Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 3
Текст из файла (страница 3)
два дэа ' (1.15) Так как взаимные. векторы ортогональны к координатным поверхностям (см. (1.7)), они не могут лежать в одной плоскости. Поэтому произвольный вектор и можно раскладывать как по основным, так и по взаимным координатным векторам: и = и' К, + иК, + и'К, = и'Кч — — и, К' + и,'К'+ и, К' = и„К". (1. 13) Коэффициенты разложения и', из, из называются контраеариантными компонентами (составляющими) вектора,, а иь из, из — коеариантными.
С помощью равенств (1.8), (1ЛЗ) устанавливаем, что и, = и . К„из = п К'. (1.14) тза основе равенств (1.15) можно дать следующее аналитичекое определение вектора: е любой криволинейной системе коррдинат вектор определяется тремя компонентами (иь из, из нли Щ из, и'), которые при преобразовании координат (1,9) преобразуются по формулам (1,15). 9 д. пОнятие О тенЗОРВ Приведенное в предыдущем параграфе аналитическое определение вектора допускает обобщение. Пусть в какой-нибудь истеме координат некоторая физическая или 'геометрическая величина описывается компонентами с верхними (контрава- ,, ~,.'.риантными) и нижними (ковариантными) индексами, например :йс(,',Г , Если при переходе к новым координатам указанные компо,",,„«, ненты преобразуются по каждому верхнему значку, как контра',,ь, вариантная компонента вектора, а по нижнему в как коеариант-';;,,' ная, то определяемая ими величина называется тензором.
Компоненты, имеющие только верхние индексы, называют . контраеариантными, только нижние — коеариантными, верхние ,и нижние — смешанными. Общее число индексов в компонентах тензора называется его рангом, или еалентностью. Число значений, принимаемых каждым индексом, определяет порядок тензора. В общем случае для тензора важен порядок следования ин. дексов в его компонентах. Поэтому при использовании разноименных (верхних и нижних) индексов ставятся точки.
В тех случаях, когда порядок следования индексов несуществен, точки опускаются, и индексы выписываются подряд. Например, если некоторая величина в какой-нибудь системе координат определяется, как и вектор, разнотипными компонентами ип, или ип, или и;~, или и' и если прн переходе к новым координатам той же величине соответствуют компоненты ие „ или иег, или и;,1', или и' „причем дэ' дээ е, , д8' дэр игр=паз —.
т, и ~ — и в дэ~ д8~ дэ~ дэз дэ дэ~ е д9~ дэз иск=и з —,— 5-, и', ич -~-~- — 7г, Р а д9Г дэ ' ° ! ° В д9 д9 то эта величина является теизором второго ранга. Нели 5 1= 1,2,3, то порядок тензора равен трем. Ниже все тензоры будут иметь третий порядок. В свете данного определения вектор следует рассматривать как тензор первого ранга, а скаляр — как тензор нулевого ранга. Пусть в некоторой системе коврдинат заданы величины Ьи (1,1='1,2,3). Если пРинЯть, что пРн пеРеходе к новым координатам они п(1вабразуютсй в велцчццзе"Ьгр(1', 1' ы Г,'22!9)» 'у;. ио соответствующим ф!зрмулам" (1.79), 'т(7 тем 'евмйм 'йа осцпце,.
':."'-" ! Ь!г бУДВГ СКОНСтРУИРОВаи тЕНЕВР. ТаК жк Какй»РУ(2РУЮтеи. аз!в'-' зоры по компонезг»ам других тикаю. Построим, например, тейзор на базе введенного равенятязз(к,,$"'!,! (1.0)'.символа Кронеклра б~!. Полагая в исходной ццстемв'ю ординат и,' =02, приписываем койструнруемому тензору ц,про- цзволвных координатах 9', 82', О" смешани)яе компйненты е и! = Ь|! — —, =', Ь!. "дз" да! дз! Такцм образом, построенный тензор второго ранга в любой си- стеме каор)гниат имеет своими смешанными коцпонеитамй сим- вол!з Кронекера. Поэтому его,называют тензором 'Кронекерй.. Вектор задается компонецтами, меняющимкся при перехвве от одной системы координат к другой, оставаясь при этом нн; варкаитным объектом. Запись (113) подчеркивает это. Дейст!;!!.; вительно, согласно (1.11), (1.15) дв», дз» и»'11 ° = и»%» — 2 и'" !й иЩ дв» да»' »»' н и це зависит от выбора системы координат.
Теизор тоже является инвариантным объектом, более слож- ным, чвм вектор, и не таким наглядным. Чтобы подчеркнуть инваривнтность тензора, используют прямую форму записи, ана- логичи~ю (1.13). Например; пишут(! и'»КЛ»нли Т =г',В;;:тХ )<ф,К ... 11". Формальные образования вида к!!Гу,!Г!кр, !Г!1(г, к$~ называют координатными диадами, а более сложные типа к ! ...
1(з — кооРдинагными лолиадами, Диады и полн»ды можно' образовывать не только из координатных векторов. Сле- дует обратить внимание иа то, что лерестановка элементов диа(2 и лолиад лривадит к новым диодам и лолиадам. Так, диады 14!142 и 1Ж! не тождественны. $4. »4етРический тензОР Пусть М вЂ” некоторая фиксированнця точка пространства е радиуе-вектором.)Г(61, 82, Вз), а М' и М"-две бесконечно близ- кие к ней точки с 'радиус-векторамн 1((01+д81,02+двз, 6'-1- + 2!02) ц 1Г(0!+ 00',8'+88', 6'+ 802) соответствс)гио (рис.
3). Вычислим квадраты расстояний между парами точек М и М', М и М" и косинус угла т-между направлецкямн ММ' и ММ": (дз)2=ЬЩ'Р-~ Н(В!+д01, В'+дВ', В'+дВ') — К(01, О, Вз)!2= (11 2(6») ° (!! дВ») (1Г„° 11 ) дв'дВ», (1.17), (ьз)2 =! !!н" 12 (1Г» ° !Г )бв'ьв»; ей' ей" (Н» Н»!ЕЗ"да» Г-Гз 11З, 1- — '-2» —, ».!а! В формулах (1.17) ь (1.19)! 1Г! Й1(61, 02, 0'), зе йм, й!13 92! »22 .фзэ З! .
22 вЗЗ 911! к!21 й!3 й!2!. 922 922 й'з!. 922» К 9 !(7" ! (1223)1,2 Ы = ! Ы!г !»" Из равенства (1.21) следует, что величина-й!!! лйляется влгеб" раическим дополнением элемента д!г.в определи!геле )ф21~, де- ' ленным. на 9. Кроме того, по изВестному Правилу перемв»2»йенни ' !й Вцедем Ввццчлны ;, .н;и.,: яи- 1»1,р(,-91=Р! "Вз '(1,!9) ,.~' й!1ЕЖду ийми существует связь; КотоРТКг Нетрудно установить. ',"., 'Йлц, это»о разложим взацмйззе,координатные ве(стары пд основ- :!»!':2-':лз»м; Й! .
а!»)1 . умивжан:выписанное разллбжейие скалярннб иа .', Й', кзхойим й!!! »:»'.и!1,. Таким образом„ справедливо первое. из ',; .дмдующйх равенств: !Г! 9! В., 1Г,-ба». (В28) ,~' Второе проверяется зналогичко. Из (1.20) следует, -что У;.1„! б!,= Н . (»! = 9!»6,»Н, 11» — 6!»9!»0» йули,, т. е.
- С помощью (1.11) нетрудно установить, что величины (1.19) с изменением коор2(инатной системы преобразуются по форму', ',' лам (1.18). Поэтому, они определяют тензор второго ранга третьего порядка,. притом один н тот же. В символической, ф записи его представляют-как р й!» — 12 о» вЂ” п»12 й!»»В о д»з (1.22) Используя (1.19), переписываем ра. кеиства (1.17)ь (1.18), в виде (дз)2=1~Щ'! 9 .дВадВ» в, (бе)2 ! Л(в 1' 91, 00»00»', (1,17)2 й „0.»0» 9 ~Х» !!.!2! ! . 8.' ... ' откуда следует, что величины (1.19) определяют метрику пространства в каждой его точке. Поэтому определимый гимн', тензор (1.22) называется метрическим. Так кнй смещаниыц.
компоненты метрического тензора в любой коврдцнатйой сйстеме совпадают с символами Кройекера» то метрический.танзер есть ' тензор Кронекера (см. $3). Введем в рассмотрение определители определителей из (1.21) следует, что дй = ! в'ззйа" ! = ! б! ! = 1, т.
е. у=1Ф (1 24) Для ортогональных координат йн —— 'О и аз! = О при, !'~ 1'. Если координаты прямоугольныг декартовы, то й! =дО=й(=бн Здесь и далее бн = 1 при !' ='! и б!! О при ! Ф ) (ср. с (1.0) ); б!7 называем .также символом Кронекера, или дельтой Кронг'кгра. Величины (1.19) позволяют связать между собой ко- и контравариаитные компоненты вектора.
Так, с учетом (1.20), (1.13) имеем и=и"й =и йвзй'=и,й"=и,й" йа, а е - 'аа откуда из-=и,уз!, и =иаа л (1.25),, Производя те же преобразования над тензором второго ранга 1) = иаей й = иазй й йтйз и йайз = находим, что и" =и,„д"'й, ис;=и" д !й и и.!=и,!й"' (1.26) а! З1 за представляют один и тот же тензор, но компонентами разного типа. Из (1.25)!, з н (1.26) следует, что метрический тензор позволяет онускать и поднимать индексы в компонентах векторов и тензоров второго ранга.
Этот прием применим к тензорам любого ранга: ковариантный индекс поднимается согласно формуле (1.25)!, а контравариантный опускается согласно (1.25)з. Подсчитаем скалярное произведение векторов и и ч и ' ч.— и~оз (йа ' йз) ~ изозуа изоа ивов = иао,зт"З. Отсюда !и !з=д и"из=узап„и =и и" за соз (и, ч) = а "и,о /(! и ! ! ч !), Пусть кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями 0'= 0'(8). Тогда согласно (!.!7)з для нее ив~ лв~ (йз) каз,~б йа (й8) ° и 'длина дуги этой кривой между точками 8 =,8', 8 = 8" равна з Равенства (1.17)з, (1.18)з позволяют установить геометрический смысл компонент метрического танго!э!а.
Так, рассматривая элемент дуги 8'-линии (а8! ~ О, йбз =.й0 = О), получаем первое из следующих равенств: ')7 й! ! й8 йвз = ч7йзз йб йзз = '~йзз йбз. Остальные выводятся аналогично. Итак, Ч!йи — масштабные множители между дифференциалами криволинейных координат и отвечающими им дифференциалами дуг координатньзк линий. Косинус угла 7!!! между 0'- и О!-линиями находим, считая й0! —.
8, й0! =О, й0 =О, 58 -О, 501~0, 58 =О (!чь)'чи Ф й чь !): в!)' соз 28 = 17еззяп Таким образом, ковариангные компоненты метрического тензора с разными индексами определяют углы между соответствующими координатными линиями. й 3: ДИСКРИМИНАНТНЫЙ ТЕНЗОР И СВЯЗАННЫЕ С НИМ СООТНОШЕНИЯ Компоненты дискримннантного тензора (или теизора Леви— Чивита) определяются равенствами Э,,=й (й1Хйз), Э' =й' (й Хй"), (1.27) То что эти величины являются компонентами тензора (см. определение тензора — З 3), устанавливается с помощью (1.11), (1,12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
