Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 7
Текст из файла (страница 7)
системе координат, связанной с' какой-нибудь совокупностью тел. Эти координаты называют пространственными. Мы будем считать их, вообще говоря, криволинейными н обозначать через 6', О', 6'. Для прямоугольных декартовых пространственных коордияат используем обозначения хь хь,'хь, а для их ортов — еь еь еь. Положение в пространстве любой материальной точки М можно определить радиус-вектором и, задание которого осуществляется заданием координат 6', О', 8' точки М. Точка движется, если в зависимости от времени Г меняются ее координаты, илн, чти то же самое, ее радиус-вектор 6'=6'(М; 1), '(2. Ц 1(=Й(0'(М; 1))=хь(6'(М; Г))е«Й(М; Г) (2.2) (здесь и далее 9' в аргументе функций означает весь набор соответствующих координат, так что 1(8') = )(О', 0', О'); точку с координатами 0', 0', 6' будем называть точкой 6').
Эквивалентные друг другу соотношения (2.1) и (2.2) называют законом движения материальной точки, причем первое представляет закон движения в координатной записи, а второе — в векторной форме. Достаточно задать любое из инх, чтобы определить движение точки. Сплошная среда — это непрерывная совокупность материальных точек, заполиякпцих в момент времени Г некоторую трехмерную область У(1). Для любого 1 каждую точку среды можно определить пространствсниымк координатами 8'~ У(г).
По определению, движение сплошной среды известно, если известно движение всех ее точек, Следовательно, закон движения сплошной среды можно получить из (2.1) илн (2.2) замеяой М «меткамя» точек среды. В качестве таких меток используем цространствсаные координаты точек среды в некоторый 88 м КСНраиаНИЫй МОМЕИт, ВРЕМЕНН Г =йь, Этя'КООрдииатм'ОбОЗН4» м через ьо', ()', ~ч.
Очевидно, что 6' ее У((ь) ~Уз.' 'Тогда за- движения сплошйой среды можно представить и векторной рме ° Вф ® У. йь; Т)3, х.|8((6', 4', 9:.Г)3е. %(9',"1) „(О; Г)е~, 6 ЬВ'У, ' '(2;3) ' . о задать его в координатах Ф ' 6'(б',()е 6в.г) ()1'еУ .
- '(2.4) . ла1но спобобу введения меток 9', Оь, Оь'должно бмть' . Ф -0' Ж 4ь, ()ь; Г.), (2.6). = в~О'(б', б', 6»1 гь)1 = х.(0'(9', Ь', йь; Гь)] е„- й'. (()') е. к (О*; 1~), 4' ~.У, ' (2 6) ° 4 (б') — радиус-вектор точки среды при й = гь. Относнтепьфункций (2.3) — (2.6) предполагаетс1г необходимая, гладкость всем аргументам. Йсли задана векторная фуйкция (2.6), то1 говорят, что укаа отсчетная конфиеураиия сплошной среды. Заданием же , .3)янтарной функции (2,3) определяется генуи(ал-, конфигурация "ф~~ф4ошной .среды. -':'.', „'"Располагая соотношениями (2.3) — (2.6), мы получаем воз',' „~нежность проследить за движением отдельных материальных -'.::точек среды, материальных линий, материальнььх поверхностей ' В:Объемов среды, т. е.
линий, поверхностИ: н обЬемов среды; во ,вес время движения состоящих из одних н тех же ее матерналь,Мых точек. Действительно, О' — метка ' точки среды;,Полагая Ф Оь и подставляя этн значения в (2.6) и (2.$), (24); нахо'дим при помощи первого из них положение этой тояки в бтсчетной конфигурации, при помощк последних двух — ее 'поло.жение в текущей конфигурации и соответствующие простран, ственные координаты. Чтобы выделить материальную лянию, достаточно принять 9'=6'(6), где Оь < 8 я~~91 — некоторый параметр, и.подставить эти значения в (2.6) н (2:3); '(24): Соотношения (2.6)- позволят написать параметрйчесяое уравнение втой линии я отсчетной конфигурации, а (2.3) — в текупхИ кон-' фигурация, 'Наиример,,если ()' А н А О, х»=0, хь-хь(9) 6 нри Оч~9'~хе, то в отсчетяой конфигурации материальная лиии9 представляет собой отрезок оси хь.
Пусть закон движения среды имеет вид И= .(й,; 1)е.,,(й,; 1)-12,, х (х,; Г) гь(х»э+х), х (х,; Г) гй,. Тогда рассматриваемая линия в текущей конфигурации определяется следующими параметрическими уравнениями: х1, х, (О, О, 8; 1) = О, х, = х, (О, О, 0; г) = гзез„ хз=хз(0, Оф 0; г)=ге. Иными словами, в текущей конфигурации рассматриваемая материальная линия превращается в дугу, параболы, расположенную в плоскости х~ = О, для которой О( хз ~1хз.
Для материальной поверхности можно провести аналогичные рассуждения с той,лишь разницей, что следует положить 6' = 0'(и, и), где и и и — 'параметры, изменяющиеся в некоторой двумерной области, Каждой точке среды в отсчетной конфигурации должна соответствовать одна и только одна точка среды в текущей конфигурации. Это значит, что формулы (2.4) устанавливают взаимно однозначное соответствие между координатами 0' и б прн любом й и (2.4) можно рассматривать как некоторое преобразование координат 0' в 0'. Используя обратные зависимости б'=е'(е', 0', е; г), (2.7) получаем преобразование 0' в 6', Параметры 8' моягно принять за криволинейные координаты, определяющие положение точек движущейся среды. Следует обратить внимание иа то, что при движении пространственные координаты точек среды изменяются со временем. Координаты же 8' остаются неизменными.
Фиксируя в соотношениях (2.3), (2.4) 0' и 0~, получаем закон движения в пространстве й-й (1Ф / Ф й ~1) материальной, нити. Фиксирование параметра 0' приводит к закону движения материальной поверхности. Для системы координат 8', 8', 8з указанные материальные линии и поверхности являются координатными и потому 0', ез, ез называются материальными координатами. Координатные линии и поверхности материальных координат во все время движения среды состоят из одних и' тех же материальных точек, Перемещаясь' и деформируясь вместе со средой, они изменяют свою геометрию и положение в пространстве в соответствии с законом движения (2.3) или (2.4). Поэтому базисные векторы материальных координат меняются ие только в зависимости от 0', ио и от времени й Координатные линии и поверхности пространственных координат проходят через одни и те же точки пространства и не зависят от движения среды.
Отсюда следует, что базисные векторы пространственных коо динат зависят лип)ь от 6', 8', 0'. ля описания движения сплошной среды используются как чатериальные, так и пространственные координаты. При этом может возникнуть необходимость перехода от пространствен- В (8";1) =11,16'(б; т)1 ав .
аб' ВДе'(б', г)1=В,(е'; 1) — "', (2.12) 2узях координат к материальным и наоборот, от материальных пространственным, Закон движения (2.4) и обратные ему ва- исимости (2.7) позволяют осуществить замену переменных б ''на 0' и 0' на 0' для любого момента времени. Но этого недо"'статочно. Необходимо связать базисы обеих координатных си','стем, О ионные и взаимные координатные векторы црострвнствен,:рых н материальных координат вводятся по формулам $1 с.у ее .ч'том (2.3).
Основной и взаимный пространственные координатные ба"",' зисы определяются по формулам В =-11 (О') = — В ° 11з=.бь. (2.8) дет ' з*. В текущей конфигурации (при произвольном 1) основные и взаимные координатные векторы материальных координат ,Д' равны "'1, й,=й,(б~;г)= —, р, йз=б,з. (2;9) еь дбз В отсчетной конфигурации (при 1 = (з) В (ез, ) ~~ (ез) дел(в"; зо) .~с В силу (2.6) .'г; о Й (б ) = — '" (2.10) дб~ Векторы (2.9) и (2.10) образуют соответственно материальный текущий (основной и взаимный) и материальный отсаетный (осноеной) координатные базисы. Взаимные векторы материального отсчетного базиса определяются согласно й, В'=Ь!.
(2.!!) Из (2.3), (2.9) следует, что при любом 1 дй дн ав"' му авз а 6~ дК ай абз дбз азу Следовательно,, На т н аланы е рудно .провейнть, что Взаимные 'иоордннатные Мент ер х н пространственных координат-связаны равемсгвамм оры ',мае % (()'; «). й)') 9'(()"! «)3 ~„' ° а'194(б', «Ц %'(6', «)+. дйа ' 'ИтаК, и л б юбой момент времени «материальный текущий н пространственный (основной.н взаимный) координатные базисы (1.!2). Иначе гово я связаны зависимостями (2;12), (2.13), совпадающими с (1.1! )' оря, для одного и'того же момента времени материальные и пространственные координаты вл П р волинейными координатами, введенными в проя яются раз= стрзиствениой области У(«).
Этим будем пользоваться в нейшем, ног а а д р ссмотренне вопроса связано с исследованием мени «„т. е. теязориых величии и соотношений в произв й ольны момент времени „ т. е. для текущей конфигурации (например, построение теории напряжений). Очевидно, что в этом случае неважно, в мате каких координатах вести выкладки, в пространственны риальиых текущих (не зависящие от времени 0' и изменяющиеся во времени для одних и тех же 9' базисы Й~ и 1(т), -(6~ + 1 ) .лм(У )+ ай Н ~9' (6', ()', Ж; « + й«)3 я~ Н ~9'(6', й', йз; «)) + †" — Ы, ав" дг ЛН- — „, б«= Н.(,9'(9', 8", 0'; «)] — б«, дт то й !З. ПОЛЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ И ПОЛЕ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Рассмотрим двнжеина произвольной материальной точки 8' сплошной среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
