Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 10
Текст из файла (страница 10)
о Разности (й» вЂ” д»)/2 прн преобразовании ' матернальных координат нзменяются,.как коварнантные компоненты тензора второго ранга, притом симметричного. Связывая этн компо- О ненты,с материальным отсчетным базисом К', прнходям к тен- зору деформации Грина о о ! с ь = е,~йяе, е» = — я» — к!ь).
(2.58) Еслн те же компоненты отнести к материальному текущему базнсу К', то получим тензар деформации Альманси в=О„К"Ке. 0»= ! (й»-~,,,). (2.59) Это различные тензоры, хотя нх коварнантные компоненты совпадают. Компоненты других типов уже не равны, поскольку прн поднятнн индексов (см. $4) приходится использовать разо о о личные компоненты метрического тензора: й» = К' К! для тензора Грина н у»=К' 11' для тензора Альмансц. Прн помощи тензоров деформации н равенств (2.53)— (2.56) формулы (2.57) можно представить в виде (йз)е — (с(з)е=.~2е, —,—,~ (Нз)е= ло ло (2е (1. 1( )(1.
1(е)](дз)е =21 Ю 1(!Ь)э=21 9 1(дй)е, о соей, и-соЗХ, п —— о о (2.60) ь е о о Глг Ьо + сов Х 1 — — — 1~ !псле ЬЕ лЯ. Ьо. 21, 9 1и —,—. ле Ьг гв Ы +соей! и ~1 д .'~Е дй с(з — лина линейного элемента в текущей н отт оситвльнов ной- крнфнгурацнях соответственно, то его относи в линение можно определить одной нз формул о о Ло (2.61), 1',. о а ле- ве ле (2;6Ц, Велнчнны Е! н Е! связаны бчевндным соотношением А",о ' 'ч 'В силу (2.60)! 1+ Е! (1 — Е!) (2.61)е (263)! о 4!- и --и/2, Х, „=и/2+ф 2г! В "ги (! — Е",,)(! — Ю,„) ' (2;63)г' Е, = (1+ 21 Ж 1) ив Е,=1 — (1 — 21 В 1)Ч', где 1 н 1 — направление,, о е рассматриваемого линейного элемента .
Фо м лы в отсчетно н те й екущей конфигурациях соответственно. ормулы с е ы в точке 0" 'о(2.62) определяют относнтельное удлинение среды в точке , в направлейнн 1 отсчетной конфигурации нлн в направлении 1 „ текущей конфнгурацнн. Предположим, чт о в отсчетной конфигурации линейные элес менты среды ортогональны. Это значнт, что Х, „— =я,2.
Угол между теми же элементамн в текущей конфигурации пред- 1, и о о ставим в виде Х! и — — л/2 — ф, и.. го ф~, и р , и — — .. л, и едставляет искажение в результате деформации первоначально прямого угла между лн е ым й йнымн элементамн н называется сдвигом,жду Правленнямн 1~ н 1». Используя (2.60)м.находим, что о о о 2! Е 1!! (!+ Е,,) (!+ Й,п) ' ' Аналогично определяется сдвиг фи и между р ж нап авленнямн 1! н 1и н три вещественных главйых значения, которые опреде, лаются уже известным'способом (см.
3 13). Оба тензора исследуются одинаково. Поэтому рассматриваем лишь д'. Главные значения тензора Ю являются корнями уравнеиияез -' 7>е~ + ?зе — ?з = О, коэффициенты которого представляют собой главныв инварианты гензора д' н равны ?е багз — еа > Ха а' 2 = о бзаеаег = е (еаег — еаза/, ,е > азха > >'аг эат (2.72) ,е > еаге е ь о >! оа>1 ез = — Ь„„еаегее,е> = еыд П усть еи> — главные значения тензора д', а е»>, е<з>, ехз>— о о о о его главный векторный базис (Ж е»>=е»>е»>, е»> еи>'=бц— дельта Кронекера) в произвольной фиксированной точке среды М в произвольный фиксированный момент времени б Выберем материальные координаты О' так, чтобы в отсчетной конфигура.ции (прн ! = гз) в точке М их основные координатные векторы о о о о совпадали серь т.
е. Й>=11>="е>о. Тогда в этой точке в рассматриваемый момент времени (см. (1.73)) Ю =е „Ц~К =е>еое>а>е>а> оа'г (2.73) ец = е>ц> — — е>цбц (е>ц> — физические составляющие тензора д'). Из (2.?3), (2.71) следует, что з!пер>ц> — О.
Это значит, что сдвиг между главными направлениями отсутствует. е?ингйные элементы, выделгннь>г в отсчггной конфигурации вдоль главных направлений тензора д' и потому ортогональные между собой, остаются взаимно оргогональными и в текущей конфигурацись Далее, согласно (2.70), (2.73) главные удлинения (удлинения линейных элементов, направленных в отсчетной конфигурации вдоль нао правлений е»>) определяются по формуле Е»>=(! + 2е„>)' — 1, (2.74) 'На основании экстремальных свойств главных значений (см.
о о о 3 13) заключаем, что векторы а=1, 1 1=1> при которых вео о личина-еци — 1 д'.1 экстремальна, есть главные направления .еец тензора д', а экстремальные значения е<еч> совпадают с главными, значениями этого тензора и определяют относительные удлинения .вдоль' главных направлений (см. (2.62),), 60 Итак, для любой точки среды относительное удлинение Е> ;"экстремально по величине вдоль главных направлений тгнзора д' и равняется главному удлинению (2.74). Если перенумеро'.'вать главные значения в порядке убывания, т.
е. е>н ) е>е> ~ о '' ~ е>з>, то в главном направлении ец> относительное удлинение о :, 'максимально, а в направлении ем> — минимально. Главные направления тензоров деформации Грина и Аль'манси объединяют в одно понятие главных направлений, или славных осей деформации. Основное свойство главных направлений — сохранение взаимной ортогональности (отсутствие сдвига) при переходе из отсчгтной конфигурации в текущую и экстремальность относительных удлинений вдоль этих направлений.
В результате деформации орты главных направлений перемещаются, не меняя своего взаимного расположения. Длина о этих векторов может изменяться. Поэтому помимо ортов е<»,. определяющих направление главных волокон в теле до дефору ,.„'., манин, можно еще ввести взаимно перпендикулярные орты' е»>, определяющие направления тех же волокон, но уже после део формации.
Углы между ве)еторами е>ц и е»> характеризуют чистый поворот частицы вокруг ее центра, как вокруг неподвижной'точки. По своей физической сути векторы еи> есть главные направления тензора деформации Альманси. Действио о о о тельно, пусть 1> =е»> и 1п = ею — главные направления тена о ,'вора Грина. Тогда х, и — — п>2, >р, и=О, и для соответствую.
щих направлений 1> =е<е, 1н =в<>> имеем о о Х, и —— п?2 — Чз> п=я?2, ф, п=Х> „— п?2 О, а это и значит, что е>о и еи> — главные..направления тензора Альманси. Здесь мы использовали те.же обозначения, что и прн .выводе формул (2.62) и (2.63). Вырежем мысленно из недеформированной среды элемен,тарный параллелепипед, ребра которого направлены вдоль главных осей деформации и имеют длины йО', ййз, ййз. В.результате деформации его ребра удлиняются, становясь равными (1+ 2з>е>)ъйО> (см..(2.74), (261) >). Как-то поворачиваясв н перемещаясь поступательно в пространстве, этот параллелепипед ':", остается прямоугольным. Рассмотрим теперь вместо параллелепипеда элементарный шар радиусом е. Уже было установлено, что в результате деформации такой шар превратится в эллипсоид.
Но тецерь. мы 'можем указать направления и длины его полуосей: направле- ' ния полуосей определяются векторами еи>, полуоси элянпсоида равны е(1+ 2е»>)че, а(1+ 2е>з>)че, е(1+ 2е>з>) Зе. Можем сказать в! .также', как измшшлая абъем. частицы. Еелн да'Лефермвцпи е~ 'Ф гл э. объем был й»т' '-яеэ,' то после деФаръьэцпи Стал.:равным "1 У ' 4 пВ»И1+'2еш)(1+ЗМФ)(1 +2е~з)Ц%.
Кратность изменения объема частицы в 9)езультйте,деформации — — Ч~(1+ 2ед») 1+ 2е1я) (1+ 2ен) (2 79). ' Нетрудно видеть, чта такое же выражение иалучйм для 7, если частице имела форму прямоугольного параллелепипеда, о котором гвла речь выше. Больше того, при деформации объем лю'бой частицы изменяется согласно, формуле (2.75). В доказательство напомним, что локальное движение любой частицы-У сплошной среды можно истолковать как линейное преобразование окрестности точки 9' (см. 9 17)..В силу свойств линейного преобразования для частиц 6' любой формы и размеров о о отношение дУ/йг' будет одинаковым. Если ду н дт' — элементарные координатные объемы, т.
е, »Г 'Д»~ЮВ'шй л шГ=~Я(У»иа'в»ь та (2.79) вУ - я(В') где 9 (9') и у (О', Г) — определители типа (1.23) „вычисленныепо о компонентам метрического тензора у;~ (О») и ~и(0»; г) соотг ветст вен но. Предположим, чта в двух. разных точках среды М~ н М» до деформации выделены две частицы в форме шаров одинакового .'радиуса е. После деформации оба шара станут, вообще говоря, эллипсоидамн. Если эти эллипсоиды подобны, то говорят, что в точках М1 и М» деформация имеет один и тот же вид. Если же аллнпсаиды оказываются равными, то говорят, что в точках М~ н Мз деформации одинаковы, т.
е. совпадают и по виду, и по величине. Отсюдз следует, что вид деформации и ее величина в произвольной точке среды полностью характеризуется главными направлениями и главными значениями теизора деформации или, что то же самое, главными удлинениями. В главных осях всего три компоненты тензора деформации отличны от нуля, и нх достаточно для описания чистой деформации любой частицы. Однако предпочитают пользоваться шеетью компонентами тензора деформации, связанными с яроизвольно выбранной системой координат. Дело в том, что главные осн заранее не известны. Прн переходе от точки к точке 4.
':ивмензпатся, вообще говоря; произвольно. Поэтому с МиМи ьзя снизить никакой 'координатной системы. Переход к глав- осям деформации в тачках среды..производят главным обм, для' гаго, чтобы, осмыслить качества уже определенной рмацин, ;»Эайишем главные инварияпты (2,72) через главные аяачеапй )чью его+в +в, ~, у' ' евв„+апе +е„,в,, (2.77) 7» врвегФ»г личину эх ))1,„7 — 1 —,. (1 + 2вв>) (1 + 2е~я) (1 + 2еш) — 1 (2.78) лУ вЂ” лУ лУ зывают относительным изменением объема частицы, Прн ма- о , фгх удлинениях и сдвигах, когда Е~ ч' 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
