Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Так как скалярно-векторное произведение меняет знак при перестановке двух любых векторов, то компоненты дискриминантного тензора меняют знак прн перестановке двух любых индексов, и отличными от нуля оказываются только те компоненты, все индексы которых различны. При этом они совпадают с Э!зз (Э'зз), если перестановка,'переводящая з, 1„' й в 1, 2, 3 четная, и равны — Эив ( — Э!зз), если указанная перестановка нечетная, т; е, Э!зз =' Эзм = Эзз! = Эзз! .= Эзм = — Э!еь Э!зз Эмз Эзз! Эзм Эыз Э!зз По известной формуле векторной алгебры [71 й!'й!з й!'йм й!'йз . (й! (йзХйз))'= йз й! йз йы йз.йз =(й!7! =у.' йз'й! йз йг йз'йз Следовательно, Э!зз = у'4*, Аналогично находим, что Эпв = й 7ь 17 куда следует„что (1.32) а/, 0»э аз Ь» Ьз! Ьз а (Ь Хс) ='Э ~«а,узс«=у-'ь с„с»ь с» , Из (1.27) следует, чт",, * 1»/ХК/~!'Эс/»11~ ')з 5( Й =Э~/~11» ' ." (1 28) Тогда для произвольных векторов а а% 'Ь=Ь'11„, с= сЧ~„.
а Х Ьам а Ьзй» Х Йз а, Ь Э»8 й~ =. а»Ь8Э «К», Равенства,(1.28) позволяют вычислить площади элементарных координатных площадок. Так, для площадки 0' =" сопз! й$<!/ = ! 11» й0» Х К~ й0» ! = 1Э 11з ~й0»с(0» ! Эзы К ! ! й0~ ййз = = (Ыу") /' сфзс(0». . гд! и!~ С днскриминантиым связаны тензоры с компонентным "г; Ьы! З Эы!, Ь ° Ь.~ Э Э ~, ц» !/» ' !/ !/з с/» ,':которые можно записать через символы, Кроиекера Ь„! = Ь,Ь,Ь! — Ь!Ьзбс'+ ЬзЬзб! — ' Ц» !/» /!» /»! — Ь!ЬзЬ! + Ь! ЬаЬ! — ЬгЬв до »/! »!/ с»/ Ь!! - Ь!Ьз - Ь!Ь!. !/ с/ // Ьз!» Предлагается проверить, что Ьф = 2Ь!! Ь«ез-= 8 ф й 6.
АЛГЕБРА ТЕНЗОРОВ 'Ф". ' Рис. 4 Площадь элементарной координатной площадки 0' = сопз1. йч!о= (уу!')'/ й0/ й0» (с тй / Ф й Ф Е), (!.29) Объем элементарного координатного параллелепипеда равен с(У = К! И0! (Кз й0» Х йз Ы0») =. =.[й, (Ы,ХМй0 й0'йв =у'Мй!й0»й0'. (1.30) Рассмотрим элементарный тетраэдр Рллл (рис. 4). Для него Р!Рз-11»ййз — В!й0!, Р!Рз=я,й0' — 11!йй!, Р!Рз Х Р!Рз.—.(1(з Х Кз) й0» с(0»+ Ф (1.31) + (К, Х К,) й0'й0!+ (11;Х41,) й0! д0'. Обозначим через йд! площадь координатной грани тетраэдра 0'=сопз1, через с/5» — плошадь грани Р!лль а через и= пзКсс п»1(сс — единичную внешнюю нормаль к Р,Р,Р».
Очевидно, что й8/ -1Й/Хй»1й0/й0" и что вектор Й/ХК» на- 2 правлен вдоль соответству/Ошего взаимного вектора (см. (1.7)), В силу (1.31) и (1.19) и' и дз 2пйЗ 21 =,83 + — йзз+ — сБ»1 2 — 'сБ„, 18 Сложение определено только для тензоров одинакового ранга, при этом компоненты суммы равны сумме' однотип»/ьсх компонент слагаемых. Так, если складывают два тензора одинакового ранга 11 и «' с компонентами и; ».", н о;;»", соответственно, то компоненты. суммы »з!/..'..'~ иц .."..'с+ сс/,."..'г (1.33) На основании равенства (1.33) покажем, что сумма двух тензоров есть тензор одинакового с ними ранга. В новых координатах компоненты суммы равны Н'о дз" дзг дз" - даь !'./'...
С' »Ь ....Ь дз! дд/ дз« ' дз! ° да» дзг д8»' — да» Поэтому. да» дзг дз» Р/' .'.".!'= »З.."..'» де! да/ д „« ° Следовательно, компоненты пс; »", преобразуются по тедзор- .,',, ном правилу (см. $3). слн обозначить через "й/ теизор с компонентамнв,"»'~«хо в символической записи % 0 + Ч. Умножение всех компонент тензора на один и тот же екалнр' дает тензор того жв Ранга, который назьсваетсл произведением ':,"! .18' '' ' тензора на скаляр. Если и — скаляр, а 1) — тензор с компонентами и; '"„то ии;;» ", — компоненты тензора Т = и1!. Умножение определено для любых тензорое.
Компоненты произведения двух тензоров представляют собой совокупность попа ных произведений их компонент. Г усть перемножаются тензоры $) и Ч с компонентами ии и о», соответственно. Компоненты их произведения равны ге; »,=и, о»и (!.34) либо (1.35) В первом случае говорят, что 1) умножен на Ч, во втором— что Ч умножен на 1). Из (1.34), (1.35) следует, что !г; », и Г»п определяют разные тензоры.
Их обозначим через % и Т соответственно. Ранг % и Т одинаков и равен сумме рангов сомножителей. Символически равенства (1,34), (1.35) записывают так: % = 1)У, Т = Ч$). Умножение тензоров не коммутативно, т. е. 1)Ч чь У1). Рассмотренную только что операцию называют тензорным умножением. Суммирование по двум разноименным индексам е компонентах тензора и-го ранга дает тензор (п — 2)-го ранга и называется свертыванием исходного тензора по этим индексам. Пусть, и;;м — компоненты тензора четвертого ранга, а в!! и)„ь'. В новых координатах г, .
ат .двв / де» деь'~ дВс Рьь Вч дВг двь двь дет , авз ае' ,. аФ ав' авз ае' двг ь ~ю дет ав ' З дег ае т. е. !е — компоненты тензора второго ранга. Индексы, по которым производится суммирование при свертке, называются немыми (их можно переобозначать как угодно). Остальные индексы называются свободными. При свертывании они сохраняют свои места. Если после свертывания в компонентах тензора еще сохраняется необходимое число свободных индексов, то свертывание можно продолжить. Путем свертывания по разным парам индексов можно получить разные тензоры. Пусть % = 1)Ч и пусть % свернут по паре индексов, один из которых принадлежит компонентам тензора 1), а второй— компонентам теизора Ч. В результате будет получен тензор, который называется сеерткой тензоров 1! и Ч по соответствующим индексам. Очевидно, что ею ранг на две единицы меньше суммы рангов тензоров 1) и Ч.
20 Скалярное произведение двух тензорое представляет собой свертку перемножаемых тензоров по соседнцм индексам. Его удобно зайнсывать символически, Пусть, например, скалярно перемножаются тензоры Т = =1.Зч!1,К 11ч и 8 =эь".р11"м,мь Их скалярное произведение ~" чзи.ьВьВзй В У "= Г чз""ьВ»11В» По аналогии со скалярным произведением вводится векторное произведение тензорое. По определению Г, тз„,ьЗ !1,11 11 11,!1. К числу алгебраических операций над тензорами относится образоеание изомера.
Озомер образуется при изменении порядка следования индексов в компонентах исходного тензора. Например, тензор второго ранга $) имеет единственный изомер В = и,зй'м~ = и 'з11ь!1~ = и,' Й"В и ' В,11з, 'й =и, й' =и', и'!=и!. и'п=и!', и !о д !' ! где 1) = и,зй Кз, 1)' называется сопряжеяным тензором для 1), Тензор называется симметричным относительно пары индексов, если он равен своему нзомеру, полученному при перестановке этих индексов. Если же тензор равен своему изомеру с обратным знаком, то он называется кососимметричнь!м относительно рассматриваемых индексов. Тензор называют симметричным, если его компоненты не меняют своих значеннй ни при каких изменениях порядка следования индексов. Тензор, ком, поненты которого меняют зиак при изменении следования любой пары индексов, называют кососимметричным.
Из данного определения следует, что компоненты кососим- метричного — тензора, имеющие одинаковые индексы, равны ° нулю. Компоненты кососимметричного тензора обязательно имеют одинаковые индексы и потому равны нулю, если ранг тензора превышает его порядок. Любой тензор можно представить в виде суммы симметричной н кососнмметричной частей по рассматриваемой паре индексов. Например, »е Ии~ ге ч4Л + гв "!Н!", ге!и~= (ге, л! "+ге"дс..~ ! ц~!!л — (ш.
° ° н ° — ге ° л ") ! 2 »"- , 1, ге<!!»,и терни- няются -Оперзнии, .яри помощи которых' получены:. выражения и!вч1, называют соотвеТственно симмегрцрованием и аль рова!»игм по паре индексов. Указанные операции приме и к болыпему числу индексов.,Например, 1 нлца! е (гена+ ю»а»+ бац+ н!аг!+»е!а!+ ге»ьа) 1 и!!ца! й (а!!а — и!!а!+ и!ац — и!а!!+ н!!а! — н!!!а) Очевидно,-что симмегрирввание не меняет компонент симметричного гензора, а альтернирование — кососиммегричного.
$7, ПРОСТЕИШНЕ СВОИСТВА ТЕНЗОРОВ 'Свойство 1. Любая линейная комбинация гензоров одинакового ранга является гензором гого же ранга: Это свойство следует из определения сложении и умножения тензоров на скаляр. Свойство 2. Если все компоненты тгнзора обращаются в нуль в одной координатной системе, го они равнь! нулю во всех других координатных системах. ' Пусть в какой-нибудь системе координат 6', 6', 8Ь компоненты 'некоторого тензора и; а, =О. В. новых координатах 6', и.! 0", О»' авч аез два аЕЬ и..а' и..» — О р!ь ! йв:ь ае! дв! ае» аег Тензор, все компоненты которого обращаются в нуль, назы- вается нулевым гензором.
Указанные свойства часто используются для выявления связи между изучаемыми тензорами. Например, если в какой-нибудь наиболее удобной (обычно прямоугольной декартовой) системе координат компоненты тензоров 1)=и"4'"-К,КвК» „„Ч очв.-"К,йвй» ...,%=и'*в""11,% К» ... связаны равенствами ии'! " + оо'»„"" + шц!ц"" = О„ .в которых ц, о, и! — скаляры, то по свойствам 1 н 2 и(!+ оТ!+ +в% О, Пусть в какой-нибудь системе координат компоненты тен- зора 1! симметричны, а тензора У вЂ” кососнмметричны по паре индексов 1, /, т.
е. в рассматриваемых координатах . и'!"" =и!'"" о'! - — о!'" . ..а'.....а...' ..а..'.. а,"..' Применяя свейство 2 к тензору (и»!"" — и!'„"") в случае сим- метричного тензора и к (о'!,""+о!'а"") для кососимметрич. ного, получаем, что в любых координатах и'! " — и!'„"" =О, "ч»»Г""+-о!'"- =О, т. е: в.любых координатах компоненты теи- ь ' ..а..., ° ..а... вора' 11 симметричны, а;Т! — '"кососимметричиы по указанной паре индексов, Таким образом, симметричность и кососиммвгричность тензора являются инвариантнымц 1не зависящими от -выбора системы- координет) свойствами. С в о й.с т в о Э (обратный 'тензорный- прианак).
Если свертывание величин, снабженных индексами, с компонентами про: иэвольного, тензора приводит к компонентам тецзора, то рассматриваемые величины являются компонентами тензора, тцп .которых определяется расположением индексов этих величин. Пусть, например, некоторая величина в произвольных координатах 8', 6а, 6' и 6', 6', Э' определяется компонентами иц .н и!! соответетвенно и пусть при любом векторе с комнонентами о' между компонентами и!! и!чо" и»с! =и!мо"' имеет ф; место та же связь, что и между ковариантными компонентами 4~".' вектора, т. е. в1-= и!,дй'/дв'. Так как о! =се'д8!/двз', то предыдущее равенство эквивалентно следую(нему: ав" аев а' ц,,оа' ц оа' В силу произвольности оа' ае аев и! ! = иьв —,—, дв! дв! Это значит, что иц(ц! !) определяют тензор второго ранга и являются его ковариантиыми компонентами, Для краткости доказательство было проведено в частном случае.
Его обобщение очевидно. При доказательстве свойства 3 вместо произвольных ком, понент о" можно использовать взаимные координатные векторы Ка. В ртом случае »ч! — — и!в)1" †.компоненты тензора (но узке векторные). Повторяя сделанные выше рассуждения с учетом . преобразования координатных векторов с изменением коорди. натной системы,' получаем ав' аев ц!,,11а' ц в Иа' а' ,ф В силу некомплаиарности векторов )к', Кх! Кь подучаем" ген.. зарный закон преобразования компонент иц, В более общем „а,',1;"," случае координатные векторы следует заменять, линейно Незнь 'ф~"- висимыми координатными полнадами (днадами).
Свойство 3 во многих случаях Позволяет легко устаиавяивать тензорную природу рассматриваемых величин. Так; не- .— трудно убедиться, что»к! = дп!/д6' — векторные компоненты тензора первого'ранга. Но вектор дп/дв' можно представить в види дп/д0'= и!чй<'. По свойству 3 и!!' — компоненты теизора втоф 'В ' ; (г;, рого ранга. Ю Свойство 4. Пусть и"'~" н в";"" — компоненты соответственно симметричного и кососимметлрьичного (ло выделенной паре индексов) тензоров. Тогда и"«З" о"„"" =О, ..аз... (1.36) Действительно, наряду со слагаемыми и '~" о"" " в свертке " ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
