Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 27
Текст из файла (страница 27)
.;C4C$,С2,(C3t+#тахС\,=0;-chtC2,+=и(\)(cost=C2)+константы=(ж,xконстантыи@)1,=и)х@)8.21.5тш1, 2,Gнеизвестные—8.22.abssh2l-3+неизвестныех@)условийk=/G(tshl-tchl-shl-2chl)sht+±——-1,V4u)л/2х,условий=7Г2-+00.=8.19.(x,=/DR,G5тахmin,Vsh2=u)/ч8.18.(x,o^max-4тг+00.=ax8cost=+00.=о=maxsintVCmin^5c,sh2с-6shlshtOmax•mm'^24_+oo.=+oo.iG+oo.=5тах=^(At+4?r_5тахR,GJT^J+oo.=+oo.=min,VC4sint\4tt)+absGmin,Smaxб'тахmin,minabs7r'+(Bt7rabs+оо.=+oo.=2costjGVCgR,min5тахmin,sint,—jabsGG0)=5max0)#тах+oo.min,—2sint)—R,G+00.=o0)5тах=absabsGVCminGcost,/-2(t_#maxС+absGmin,2sht)2 cht)G/'0)absG(Csint,(sint,/чv0)Csht,+решения223иуказанияСА)sht,u=из224Ответы,8.23.yРешение.1.Тогдаrcos(p.=иуказанияследовательно,ххуобразом,ух—Перейдемsinг=г2(?>=получиликтфср +стандартную\,=Функция1°rdtуу2+у?+г2(/?2+2pir~3r<?>—=sinг2=гcpи,cp,сле-Такимф.+sinextr;—>l,=Лагранжа:2.НеобходимыеЭйлера:уравненийd_It Ьф~б)трансверсальностьпоpi(O)pi(l)A3,=в)стационарностьАоЛагранжастационарности0,=подифференциальноенули.гСдругойг2находимА{\=—\l+Atnt)t+1.1,=_t\р2(О)р2—C\t20А0,Из0;==0=г2г2=^=дифферен-С/г2++=(p(t)1,=ср(\)=t.=sint,=0Ответ.Единственная9.1.t2locGдопустимая—t2min,9.2.Численноегде5minmax,Sm-mзначение5max—oo,=—1/12=иy=+oo.=надостигаетсяпоследо-функцийпоследовательноститочекlocGхэкстремаль:Si=1пересеченияилиSi=—прямых1{в-t/2,nni+?2nt,зависимостиxq+?^п?и<t<r2n,r2n<t<1,отжо—1/2.иxi,ат^п—Снахо-Посколькуr(t)=ггусловийначальных^^—-^j-}г-.значит,стационар-(г2/2)Измножите-условияОтсюдаСз.всеследующееСг/г3—0.=(/?=1/2.гг+чтоследует,==^>С2?Поэтомуто2получаемС/г2+pi0.=Ао—0,=Аь=п.=гг=-paср:ЭйлераС/г3—г2^^условийстороны,следовательно,иПоложимуравнение:С'.г0=2\quизуравненийииL^-A4,и:то—+=по3.ЕслимножителиAir(O)+условия:а)система=cosг2=Д))Йи,г=Лагранжаr@)=r(l)u,=i;2хкоординатаму?,задачу\и2Фполярнымcos=1,решенияабсциссыcost.Ответы,9.3.Vo?t2—locGиуказания—Vo?min,t2—225решенияlocGSm-mmax,Sma^—oo,==+00.=9.4.—V2atlocGЗамечание.локальныеВиминимум9.5.Sm[n'п?,0 ^1,1/n^t^Sminmax,9.1-9.4в0=locGзадачахмаксимумtlocminlocи#тах—oo,=maxлокаль-С.пространственадостигаетсяxn(t)последовательности1/п,^+oo.=это—=1.9.6.S'minпостроеннойV2atmin,0 достигается=наподобнойпоследовательности,постро-9.5.в9.7.Решение.1.Формализуем+ft11\Vtл/lкакзадачу+и2dt\udtinf;—>ляпуновскую:?.=ооФункцияЛагранжа:2.НеобходимоежabsGусловие:min(Ао Vtinf=^>л/l+v?h+Хи)—Ао Vt=3.ЕслиАоПолагаемАо0,=1.=тоизДалее=имеетзадачаX/Vt+ftVtПустьИнтегрируяftv7!+#(•)теперьA),=любаял/ft,Vh<кприходим(t>S2(t)Xu(t).-противоречие.—иS(t)этомпри=неравенствуK)jVt-VhVhjVt.A)+функциядопустимаяполучаем0=+inf.—>|А|-Vhu+u2—Аг?—еслиАЕсли?/21 +решение,А2.—Аyiзадачуft v+h+чтоследует,решаемVtЭта2п.=при^>2л/ft,их.=неравенствоB)|^4.Прил/ft2являетсярешениемtx(t)=dtXVtиАгдеподобранохA)15В.М.Алексеевчтобытак,идр.=?h+выполнялось=2А(л/1X2'-условие+Л-А2-226Ответы,иуказания(при|А|этомсразуy/h).^ЕслиB),изследует|?|же!nt,Огдетп+2л/М.точкаобразом,обобщенноезначениекакзадачи,этоt<тп,+прямойпересеченияТакимтопоследовательности<?2/Н—2y/h,>надостигаетсярешенияможнохЫ=кривойичтосказать,х?=2—|?| >2л/кприл/^+имеетсярешениеx(t)9.8.Решение.1.?=Vh2-Формализуемл/Tit.2+какзадачуляпуновскую:11\и2/2dt 7JVе~гг^(г)inf;^Jdr=-;eооt(ибоi:+х=ж@)гх,0=x(t)^>et~r^(r)=dr).о2.Необходимоеусловие:(Xqu2inf3.ЕслиАоПолагаем0,=Ао/21.=Xe~fu)—тоиз2п.u(t)ТогдаXou2(t)/2=Ачтоследует,Хе~ги(г).—=0противоречие.—Хе~г,=О4.Вследствиеu(t)достаточным,9.9.Smin=необходимоечтотого,-^—sh1e~fGусловиеabsпри^Ао0являетсяmin.6??=Задача9.10.Решение.следующейксводитсяляпуновской:ооЗначениеэтойконечнаS*(V)d^Применимпрямой.sup^T?-S(?).обозначимзадачивсейнаS@)=supfe?Очевидно,{inf?00=SUp7^H^ASl^fdt\ udtиопределенаИмеемдвойственности.метод-что=A)=fIi1Ответы,Такимобразом,F{0}га^р-1,/3-l-aS*(r,))-последнемслучае'/3'откудаВрешения227иуказания{=ГО,x(t)задачи:решениеО,^-о9.12.Указание.Формализовавзадачуобразом:следующим1\y2/2dt^in{;2/@)=2/@)=2/A)2/A)=0,=?оеесводим9.9.к9.13.Sm-in6^2.=ЗадачаУказание.допускаетформализациюестественную11[л/l\xdtx2dt^inf;+х@)=х(\)=0,a,=0.>хооНетрудночтопонять,задачиеслии(-)решениенижеследующейляпуновской111г/гги21 +Vdt\udtinf;—>A0,=t)udt—а=оtокажетсяx(t)чтотаковым,\u(r)dr=0^Vt,х(-)тоокажетсяреше-ониемибоДидоны,задачи111иху,=\xdt=^-у=а=A<^^>—t)udt=а,\иdt=О,00Ож@)=жA)=0.ДалееследуетприменитьприведеннымприОтвет.прямойполуокружность(а15*Приt-тг/2)/2.=(tпри—тг/2^а1/2;аналогичныерассуждения,1/2Jаявляетсярешением>+ж2тг/21/4,решениемхсокружность«обобщенным»=рассуждениям,9.7.задачирешении>0,«приподнятая»нацентромявляетсяполунавеличину228Ответы,иуказания9.14.Решение.Докажеманалогично).1.Рассмотрим[-неравенстволяпуновскуюdtхФункцияdtЛагранжа:=[ t2x2а2,=Г99?c(дляR+дляRвсеанало-задачу[ х2inf;->решения(—AoxdtX\x+b2=X^t+x)(a9\0).b >0,>dt.R+2.Необходимоеxabs?условиеminэкстремума:—Xox(t)=^>Ai^2(t)+X2t2x2(t)+0===>0=ж=—2~^ 0)АоприиX2t2x2).+Аоa^s^——A)достаточностисилуAix2+Полагаемпротиворечие.—x(t)(в(—Ao^min=3.Ao=1.=A)ТогдаA)изminx(t)dtэтомпри(тгабI/2,=откудаR+ГГ-г-xdt^dtжГ-/-{л/ абтгу=у=тгГ(ж9dtj\1/4/Г(t9x9\1/4dt),R+R+R+R+чтотребовалось.и9.15.Указание.Следуетрассмотретьляпуновскуюзадачу11\и2dtJJ(rjfeinf;—>—г)+г^(г)dr=/с?д.,1,=m,.
.,оодоказатьвполунепрерывности1/2([0,иОтвет.х@)Решениемх@)степенивнормыфункция(т&,интервалахвС2,Tk+\)ишаровляпуновскойзадаче.сплайнинтерполяционныйизсзначе-заданныеинтерполирующая1.ГГ\р(х)Ыр(х)Рассмотримdx—>ляпуновскуюзадачу\xlp(x)dxinf;=ai,iRR/ФункцияЛагранжа:i2^.r\гX2XP-f\=условиемтретьейполиномомявляющаясязначения.9.16.Решение.сла-компактностиусловиеявляетсят.е.изследуетслабойинеобходимоеприменить=0,(котороерешенияснизу1]))=нейвсуществованиеслабой0,1,2Ответы,2.р(-)НеобходимоеabsG3.Ao0=(Aoplnpmin=>¦Ai=>¦(pmp1 =>=решения229условие:minAoиуказания0,=iAip+1, 2,=X2xp+Aip+X^xp+3,Азж2р)+Полагаемпротиворечие.—А3ж2р)^(ж)+В4.+оо).=Витогеp{x)(aexp=bx+еж2),+получаемт^АоabsнеобходимыхдостаточностисилуприGрсЬ=>плотность).(гауссовазадаче(иначе0<с0==>¦причем=р(')0abs?{max.\t\-t,\t-ir/2,1.absxGt>ir/4,10.3.Решение.зада-absG_<..=ляпуновскойвтг/2,ж<(-*,t<7r/4,^10.2.xусловийmin.min,min,absG—жG-жmax.Формализация:Чо[->inf;ФункцияжЛагранжа:Jgf[(А0|гх|2.Необходимыеconst;>0,=?Ао=>жедопустимаяATq<0неттакже1,условиеи:ж(Т0)0,ро7^(А?=00).<"~Ри)ниоднойнетдопустимых=всетоив)из^о\и\рРо=Лагранжачтоследует,поА,=и?Прит.?ATqеслилишь,функции.=нули).—оптимальностиусловиевозможнадопустимой<^>—ри.множители—оо=0=—А2;==-?)•рp(Tq)Ai,=(иначе0,+А2(ж(*0)Эйлера:min(AoH<ро\ х@)+р@)ж:экстремальАотопоdtуравнениеmin(—ро^х)Еслизначит,ПоложимРототогданевыполнимо.и,а)поАо0;и))-условия:3.Еслирор(х+б)трансверсальностьв)оптимальностьПусть=то=о=х@)А,>г^гх,=>=е.х=ATq.виAt,Прислучаеэкстремалей.1.Тогдав)невыполнимо;изоптимальностиусловияеслиропо=1,товкачествеи:еслии(-)230Ответы,можноеслир$Анеравенству?любуювзять0;=иATq<допустимыхэкстремальюфункция;приприфункцийнет;0;?0=наконец,?4.Из?0,>образом,ATqпри?<убывающаядляО<допу-допустимая=хэкстремальмонотоннотоединственнаядопустимаялюбая1»<ронера-имеетсямонотонноединственнаятоATqAt]=<удовлетворяющаяА.
Таким=и=x(t)—1если1—длялюбаяимеетсядопустимой<роэкстремаль—служитеслиявляетсялюбая—наконец,функциядопустимаядопустимой=u(t)и(-)торешенияфункцию;функция,неотрицательную—\,^ 0;=^иуказанияфункциявозрастающаяэкстремалью.\xdtсоотношения?=следует|?|неравенство|ж| dt,^об-оовращающеесялюбая10.4.ж10.5.Toлюбойнаравенстводопустимаяft2/4-3,=допустимой0<?<min.absxGЗначит,экстремали.absдоставляетэкстремаль4min,To:Gabsmin,abst ?abst G—2,-max.010.6.:Gabs[{tmin;To2<10.7.=>ж5тш? ^О <>0? <1То2<t2/4=absmin,—=>t +T02/4-Tnt,——л/?G=abs?To,-min,жTot2/4=++Gabst +2-?t<gabs2,-To,<max.нет;t +??Т2/4=?ToTon),—допустимаяэкстремаль,экстремальxG?=1 ++экстремалейхдопустимая10.8.?+(Xn(t)допустимых1 =^T0)z/4-T0J/4-—00=^=>(t=max.max.-Gabsmin;Т=Ответы,10.9.То4 =><хt(t=То)/4-{-?,ОТо/2J/4(tt-T0,To/2abs?min,1+X=\T10.10./9<т+^mmtТ0/2То/2<25max0^ <+oo;=tТ0/2<+<t^T0,absеХ'<т2,-2 <-++—oo,=min;То/2,-ft,O^t^To/2,_absе<-жрешения231иуказания=^допустимыхэкстрема-экстремалей нет;S"? ^>1 ^>absG=О <—1;1 ^=>+G10.13.-(t10.15.(tabsGabsGmin,10.20.Решение.absу^;2=\Л—С2+—absabsmin,min,(8absGmax.(t2tmin,-absGmin,absG—xТCsh(|?|уравненияt22 G-<^^^(t2min,корень—absGt G—10.19.ж=<^xIJ2-10.18.ж=Gmin,2J-10.16.t210.17.t2жabs2t-?2/4,max.-10.14.t20>abs10.12.—t2=экстремальСгдеt ?хэкстремальдопустимаяmin,^допустимая4t2-—л/2)*t2(t-G+12dt-^max.max.2J-absabsgmax.max.absGabsGabse22-t2-min,?IJ-max.—8л/2,2л/2-<t<2,=0.max.ft2-2,O^t^l,|-(t-2J,—жGl<t<2,absmax.1.Формализация:2minf;о2,xi(O)=^@)=^2B)То)2,232Ответы,иуказанияФункциярешенияЛагранжа:+pi(xioxiх2)-+P2fe-и))dtAixi(O)+А2ж2(О)++A3x2B).—р\+о2.Необходимые0,=-р2а)условия:pi-б)трансверсальностьргB)по-Аз;в)оптимальностьпоpi(O)=Ai,х:Ао0,=Д>const=minu:piB)=0,рои—\ ^2Еслиpi(?)тоа)изpi(t)=р2@)А2,=ИзусловийнаД>p2(t)концахб)a)(tпои=t—2следует,=^р2чтоSэкстремалейнет,на[0, 2]отрезкевыражения2JфункцияэтоНеизвестные4.Покажемabsсmin.приходимрB)=0,ркх@)=управлениенекоторойтолькоусловийизрхdt=—рхчастямх@)0=+непрерывчтопроверки,х(-)чтотакую,схB)рж10являетсяиспользованиемсоотноше-(р=0ГГ—х(-)+р2=222—случае,Итак,плюс.тождествуГ212Изг.томвнаминусаиточкеконцах.#(•)по-1,=допустимыхкогданепосредственнойфункциюИнтегрированиемдопустимой.соотношенийнапомощьюВозьмем=^оптимальностинаходятсягусловийигр\т<^2.точкаиточкехихвдопус-=t-\-Cнаходими,константынепрерывностиС2.+O^t^r,2,функциюсгCit+const=ибытьможетД>случае1 =^приточкевэтом=0±t2=условиявчтознакинтегрируяИзпереключениевидно,жслучай,-2,ДваждыллС.,Посколькуимеет=>Ао^const=врассмотретьменяетр2±2=„2signp2.остаетсяр2S(t)Положим-—г-^—V—=тодлякогда=p2(t)=>чтонет.-pi0=вытекает,экстремалейдопустимых—следует0==ДGАо=3.=^>Эйлера:уравненийсистема0;=ржdt=жdt,=^-^~2хGОтветы,откудаirp(t)absG233решениячтоследует,посколькуиуказания{min,—x(t)0;<0>[0,t Gпри1]x(t)0,>0<при(?-2J-2,-(t-4J,absGxmax.T=lj6absmin.2jeabsmin.^=|t22t10.22.p(t)и=10.25.Gf-3t2/23,+Синтезизображензадачина^2<010.29.(ж=>(хt2/2=>0=^2*+(ж=>-t2/2=&t++Т6»-t2/2fi^i<0(ж=0f=t2/20 G+absf2*+=^+min.+fьmin.х2/2=+€i,f^2)=-^2)Gabs6,Т=^abs+^22min,min.Ьf=_^2+^2_2f j)G)26+G=abs7Рис.>0\7.рис.х10.28.min.8G10.27.abs-absabsmin,^min,234Ответы,О,Оt<\,-(?-х={10.30.м2IJ,<=10.33.ж<=_10.34.x=<10.35.x=<10.36.^=^0,2,0^10.«37.x10.38.t/,Mzj—,<TП21<-I)—1,f(tl),^<?<i^1^+^ot<+<-оf8t318t-^^t^06t,+-t2/2,0/3?3/3-+t/4,,—tmax,^>minabsmmiл1,*abstinmin.1/2,<</t.min.<^^1/1,absmm.min.abse1.10.40.Решение.1/2функцийл/2/То..absG^11/24,absG/сллл-minxGо^^1/2,<<^допустимыхta^s<,9t2/o=t</910<?1abs^Z,же11,+^Z,1,ч210(2ж1,^O^t^l,1<t^Imin.1,<^i<f<9abs^>[t—fO,0s10.39.To2joоч2/QI—G>?решения5? Gabs^nIГ 2t,0_10.32.x1,<i^i-t2,0<10.31.Toиуказаниянет;G—жmax,absmin.Формализация:0ФункцияЛагранжа:2.Необходимыеа)условия:б)трансверсальностьв)оптимальностьпопои:^-zу+х:Эйлера:уравнениер@)0,=рA)—р-\-—А;=.\и\) -ри)=уVАо(^-zу+\и\)-рй.Хох=0;Ответы,3.ЕслиЛоПолагаемнули.=^>0=Ло1=0=рврешения235иуказанияЛ=^>назадачеО,=всеЛагранжамножители—=>¦минимум1,р@)Посколькуаа)становится0,=условийизтор(?)б)и\р\находим,чтожA)ивыпуклости=>¦р10.41.ОптимальнаяРешениертраектория10.44.Оптимальнаятраектория10.45.ОптимальнаятраекторияНьютона.С=const,=p(t)модульуправления.инепрерывностиС1 ^^>^х=изопределяетсяхт[п>1^.Всилуна-условия(х2(х/bJэллипс—квадрат—см.АТФ,вТо/Bтг).с.1.6.4.п.у2I/2+|ж|\х\квадрат—выпук-радиусаАТФ,вэллипсРешение=|^|окружностьсм.—?,=1/|С|)—10.42-10.4510.43.ОптимальнаякриваяИз—задачтраектория—0.Cch(l10.42.Оптимальная10.0, 46.5?=-()^<изадачи=переключения=траекторияэтой?+оо.=уравненияmin.absех—|^|изПриточкаx(t)1/|С|Значит,t.t.Константаэкстремаль:хт[пприэтиххб'тахчтозадачималых1/|С|).—определяетсяприС?Это=Cch(tДопустимаяСгдехтогда=?.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
