Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Отмечаются общие свойства движения вяз-. й несжимаемой жидкости. и ее течения в пограничном слое. Предлагаемая книга доступна читателям с математическ9й 'ф„-~~подготовкой 'в объеме технического вуза. Поэтому авторы берут ~Вр„."на себя смелость рекомендовать ее в качестве учебного посо- 1,!т::„:."бия не только для студентов факультета прикладной матема- :.:"Ф'';:". тики, но и для студентов, аспирантов и инженеров, которым Ф'-' '~~!!~" в той или иной степени приходится. сталкиваться с решением ,;„':,,"; задач механики сплошных сред.
Авторы глубоко благодарны акад.,В. В. Нойожилову, проф. М':,- В. А, Пальмову и ст. науч. сотр. П. А.-Жилину, ознакомившимся '1 ':,', е рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний. Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Геометрические или физические величины, а также соотношения между ними удобно рассматривать в соответствующих системах координат. В то же время подобные величины и соотношения от выбора координатной системы не зависят, т.
е. инвариантны при преобразовании координат. Этим можно воспользоваться при их изучении. Например, длина дуги кривой инвариантна при преобразовании координат, и потому при определении ее предпочтительнее тот способ аналитического задания кривой, при котором вычисления наиболее просты. Одна и та же поверхность в различных координатных системах задается различными по форме уравнениями.'Однако характерные свойства поверхности никак не связаны с системой координат, и при их изучении допустимо использование наиболее простого (канонического) уравнения, В этой связи достаточно напомнить теорию поверхностей второго порядка. В трехмерном евклндовом пространстве рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат х„ х„ х, и х,'хз хз с ортами е„ем ез и вг, ез, ез соответственно и общим началом.
Одну и ту же точку пространства можно определить координатами хь хь хз или хгч хз, хзч связанными 'меи(ду сйбой зависимостью хе "" 1) ззх ° (0.1) Здесь и далее, если специально не оговорено, все буквенные индексы принимают значения 1,2, 3; по индексам, обозначенным греческими буквами, производится суммирование, при этом знаки сумм опускаются. Иными словами, выражение (), х„означает сумму з.
~ йьзх,. з 1 Соотношением (О.1) определяется преобразование декартовых координат. Если якобиан б=~ ~,~1=~дхг/дх,1Ф О, то преобразование называется допустимым. Аналитической характеристикой любого вектора а могут ,;.; ';: служить его компоненты. В рассматриваемых декартовых коор:-;„"д,".
динатах они вводятся с помощью равенства а =а„е„=а,:е;. Как известно; компоненты а, и аз связаны соотношением, ана,, логичным (0.1): дхи и=азы ©' ~ы дх '(0.2) l Итак, в различных декартовых системах координат один и тот же вектор определяется различным набором компонент, и отражением его инвариантности является связь между компонентами типа (0.2). Если какой-нибудь инвариантный математиччскнй объект удобно аналитически охарактеризовать компонентами, то так же, как и для вектора, эти компоненты достаточно задать в некоторой исходной координатной системе. В любой другой си. стеме координат их можно вычислить, зная- соответствующее преобразование координат.
Закон преобразования компонент ннвариантных (физических или геометрических) величин при переходе от одной системы координат к другой можно положить в основу их классификации. Два класса таких величин — скаляры и векторы известны из-теоретической механики. Масса и кинетическая энергия принадлежат к первому классу, скорость и ускорение — ко второму. Скаляр можно определить как величину, которая в каждой системе координат имеет одну компоненту, инвариантную отно, сительно преобразования координат. Соотношения (0.2) можно положить в основу определения вектора как величины, которая в прямоугольных декартовых координатах определяется тремя компонентами; преобразующимися по формулам (0.2) при преобразовании координат (0.1). В данной главе рассматриваются более сложные, чем ока.
ляр или вектор, инвариантные математические объекты — тензоры. Изучаются их свойства и определяются 'основные тензорпые операции, т. е. операции над тензорами, результатом -которых являются снова тензоры. При этом используются произвольные криволинейные координаты. - По отношению к произвольным криволинейным координатам определяются компоненты тензора. Закон их преобразования с изменением координатной системы является обобщением зависимости (0.2).
Скаляр и вектор оказываются частнымн видами тензора. В настоящей главе содержится лищь тот минимум сведений из тензорного исчисления, который необходим для чтения последующих глав книги,. 'й $ КРИВОЛИИИИИВЗяхКИОРДИИАты Рассмотрим обычное (точечное) трехмерное евклндово про-,„';" странство. б(арактерным его свойством. являетс)с возможность ввастн, прямоугольную декартову систему координат. Орты'этой, снятемы бУдем обозначать чеРез еь еь е„в сами кооРдпОаты — ' через хь хв хз. ' Точку евклидова пространства можно определить такжекрн-,: волннейнымн коордннатамн О', 0', 0', связанными с декартовымн соотношаннямн (рнс. 1) зб(зб) хс =хс(0', О', Ов). (1.1) (С Будем считать' соответствие эг (1.1) взаимно однозначным. Эв Тогда якобнан П=!ф~О (12) н преобразование координат вв(зс) (1.1) будем называть допустив,(е,) Геометрическое место точек, для которых 8' = сопя!, предРис.
1. ставляет собой поверхность,называемую с'-й кооРдинатной поверхностью. Пара координатных поверхностей 8с = сопз1 н ' 81 =сопя! пересекается по линии, вдоль которой меняется лишь координата -Ов (с'Ф !Оьй-ь с). Ее называют й й координатной линией, нлн 0'-лннней. 'Радиус-вектор точки с координатами хь хь хз равен К = х,е1 + х,ез + х,е,. (1.3) Еслн хс = хс (О', 0', О'),'то К=К(6', 8', О').
Векторы к,=— дп 1зб ' (1.6) касательные к координатным линиям, называются основными координатными. В отлив!ие от ес онн в общем случае не единичны н не взаимно ортогональны. Из (1.2) следует, что Кс, Кз, Кз не компланарны, т. е. К, ° (К ХКв)МО. (1.6) '- Наряду с основными введем взаимные координатные векторы ИСХМв в ИвХИс Кз йсХРв .17 в =в, Жхас "=в св,хвв " %,%хвб' С'С чевндно, что онн удовлетворяют условие ~0 прн ! чь Ь. хК' ° КС Ь~~ 1 - . ' ' (!.8) 1.! прн вепства (1.7) и (1.8) эквнвалентны (показать) и в равной епенн являютея определением взаимных координатных векров. Установим закон, по которому'преобразуются координатные вторы прн переходе.от старых координат 0', Оз, Оз к врвым О", Ов': „ 0« =0«(8', Оз, О').
(1.9) гласно (1.5) дя дп дза дэ' (1ЛО) дзс дэа дэс даб апомннаем, что по повторяющимся индексам„обозначенным еческнмн буквами, нронзводнтся суммнрование (от 1 до 3), н этом знаки сумм опускаются. Итак, эс „," дза . КС' = Ка 'в . даб (1.1 1) ,',~7„-; .Взаимные координатные векторыпреобразуются по формулам КС =Кз дэз ' (1.12) Рис. 2 Равенства (1.12) нельзя установнть аналогично тому, как быс(о ' получено (1.11), поскольку взаимные координатные векторы не ':" " связаны непосредственно с днфференцнрованнем радиус-векто: ра, Поэтому поступаем ннаяе, проверяя для векторов (1.11) н (1.12) равенство (1.8).
Действнтельно, даа дэя даа дЭС' даа дОГ да« ' а а' да«дэа с аа д~г .,"'„так как крнволннейные координаты независимы. Поясннм введенные понятия на примерах. Декартовы координаты — частный случай крнволннейных кпспздннат. Для ннх координатные поверхностн — плпскостн, па,"раллельные координатным плоскостям; коордннатные линии =. " .. 'прямые, параллельные осям координат; оеновцыв коордннатпме ' .'векторы единичны. Если декартовы координаты ортогональны, -' то основные координатные вскторы совпадая!т со взанмнымя. В с!илиндрических координарах 0' «, Оз И, Об=на (см,.
рнс. 2) К=ге«(!р)+хе„е,(ср) е,созср+азз)пср. Основные координатные векторы равны ди дК де„ К1 = — = е (Ф) Кз — г —" = ге дг др ее ч Кз = ез еч = — е, з1п ~р + е, соз ~р. Нетрудно проверить, что эти векторы взаимно ортогональны, что из них К~ и Кз единичны, ~ Из~ =г, так что К~ (КзХ Кз) = г. Взаимные координатные векторы (1.7) .имеют вид К езХез=ег К1 К „(езХег) еч з Км 3 1 1 К'=е, Х е„=ез'= Кз. Координатные поверхности: г = сопя( — цилиндрическая с осью г„<р = сопз1 — полуплоскость, ограниченная осью г; г = = сопзТ вЂ” плоскость, перпендикулярная оси г, Координатные линии: г-линия есть луч, выходящий из точки на оси г перпендикулярно к ней; ~р-линия является окружностью с центром на оси г, расположенной в плоскости, перпендикулярной осн г; г-линия — прямая, параллельная оси г.
9 г. кОВАРиАнтные и контРАВАРНАнтные КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА Следовательно, коеариантная (контраеариантная) компонента вектора равна скалярному произведению вектора на соотеетстеующий основной (взаимный) координатный вектор. Используя соотношения (1.14), (1.11), (1.12), получаем закон преобразования ко- и контравариантных компонент вектора прн переходе от одной системы координат к другой дэ' дв" ие и К п К вЂ” =и,—,, а дэз а дзз — а дэ — а дэ иг = и ° Кг = п ° К' — = и' —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
