Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 9
Текст из файла (страница 9)
х,(0,; го) =х~. (2,39) Мы не будем бдесь обсуждать вопрос об интегрируемости уравнений (2.38) и свойствах их решения. Это будет сделано в главе 1Ч. Напомним 'только, что при решении задачи (2.38),'(2.39) время Г следует рассматривать как параметр.. Эквивалентность лагранжева и эйлерова способов описания движения. Эквивалентность-указанных способов описания движения означает возможность перехода от одного нз них к другому.
Предположим„что движение задано по Лагранжу. Тогда,известен закон движения среды в любой из его форм (2.3), (2.4), все скалярные, векторные и тепзооные характеристики движущейся среды являются функциями 0', Г и отнесены к материальным координатным базисам. Используя обратные для (2.4) зависимости (2.7) и формулы (2.12), (2.13), связывающие »',ьц матер«гильяма й пространственные ':коардниатдмп:.байй~4я,:~фЦ~ "„ скорости среды получаем:следующую формулу-йарехпдай .».. т'. а($ю Щ (0«, «) '.
офсет йо йо, «), Д у~ (н»( й' " йо)»е оэ(6', йо, 8', «) Вй(й'; 6~; йз), й' — 1«,,:.0«ю,)г(«), где,о«(й~ й~ йо. «) оо(«)) йо йз «)щ~~дфо 'Кац и следовало ожидать (см; 2 14)„нря,переходе от,м риальных текущих к пространственным координатам кампо. ненты вектора скорости преобразуются па теизорному правилу .
(см. й 3), прячем роль преобразования координат (г.й),пграет закон движения сплошной среды (2.4). Таким образом, при заданном лагранжевам ппясэнни дви- жения можно получить поле скоростей (2.16)ь Но эта и зна- чит, что движение по Эйлеру известно. Переход от вых координат к эйлеровым для других характеристик движу- щейся сплошной среды осуществляется так же, как это было сделано для вектора скорости. Пусть теперь движение задано по Эйлеру. В этом случае , все скалярные, век-,' известно поле скоростей «(6', «), 8' ен Р(«), все сна ляю торные и тензорные характеристики движущейся сре тся функциями пространственных координат 0' и 'времени « и отнесены к пространственным координатным базисам. Так как (см.
(2.21)) то лэ1 к« = ~ (й', 0, 0'; «). Соотношения (2.40) можно рассматривать как закон движения произвольной частицы среды в дифференциальной ф . П при « =«о эта частица находилась в точке прастрайства. дннатами айства с коор- 0! Фо о (2 2.41) (теми жа координатами «наметим» частицу). Инте пения (2.40) при условии (2.41), получим закон, движения; ас- ' нтегрируя урав- . сматриваемой частицы среды в виде. н. движения;ряс- ' Е'-В'(й'„й', б', «). (2.42) Если'в (2.42) считать Ъ' непрерывна изменяющимися б о= У(«о), то (2.42) представят закон движения всего объема ися в о ласти среды (ср. с (2.4)). Координаты 0' есть не что нное, как лаг-.
рапжевы координаты точек среды. 60 .„:.. Ичии;.'Ваяй'эйлераиа задание;дпийгецмй«:.можно. йосета««ощггв ' айон, дэзнжЬння среды (24)» потовый. прн' каждом,.фмкурпццц«.. ' «определяет. преобразовап~М црасзраиатвенных ка6р4иМйт ' ц.материальные 6' Пе))ехоц'к'латграйи(егвым координатам 'дпя ' сех,.скалярцых, вектпрнцк идеизориых.ивлцчнн асуществляпзсп „'йа'правилам„изложенным' Ф-'ф'.3. Выбор способа бйнсаФя движения:сплащйай среды зависни' ' ат" уасстйатри«(аемай задачи и' аорще~йци~е?сн: коикрк«2(б.
например,' в задачах гидромехяпкки;ффма и двн1аа(цоа тра. , ниц: жидйостй обычно за«(аны ',(та)шйичь 'яг)««(кости по )(рмбз', М- -„"текаине жидкостью: твердых тел)),.Далее,"в механике жйцкостн ' и газа йз кин6матическнх харакг«еристнк среды ианбалее»»митин« ' респой является, скорость, црнчем це распределение в простран'стве, занимаемом средой в различные моменты времени. В.этих ' условиях предпочтение отдается Йрострайстйенным (эйлеровйм)' координатам. Задача теории упругости состоит в определении перемещений тачек упругого тела, для которого"иФестны,церваначйл$»' ная форма, условия закрепления, нагрузка.
При этом.правые' условпя, вообще говоря, задаются на гранатах, фоймв котайых ' зквйснт от искомых величин. Поскбльку в лагранжевых кобрдн-' натах уравнения материальных' лйний и, поверхностей-''да и.' .после деформацни.имеют один и тот же внд, в теории упругости предпочитают лагранжевы координаты.
В лагранжявых же ка» ардииатах .удобнее формулировать ряд. деформациоипых гцпо., теэ теории упругости (гипотезу плоских сечений"'в теорпн.'изгиба тонких стержней, гипотезу прямых нормалей и тйории топких пластин и оболочек — см. главу 111). й и. движнний чдбтиць«спл««чцноВ спадь« ;Под частицей сплошной среды мы условились паннмать' ее ба«)конечно малый' объем выделенный в точке 8), именущяаи' (~)же центром части««ы.
«1агРаижевы Каорднйатм цроизвайьнай' ярмаки частицы 6.' М+ М',,где 'дй' — диффаренцяапы м««тй-'' "льных координат. Исследуем локалеиое деижеяие '~с~купца«, ': е. движение ее точек относительно центра. Ега опишем в векуа)риой ферме ДВ-В(6'+ай', «)-Ц()«; «). Дори«=«о Ж «,-Й-Фй'+М')-Ж6'). (2А4) $ силу малости 'частицы и предполагаемой гладкостиораинуе нектара в начальный « = «о н наследующие моментм времени ' Макальное движение можно описать линейной (относительна 61 гФ) частью выражений (2.48), (2,44), т.
е. ди е 4=й„(0', ()д8, (2.45) М~ -~,='й„(8')сФо. Итак, а)т и д)ч являются ради с-вект частицы отиос р у - екторамн произвольной тбчки текущей конф ительио ее цент а со фигурациях сплошной с е ы. Э р ответственно в отсчетной и соотношением (с $ б тензоров) и. в правило ск р калярного умножения двух Е=Г(0', Г) Й.дйо=Г(0', Г) Щ, в котором — т Г(0', г) =4(,(0', ~)йз(в') — ензор, 'компоненты которого оп е ел — (2.48) пня сплошной с ( среды (в дальнейшем б д т п го определяются законом движе жения через компонеи у ут приведены их выра тензор Г определяет изменен неиты перемещения).
Из (2.47) ( . ),следует, что женил точки частицы среды, м менение со временем лока льного полос еды, место которой а отсчетной конфигурации определялось вектором дй. Этот теизо н диеятом локального движения. Наряд с 2. ривать обратное преобразоваии о дй=Г ' Щ,. (2.49) Г-'(0', г) =й„(0') Й (0'; 1). Предположим, что в первоначальном' с П, ~жж состоянии (и отсчетвой положение точек сплошной с е ы прямоугольиымн декартовыми о среды определялось товыми координатами хо с ортамн еь так — — — ь дп = и. ектор перемещения сплошной среды зададим в виде и = и (х;()е„. С „'к )е„.
огласно (2.32) о де~ =Р м. =Р, е„ез,, (2.50) о о О + ди~ зе, Формула (2,50) получена при условии что м н й А ур ц прямоугольные декартовы. конфнг зции п ие в качестве материальных п оизво нейных координат п ринципнальных трудностей в ы 62 в вычисление онент тензора (248) .не вносит (предлагается проверить, например в произвольных криволинейных координатах 0' о о о о о о Рн —— Й, ° Г ° К~ =ап+ т7!ио „.
'о о о ,'кн=й~ ' Й~). ,Формально закон, локального движения (2.47) представляет о йное преобразование векторов ам в а)х. Коэффициенты ' бразования, являющиеся компонентами градиента локаль'о движения, для рассматриваемой частицы постоянны. Вре- о г играет роль параметра преобразования. Но ак и Ж вЂ” рас-веиторы точек частицы (0', 0го 0') относительно ее центра„ ' тветствующие начальному (г = гь) н произвольному момен,' м времени. Поэтому можно сказать, что (2.47) определяет : еобразоваиие (геометрические изменения) окрестности точки 8', Оэ, 8З) при движении среды (в зависимости от !). В резуль' те линейного преобразования с постоянными коэффициентами рямые превращаются в прямые, плоскости — в плоскости прн ' хранении параллельности, если они были параллельнымн до 'реобразования.
Кроме того, при линейном преобразовании поррхности второго порядка превращаются в другие поверхности торого порядка. В частности,сфера превращается в эллипсоид, ,'вообще говоря, трехосный. Отсюда следует, что всякий бесконечно малый прямоуголь- ',ный параллелепипед, выделенный мысленно в среде при о (ь, ,-",)к':последующие моменты времени окажется, вообще говоря, косо- ~ууольным параллелепипедом с длинамн ребер, отличными от :;,;)исходных. 'з ' Итак, локальное движение частицы среды включает в себя 'вменение ее формы и размеров, т. е. деформацию.
Наряду с деформацией частица перемещается поступательно вместе со своим центром и поворачивается вокруг него, как вокруг неподвижной точки (эти виды движения присущи абсолютно твердому телу). В соотношении (2.47) деформация и поворот не отделены. Мы сделаем это несколько позже, в $21, но для простоты не в общем случае движения среды, а для так называемых малых смещений. Пусть Š— произвольная материальная линия сплошной среды.
В лагранжевых координатах ее можно задать параметрическими уравнениями б'=8'(0), - (2.5!) огде 0 — параметр, определяющий положение точки иа Е. Урав. пения (2.5!) определяют линию Е как в отсчетной, так и в те- '!. кущей конфигурации. Линейным элементом сплошноа среды ':. "~называют направленный элемент длины дуги ее материального ...;,1волокна. Линейный Элемент волокна Е в некоторой его точке М. 4:, ~~' Зу' ":о : д)о, деформации нзменяются согласно формупам . (дй)Е- (дв)'= Яов — аое) Нйо ЖЕГ созХу, и созХ! и — Шов Ыов) лв Ьв + (2 57), Лг ЬЯ ле Ье . О Если у!! — 'у» = О, то длины'лннейных элементов частицы н нх взанмное расположение во время движения среды.не меняютсй. Тогда частнца нб деформируется н движется, как абсолютно твердое тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
