Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 16
Текст из файла (страница 16)
.,i1,—\(y(n\t)Jdtчтоследует,1,0.=0,=1,изпослед-y(n\t)Поэтому=о=0pn_i(t)an(-)значит,и,чтовытекает,=an(t).С1 ([to,GдифференцируемостьнепрерывнаяпоследнегочтоусиленнойслучаемВ)Завершениеloc?нулеТогдаз.из(р(\)^х@)t\})Cftdto,Теперь,вутверждениеА),чтопредположили,следует,локальный0.=первойвидВвариациисилупроизвольности53?(х(-),х(-)),тополучится>Пример.1\x2dt->extr;x@)х@)==х(\)=0,хA)1.=оРешение.2.Необходимое1.LИнтегрант:условиевэкстремумДюбуа-Реймона,леммойусиленнойстеоремы.7.1.4.х(-))частнымэкстремумаимеетичтосопоставитьп.\х(-))5^(х(-),получаем,есливыписанный=являетсяМы+функцийлемме5.1.3п.непрерыв->локальногоопределения&(х(-)=значит,и,еиздоказательства.extrфункциячто>Дюбуа-РеймонаДюбуа-Реймона.леммыследуетвуказанныхуравнения.леммаB)изB)системыуравненияАналогично,остальных,Очевидно,х(-)ti]).дифференциальногосправедливостьх(-)Из—=x2.Эйлера-ПуассонауравнениеLx(t)=0=0.вы-118Гл.И.3.ОбщееC^t1+решениеC$t+определяются изКлассическоекраевыхх@)ж@)x(t)Эйлера-Пуассона:уравненияC4.
Неизвестныеусловий+исчислениевариационноеCi,константы=О=>С4=О,=0=>С3=О,С2,^Значит,t3-t2.в4.Покажем,имеетсязадачеединственнаяС4С3,С2=определяют--1.=допустимаяхэкстремаль==чтоДействительно,онаабсолютныйдоставляетh(-)если1]),Cq([0,Gвминимумзадаче.тоО000Спомощьюh@)=двукратного/i(l)поинтегрированияh@)=h(\)=1..1...1\xhdt=\xdhxh=0,=частям,чтоучитывая,получаем1..
1.. . .—\xhdt11—\xdh=-\-\x^'hdt—xh==0.0000оСледовательно,1х2о1[F?-2Jd?ооОтвет.Функция5minминимум,7.2.Необходимые7.2.1.Теория.х5max4,=t3=t2—4.=вдоставляетабсолютныйзадаче+00.=высшихусловияпорядковидостаточныеусловия.Рассмотрим&Ы-))=\b(t,L:WБудемпринадлежитт.е.R,-^далеенейвыполненох,0,=производными:х^). .,1,старшимип-. .,dtinf;-^1,j0,=1,eчтопредполагать,классуна^х,I^кгдесозадачуС2п(%).ПустьуравнениеLинтегрантх(-)еЭйлера-Пуассона.C2n([to,поt\])меньшей—мереэкстремальпри-(з),Говорят,Задачи7.§чтосох(-)наЛежандра),условиевыполнено{усиленноеЛежандраусловиееслиLx(n)x(n)(t)Прифункционал119производнымистаршиминаших(Lxin)xin)(t)О>относительнодопущенияхS?0)>имеетвторуюVt[t0,eU].гладкостивпроизводнуюLинтегрантах(-):точкегдеLxii)xU)(t).A)=i,3=0Эйлера-Пуассонадля(з)уравнеУравнениеЯкобиниемДляфункционала,имеющегоуравнениеПустьприобретаетх(-)на(s)=выполненоусиленноесопряженнойнетривиальноеhрешение0,г0,=1,(усиленное(полуинтервале(to,нетеслилинейноеH(to)которых=0,at\)=Якобиусловие(to,2п-гоможноh\(•),.
.,Пустьпроизводной.Ь№(т)=выполненоуравнениеЛежандра)условияh^(to)которогоинтервалегнетривиаль-(полуинтерва-to.сэто—существуетх(-)навсопряженныхЯкобидлячтоЯкоби),еслидляГоворят,ТочкаЛежандра.условиеto,точкеЯкоби,1.—точек,усиленногостаршейЯкоби,пусловиеt\])Уравнение(из-закуравнения. .,форму«диагональную»видk=0называетсяуравне-fc=0t0Якобиназываетсях(-).экстремаликвадратичногоЖфункционаладлянаhn(-)H^n\to)порядка,—котороеотносительноразрешитьрешенияуравненияневырожденная—матрица,гдеhi(t)H(t)Очевидно,когдасредствочтоточкаН(т)матрицанахождения.
.hn(t)=гявляетсяявляетсясопряженныхсопряженнойвырожденной.точек.toкЭтотогдадаетитолькоаналитическоетогда,120Гл.П.WПустьV=FxR^Rх^)Наконец,Vгде<^(Rn+1).емывыполненоt\])3?(х(-))неравенство1.ТеоремаПустьLGСп+2(^).ж(-)выполненыДостаточныехR,VLинтегрант2.Ck([to,t\])Тогда,естьине21,Теоремынеобходимоеусловие7.2.2.Якоби,граньдоказаныв§Там(to,равнаt\)Еслиоо.—0экстремальминимум.будетжесильногодля?>интервалезадачеабсолютный10.Аь(-)(An(t)допустимаятодоставляетве.в(V),видт.иминимумЛежандравЯкоби,допустимаяЛежандра—имеетнижняяибудутВейерштрасса=интег-условиесильныйусловиеусловиеединственнах(-)усиленноедоставляетусловиетоусиленное9/Пустьэтомфункционалвыполненоточка,существует,мини-гладкостиусловиюприусиленноесопряженнаявыполнено(з)ввыполненоеслиих(-)тоПусть?>которойнаминимума.t\])(з).Теоремаслабыйэкстремалью,квыполненыЯкоби,условие<минимума.гладкостидоставляет^дополнениеC2n([to,?#(-)||o-i([t0,ti])—V.которойнадопустимойусловиюсильноговсильныйлюбойслабогобыть..Якоби.иих(-)еслиусиленноезадаче^i])должнанаэкстремаль,удовлетворяетусловия<^(Rn+1)еквазирегуляренТогда,LЛежандраусловияV^"(ж(-)).х,доставляетдля\ х(-)чтоC2n([?o,?х(-)функциятоti])условияинтегрант?суш(з),вминимумтакой,^L(t,—>V.чтотакое,L:интегрантх^еi^Cn([to,0Необходимые(з)задачевж^))G>гназовемфункцияесли.
.,х(-)найдетсяKCn([to,?х,чтоскажем,еслих(-)функцииV(t,МыV,навыпукла(з),вминимум?R,хисчислениевариационноеквазирегулярнымх^п~1\. .,=Классическоенеоб-выведеноминимума.Пример.1.J(x2-i;2)d?^extr;х@)х@)=х(Т0)=х(Т0)=0.=о+2.Необходимое3.Общее+С<2 costдопустимаяусловиеC$tрешение+уравненияС\.Среди4.Применяемвыполнимостьдопустимыхx(t)экстремальLxxif)2 >=ЯкобиУравнение7.2.1п.условиявыполнено:Якоби.условия"х"Эйлера-ПуассонаЭйлера-Пуассона:экстремалейx(t)h\(t)тти\H(t)==IM*)hi(t)1—+хC\smt-\имеетсявсегдаздесь0.2).(теоремаПроверимcost,ft2(*)lh2(t)Ji2(t)sint=[1-cost—t,sint-tsintcost—Усиленноевыполни-ссовпадаетПоложимЭйлера-Пуассона.=0.=достаточныеЛежандраусловиеуравнение—1уравнением=0.Я@)ТогдаЗадачи7.§det#(O)Изнулюдопустимая2тг=Топридопустимые>0t\|=0,Sm-mТоприМожноимеют0=5тахчтоСA=—ми-показать,x(t)видминимум,х(-)2тг<абсолютный—оо.=|.tg=2тг.=чтоуравнениядоставляющая2тгабсолютный|sin^^следует,-1решенияточка:7.2.1экстремалидоставляютэто—экстремаль,0;О(О)=сопряженная2 п.теоремы=2l)+tsintкSm-mЛО1det=точки=2(cost-единственнаяони(О)/иБлижайшаяминимум,МО)сопряженныеH(t)Ответ.ТоМО)=образом,det121производнымистаршимиО,=Такимсоприcost)—всеи+оо.=ЗадачиРешитьсозадачистаршими7.1-7.27.производными1.1.\x2dt7.2.[x7.3.Uх248х)-r;ж@)r;x(l)dt===хA)=х(\)extr;^х@)хA)=0,х@)=0,х(\)=ж@)х@)0,==1.=1.1,=-4.=17.4.\D8x-x2)dt^extr;х@)х@)=7.5.ж@)7.6.7.7.х@)=-ж2ж@)extr;—>=0,=i,хA0,=ж(тг)1,=жA)=4.1,=хA)=х@)0,хA)0,=sh7r,=x(ty)7.8.J(x2-х2)dtж@)extr;->=i@)=х(тг)7.9.(Р)[ (х2-х2)dt->extr;х@)=сЬтг.=shTr.О,+сптг=х@)==х(Т0)1,=x(ty)х(Т0)=0.122Гл.П.7.10.J(x2х2)-Классическоеdtx@)extr;->исчислениевариационноех@)=О,=отг)I (х27.11.Ах2)+dtж@)extr;->ж@)==sh7r,=О,ж(тг)сЬтг=1.+017.12.[(ж24ж2)+dtх@)extr;-^ж@)-1,=О,=оi;Gr)=sh7r,7.13.[(ж24ж2)+dtж@)extr;->ж@)=ж(тг)=сЬтг.ж(тг)=ж(тг)0,=shyr.=отг/27.14.I"(x2-i;2)dt^extr;7.15.[(ж2ж@)ж2)-dtж@)extr;->х@)=ж@)=1,=ж(тг)=ж(тг)0,=1.=о17.16.J(x2i:2)dt^extr;+х@)х@)1,=ох(I7.17.(х27.18.Ii:2)+(ж2dtх2)+dtж@)extr;->х@)extr;-^=1)х@)0,=х@)О,=ch==1)sh==1,=х(Т0)=х(1=х(Т0)0.=о17.19.le't^dt^extr;ж@)extr;ж@)х@)0,=жA)=е,1,=жA)=2е.о17.20.[е-^2dt^ж@)=жA)1,==х(\)=е.о17.21.[(t+1)x2dt^extr;ж@)ж@)==хA)0,=1,жA)=2.о17.22.[(t+1Jж2-^extr;ж@)=0,х{\)=In2,о..127.§\{t7.23.Задачи\)tx2+соdtжA)=0,еуЛг,^>производными123старшими1х(е)х(е)е,=2.=17.24.[(?+lK?2dt^extr;х@)жA)1,=i,=о«47.25.\x2dtж@)extr;-+=х@)х@)=х(\)0,=1,=ожA)7.26.[x2dtх(О)extr;-^=х(О)х(О)==О,хA)О,ж(О)жA)=6.3,=1,=о7.27.(ж2ж2)+dtж(О)extr;-^ж(О)==1,=ох(\)В7.28-7.30задачахнайтиch=допустимыех(\)1,жA)==sh1.=¦.экстремали.тг/27.28.[(х2х2)-dtextr;^х@)х@)=х(^)==(?)=7.29.J("i-х2)dt-+extr;ж@)х@)=адх@)=О,=*(!)=ж(тг)О,=ож(тг)7.30.J("i-х2)dt->extr;ж@)i@)=ж@)===ж(тг)тг,2.=О,ож(тг)=ж(тг)=shTr,ж(тг)=сЬтг+1.IIГлаваЛАГРАНЖАЗАДАЧАОПТИМАЛЬНОЕИУПРАВЛЕНИЕ8.1.ПринципследующаяЗадачейзадачи.взадачаэкстремальнаяRr)Лагранжа.задачидляПостановкаС(А,ЛагранжаЛагранжа8.1.1.хЗадача8.§ЛагранжаназываетсяSпространствеC1(A,=R2:хRn)x&o(x(-),u(-),to,ti)^>inf;(з)Ф(ж(.),<),U)t0,x(t)=&i(x(-),u(-),t0,ti)^(ж(-),гх(-),ti)t0,ip(t,-0,<i=0,=x(t),гu(t)).
.,m',B)1,га'=О,A)=1,+ra,C). .,гдеЩх(-),u(-),ti)t0,=4гАЗдесьRfхR—>R^функции-функция+nA)Ограничениех(-)и(-)функцияфункция=(х(-),Лагранжа,GintA,иB),(вуправляемогоиto,х(-)—?||нRnRrxRxRn-^Rnx-^вектор-—связью,вектор-управлением.—называетсяуправляемымС1 (A,?вектор-переменной,—наRn),[to,отрезкедопустимымС(А,?Rr),управляемымt0,t\еслисмысле)еслипроцессом,?S,выполнено==этавыполненытого,кроме(х(-),5(#(•),и(-),неравенство(и(-),to,слабымилипроцессом,такоесуществует<?процесс0,>to,?дифферен-выполняетсяи,впроцессоми(-)ti]процессомслабомпроцесса|?Rx/^:RxRnxRnC).оптимальным(з),A,?^:Rxдифференциальнойфазовойхп(-))иг(-))t\)управляемыйзадачеt\to,^управляемымДопустимыйусловиюи(-),всюдуявляетсяограничения. .,A),связьчетверка.
.,еслиto<ti,дифференциальная2 переменных,называется(х\(-),(щ(-),=Четверказадачев+т.. .,отрезок,1 переменных,+г1,1 переменных.+r+n2nфункции—0,=конечныйзаданный—любогочтодляt\),удовлетворяющегоt\)называетсяминимумомдопустимогоусло-8.§8.1.2.Правилорешения.Составить1.Лагранжа125ЗадачаЛагранжа:функцию*i(х(-),и(-),U;t0,р(-),А)mJ^Aj/jfr=и)х,+г=02.Выписатьнеобходимые?а)стационарностипроцессаdш--Lx(t)(#(•),=и(-),по+оптимальногоусловияслабомвсмыслеt\):to,хLx(t)=O^Эйлера:уравнение—p(t)Y,=Wix(t)p(t)(px(t)~Vt[to,etx]i=0длялагранжианаmL=22^ifi(t,U) +p(t)(xX,—(f(t,u))\X,i=0б)трансверсальностипоx:mLx[tk)=(~1)lx(tk)P\tk)<^=^>\4=/кAiV;ix(tfc),J0,=1,г=0длятерминантаIx(to),2_,xi'lPi(to,=x(t\));t\,г=0в)стационарностипои:т=O^^J2x^(t)-p(t)fiu(t)Lu(t)г)стационарностипо=0Vt[Го, U];е?&:(fc(fc)^))к=0,г=0(условиеконцов);постационарностид)дополняющейt/cвыписываетсятольконежесткости:\гЩ?)=0,1,г=шх;.
.,е)неотрицательности:Аг>0,г=0,1,. .,га'.дляподвижных=0,1126Гл.ЗадачаI I.3.Найтивыполняютсядопустимыеравными0=фЛоилюбойилиО-ВовторомположительнойПредлагаемврассмотретьЛоположить3 допустимыхп.случаиединицеравнымэкстремальныхчтодоказать,чтообщимсотдельноможнонеодновременноконстанте.проверить,соответствиир(-),ивыполня-которыхдляЛполезнослучаеилирешениеуправлениепроцессы,бываетнайденныхвсехотыскатьоптимальноеЛагранжамножителямиэтомдругой4.СредипроцессовсПринулю.иуправляемые2п.условияЛоЛагранжаправилосоставленорешенияЛагранжа,принципомпроцес-нет.решенияополномвкоторомвоговорилосьвведении.Наборусловийр(-),и(-)8.1.1п.этоимеемможнов).сделать,Выражаяиздифференциальныхскалярных2пкоторыхвсего2п+трансверсальностизаданныхограниченийобразом,(Разумеется,числонеоптимальныйпроизводныеихx(t),u(t))дифференцируемыt GGфункцииt\],Лагранжаа)числомуравнений.уравненийуказанноес1,[to,t\]},фг,ага,.
.,i0,=(п.8.1.2)пох:тб)трансверсальностипоР@о)в)стационарности?&.г=0и:и(-),Р&)=условия:=—Лагранжаипроизвод-частныедиффе-непрерывноx(t\))t\,нулюх:t\)to,множестваm,. .,Xвыполнены^(to)>=по1,ЛагранжаодновременноравныеJ^fих(to, x(to),множителистационарностии(#(•),окрестноститочкине(рнекоторойв=задачевпроцесс0,=?Пустьсмысле)гокрестностиRn*),ипоэкстремума.слабомнайдутсяС1 ([to,2пимеемстационарностисистемыгладкости).Тогдаполучаеммысовпадаетнепрерывны|вt\,инежесткостиусловияагранжа.fi,иtoещегарантирует.)функциипоА^,ЛагранжаопределениядвазависитрешениедополняющейполученнойусловияЭйлера-Л(вихнеизвестныхНеобходимыеТеоремаэтомиобщее2пизсистемумножителейсюдаусловийт8.1.1п.разрешимости8.1.3.{(?,неизвестных.C)обстоятельствоприДобавляяДляб),условийТаким2+тЕеотещеиотеоремыполучаемуравнений.независимых.тмыA)когдаусловияр(-),ипостоянныхпроизвольныхсредивыполненых(-)через(разумеется,последнегоеслинапример,и(-)функции)неявнойотб),условийх(-),функцийуравненийдифференциальныхизсистемуявляетсяпроцессанеизвестныхопределениядлямыиоптимальногонахождениядляДействительно,полным.(условие(Ло,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
