкоторойпри^=>этоh)Bh,+сильныймаксимумадляПоскольку0а0)принциппринципувектор-функция0,=х(-)C*h)'+ct+=применяемСогласно=Jff(h(-))образом,сфункцией\(-(АК+l(x(t0),x(U))-^inf*0(УеGC3(f),Gloc9/L:интегрант^(R2n))min-+R(ty?удовлетворяют1еС2(У).з,товыполнены:e^(R2n+1))иследующемуТогда,еслиеC2([t0,h],Rn)R-^Lгладкости:условиюх(-)УI:терминантих(-)ее154Гл.ЗадачаI I.а)системаLx(ti)б)условиев)еслиудовлетворяетсяточек,г)есликвадратичнаятоР(х0,=х\)Hi(-)5ijl,1О,(to,t\)нетх\)(хо,хо)х\)],(C*(ti)xuxx)краевымиусловиями+ЯкобисКронекера),символ—Якоби,иHi(Hx(t0)xx),EijЛежандраx(t\))[(xo,уравнения=удовлетво-тоинтервалеусловияl"(x(to),=+jг,условиягдеQ,++решения—и1;вусиленные(A(to)(Ho(to)xo-0=Лежандра,условиеРформаxi)О,=которомуудовлетворяютсяQ(xo,(A(ti)(H0(ti)x0Lx(t)+to',с=Lx(t)—О;^согласносопряженныхуправлениегусиленноеЯкоби,условие—Lxx(t)местооптимальное(—\)г1х^,=ЛежандраимеетиЭйлерауравненийтрансверсальностиaЛагранжа(C*(to)xo,-Hi(tj)бытьдолжнаx0),=неотрица-неотрицательна.вв)(з)а)Необходимость<\инемедленновыполнены=т.е.<l>(to,0,to)Якоби,условиеHx(t)/.=Ф(?,=образомсхх)хо,Ho(t)xoусловиямихх)),хо,=\с(t),LxxПоto)решенийуравненияФ(?о,выполнено0,=/,Hx(tx)Ho(tx)ПоложимАналогичным0.решениемуравнениягХг,=—усло-tx]./.==будетхх)хо,^о)усиленное(to,t Gпри=условиюВычис-0,1.=где((Ах,АчтоHx(to)Ho(to)+ Hx(t)xxx(U,Щ:г).условиямневырожденаТогда=Ф(-,матрицуб)необходимостьЯкоби.иудовлетворяющуюматрицукраевымиЖ(х(-,ВычислимЛежандраto)to).to)<&(tx,x(t,Тогдаусловиятого,Ф^,построимЯкобип.Вследствиематрица10.2.1.теоремыфундаментальнуюрешений,матрицуп.5.1,ДокажемвустановленаусиленныеРассмотримЯкоби,былаизследуетх)Ьхх=2(Сх,+(t)х)Lxx+(Вх,+(t),х))Bdt,Lxx=(t).Имеемtx\(Bx++Jtox)Cx,dt=(Ax+x)C*x,=P(x0,xx).4Всилучтотого,длях(-)всякогоGС1 ([to,tx],Rn)должнобытьвернонеравенство-))приходимкг),о+Q{x{t0),х{П))={Р+Q)(x(to),x{tx))>0,10.§10.2.3.Задачиуправления155оптимальногоИзопериметрическая1теоремеоптимальногоФормализуемнеобходимостьДокажемзадача.6.2.1.п.(з)задачу6.2.1п.каквопти-задачууправленияггIIгФункция/о(?,1,=и)х,dtхга,.

.,fi(t,inf;—>x(to)и,=и)х,dtx(t\)хо,==х\.=Лагранжа:[ЧгдетLV^=L\fi,L=p(i?+u).—г=0Выпишемнеобходимыепринципомусловиясоответствиивминимумасприн-максимума:а)уравнениеЭйлера:-ftlx(t)+Lx(t)=O;A)б)условиятрансверсальности:p(to)=eo,в)оптимальностьпо(L(t,minC)Изиp(*i)x(t),Ферматеоремы-6>,;B)=г^:и)ри)—L(t)=рх.C)—чтоследует,p(t)=Lx(t).D)ЕслиАочтодопустить,0,=тоA)изD)иполучимг=1т.линейнуюе.функцийзависимость/гяг(^)-^Новусловиях0,=г1,=ЛагранжамножителиутверждениюпринципаиВейерштрассаиC)длявC)необходимостьПрименимбесконечномернойги,оказалисьp{t)нулями,чтоD)учетом(з)задачидоказываетАоприводят6.2.1.п.Лежандра.условие^m..

.,линейнаяихзначит,Значит,с1,=оговоренат,. .,максимума.A)ТогдапобылатеоремыА^откудаfix(t),+=независимость,0Oq^=>=в\противоречит0икуравнениюВсеутвержде-можноДвукратное0.=считать,ЭйлерадифференцированиеОсталосьАочтоиобосновать1.=условиюнеобхо-Якоби.условияотеоремузадачинеобходимыхсравенствамиусловиях(п.второго2.5.3)кпорядказадаче(з)дляп.6.2.1.156Гл.ЗадачаI I.Всоответствиивзадачеэтойс(з)вUcLi(t)x4ВLxx,=Допустимdt2Сжж+t\),доставляетминимумследует,Вх2)+x(t0)0,=/i ,СLxx,=dtx(t\)=чточисленное.

.,ra,inf;->0,=i1,=/г,функцияеслиполучается,применитьчтоt<(зв)игикчис-задачеChBh+р(-)т^2+нулюЖ(К)и=°'=°-следу-h.экстремалии\,г,(последнееТеперьчислаиt >при0=частям).(зв)vfi0,=равнаяприфункциятакие+t\),0.=этомпомаксимумаbi)h{i~)=интегрирование-pнулю.(to,ег+h(t§)призадачепроизвестисуществуютравноточкаУ2/i (-di+0,=hвпринципполучим,(itравнаядопустимойоказываетсяB~h+6^/i)fix,=что+C7i+hfix,=такие/г(-),^/iТогдаa{существуютфункцияи/im. .,Lxx,=чтотеперь,-С7г)'следуетх(-)чтотого,A____AгдеуправлениеС1 (to,\(А%2=bi(t)x)+оптимальноезадачи^Ы'))числаизпространствевспомогательнойзначениеитеоремой6.2.1п.ЛагранжаТогдачтоит,. .,г=1тpAh=+Ch+hi)J2^at+тг=1Но[г, t\]натогдаJ2 ^г(—сц0,=отеоремырегулярностиполучаем,подобнопротиворечию,10.2.4.кактому,ЗадачасостаршимиподобныввпроведеннымФормализуемтрехщбыло0,=идалеевпроделанотеоремех\,Х2,•__г**Л,=какоптимальногозадачу••,и)хп,хXгФункция*1П—\П—\Лагранжа:=0,1,.

.,доздесьрассужденияуправ-dtinf;(зх)—>ЧА»10.2.1.плануправленияц/(t,п.пунктах.7.2.1п.7.2.1;п.кприходимНаметим1предыдущих(з)задачучтоэтопроизводными.необходимостидоказательстватребованиявследствиеоткудаг=1_=п-1,Uj(t •)Х=0,Х-=1.1•10.§Выписавнулю,кприходимвприходимнеЭйлера-ПуассонауравнениюибытьследуетравнымВейерштрас-условиюи(-)поДалеемакси-принципомможетоптимальностиЛежандра.условиюсЛочтотом,условиексоответствиивусловияубедившисьиПродифференцировавса.управления157оптимальногонеобходимыеПонтрягинамаксимумаЗадачиподваждырассмотретьи,квадратич-квадратичную задачух(Щ)=0,^(x(.))[x(.),x(.)]-inf;гЕслирешениеПуассоназадачи(з/х)),додругойточке10.3.^г=нуль1,существуетh(-)вместетосоможновсемипрочтопоказать,вtпринульпринципа^т,максимумакприводитпротиворечию,бытьдолжнастороны,нетри-Эйлера-уравненияобращающаясяПрименениеэкстремалиоднойв0,ное.иг(з/х).ДостаточныеусловияВвариационномисчислении.условияхминимумавыводятсянаанепрерывна,с10.3.1.5.5.1.ПостроениеЭтиДокажем<\изивдостаточностьРаспишемполя.центральногоусловияпостроениядифференциалаеезадача.достаточных5-7.§§всостоящейметодологии,вычисленияПростейшаявариаорассказаноизучавшихсяединой^-функции,Вейерштрасса.формулыбудетпунктезадач,классическомвминимумаэтомдляосновевведенияосновнойА)tист,ti,впри(з/х)з",(т.minразрывна.—поля,1—h(t)задачевabs?1.0,=Якобизадачик0=jобращающеесяравнаяh(n\-)ибо.

Характеристики

Список файлов книги