Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ча( ° ) ~ оа( ' ) Ча(' ' )* " .'Цбчезает разница между векторамн (2.30), (2:31), (2.18) (в об,;,", щем случае (2.30) и (2.18) — один и тот же вектор, но отнесен".,",~ный к различным. координатам): ч',.Ф"" 9~7=7. Очевидно, что тензоры деформации Грина (2.5$).н Альмвнси. (!г.59) совпадают, т. е. 8' 4), превращаясь в единственный тензор деформации ь.„- Е 8' 6; Е =еа'К"11~. Вычислим его компоненты. Если 6' ж 8' = хс — прямоугольные декартовы координаты ' ' с ортами е!, то (см. (2.69)) о а а ! 1 да, ди диа два 1 е ° з -~ + -~+ — ' — '!.
Ц Ц 3 Ьх~ дх! дх! дх! /' вт * В силу (2.84) и (2.83)а можно опустить подчеркнутый член н нолики над компонентами перемещения, так что 1У дх< ди ~ еи — — ~ — + — ~, и,=ц е,. 2(,дх дх ~' Это значит, что е геометрически линейной механике физические компоненты тензора деформации с одинаковыми индексами равны относительным удлинениям вдоль координатных направлений, компоненты жг с разными индексами равнь< половине угла сдвига между координатными направлениями; и относительные удлинения, и сдвиги существенно меньше единицы. Итак, в декартовых координатах 1 Уди; ди<Х (2.85) х< х< Так как компоненты тензора Е линейны по перемещениям, то его называют линеаризированным тензором деформации.
Переходя в (2.85) к символической записи, получаем 2 ~ д е~еь+ д е„ев1 2 ((Чп) + Чн). (2.86) 2 ) дха " Ь дх " Р ~ 2 При помощи (2.86) определяем компоненты линеаризирован-. ного теизора деформации в произвольных криволинейных координатах 8' Е = гьай'Кз, г<1 =- (Ч<и, + Ч<и<). (2.87) Главные значения тензора Е обозначаем через е<е, а глав- ные инварианты а Ф У< = е<ц + е<а> + е<а» Уа = ео>е<а>е<а>, Уа г«>в<а + еа,е<а> + е<а>е<а>. (2.88) При этом главные значения и первый инвариант имеют ясный физический смысл: относительные удлинения вдоль главных направлений равны соответствующим главным значениям еи> тензора деформации Е; первый инвариант тензора Е равен относительному изменению объема частицы среды (см. (2.78), (2.79)), т. е. вУ вЂ” ву а У> .
=У< =е«>+в<а>+ее>. На основе (2.83)а заключаем, что ги С 1. Тогда формулы ' (2.70), (2.71) примут вид е о о Е, Е<=ен ч): 1, з)п<Ри ~ <Р<1 — — <Ри — — 2еи. ыразим величину Л через перемещении. Для этого при вынии первого ииварианта деформации воспользуемся пряольными декартовымн координатами и ф р у ' ( . о м лами (2.85) дх, дха дха перь ос ается вывести упрощенные (с использованием стае нно, ) условия сплощности. Мы их получим непосред мулировав линейную задачу об определении .вектора перения по компонентам деформации.
чевидно, что Ч<и< =еи+ ь><р (2.90) <ьи — — (Ч,и, — Ч,и,) ! поненты кососимметричного тензора, которому соответ- вектор 1 1 ь>= ~ Э"вт<ь 11 = — ЧУ<',ц= — то( 2 Ьа т 2 удно видеть (см. $ 7, свойство 4; б 10), что 1 < —.— — Ч (Эмт<ь К ) = — Э " Ч<Ч изй де< — Эч"тЦ~(Ч, (Ч<иа + Чьил) — Ч„Чь~<) = 2 = — Эаат)1„Ч„(Ч>и + Чьи<) = ЭьатЧье< 11т' 2 (2.91) (2.92) ' — = Э~атЧье<ьРт' дб< льзуя (2.90), (2.9!), находим — Чи (аа е ма 1 ьау<'й (293) да< ношения (2.92), (2.93) можно рассматривать как систему оиентам иеии для опр й еделеиия перемещения и по 'компои яврмацни еи.
ео х ". Н б одимым условием ее иитегрнруемости тся соотношения (е ра + ь> ус о,) (еа~яа + ь> у( я ) деа — (Э ьтЧ„е<ь)ст) = —, (Э~бтр„еад$хт). д даа о из Их выполнено в силу (2.92) (для доказател аточно преобразовать левую и правую ч р асти авенс о (2.94) ьства тва к, .',;:,'„:! бз выРажению, симметРичномУ относительно индексов й и 1)в Втов рое нз соотношений (2,94) .приводит к уравнениям сплошности 'в.геометрически линейной механике Э а'(Ч«Ч,ва, — ЧвЧ,вао) =О; ,.
'(2.95) В прямоугольных декартовых координатах уравнения (2.95) имеют вид и называются соотношениями Сен-Ввнана, Те же уравнения (2.95), (2.96) можно получить, упрощая (2.82); При условии (2.95) уравнения (2.92), (2.93) интегрируются в квадратурах, так что м е= Э'отЧ,во й с(йо+е~, мт Гм о'в-[1» ~~«~во,в»1х о)вв в. мв м. + по + ео Х (й — йо) Здесь ио и ео — постоянные векторы, й и йо — радиус-векторы точек М и Мо соответственно, М' — произвольная точка на пути интегрирования от Мо до М. Формула и = по+еХ(й — йо) дает перемещение тела как абсолютно твердого; по — поступа- тельное перемещение вместе с точкой Мо, вектор ео определяет поворот тела вокруг точки Мо, как вокруг неподвижной.
Речь идет о малых перемещениях и поворотах, так как это предпо- ложение заложено в исходные соотношения (2.92), (2.93). Вектор е . определяет чистый поворот частицы сплошной среды. Для доказательства достаточно показать, что при е = О линейные элементы, выделенные по главным осям деформации, при переходе из отсчетиой конфигурации в текущую ие меняют своего направления. Рассмотрим произвольный линейный элемент среды, направ- ленный до деформации вдоль главного вектора еи~ теизора Е, т.
е. для него в в о(й' = й, о(0' = сЬеш. После деформации тому же линейному элементу соответствует вектор (см. (2.52)ьо, (2.29)) с(й (й + — ~~ай"=ай+(в „йй+ + е Х й,) в(0' = с(й.+ Е о(й + е Х с(й в аз [(1+ еи>) ев>+ е Х еиД 70 о '",«очО, то Нй = о(в(1+ его)еиь а это и значит, что, иаправ'иссматриваемыд линеййых элементов среды не меняется. Включение наро(графа отметим,'что соотношения геометвпинейной механики.не являются единственным вариан' их соотношений механики сплошных сред, упрощенных 'положениях геометрического характера.
В рассмотренчае повороты, т.'е. компоненты векто()а (2.91), имеют или более высокий порядок малости, что и удлинения гн. Можно предполагать только малость компонент деПии либо считать порядок малости относительных удлии сдвигов отличным от порядка малости поворотов. Прин- ".подобных упрощений предложен В.' В. Новожиловым и из"'еи"в его монографии [18).
'э '$22.МГНОВЕННОЕ.СОСТОЯНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ: 'М;„" ТЕНЗОР СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ. в,. ' РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЕ 'ф:ВВедепные нами характеристики движений (перемещение, тор поворота частицы, теязоры деформации) получены как кции материальных координат и времени.
Их удобно исьзовать при исследовании твердых деформируемых тел, 'да необходима информация о движении частиц среды, ее тввриальных поверхностей и объемов. В задачах механики ' Дкости и газа (в гидромеханике) и в теории деформировакоторых твердых тел достаточно 'знать" ха~йкуердй~'ики жйиия среды в точках прострапственной области, занимае- 'еЮ"в любой фиксированный момент времени. В Фаишг зат Вх' предпочтительнее пространственные координаты и харакристики' движения, введенные по отношению к мгкойбййому 'Ьииию движения среды. Это значит,' что'рассматрииии'лоо)эволле движение частиц среды, следует' приииматц.зк:.пхс%йт-„ д)в -конфигурацию, ту, которая соответствует, произвпдьиому рованному моменту времени й и считать, чтп текущая кой.
ция «отстоит» от отсчетиой на бесконечно малый проме-" времейн б); роль материальных координат 'будут'иь(йо,1". сз«ранственные координаты точек среды, соответств)ваз. ранному 'моменту времени 1 (в течение' бечркйййчйо. гЬ промежутка ирсмеии пространственные'"кобрдййатц,„щеды практически не изменится)"' усть 0', 0', 0' — пространственные координаты, которым етствуют основ~(ые координатные векторы й~ и взаимные ',1 Движение зададим полем скоростей в) ч ч(9', 0', 0', т) о,й«=о«йо.
дйоложим, что в момент времени 1.частицы среды (не,жно, какие) имеют пространственные координаты 9'. Вектор 71, — скорость относительного удлинения, ее<и! 1!гп —, =е,'„, (О', Ое, Ое; !) правлениям и времени б Величины (2.98), (2.99) являются ич зическими составляющими тензора ско д 4 рости еформаций Е'= йщ — =г' !тенг еЕ 1 в, = — (7г«1+ 7!о!).
Если ли де<о — главные значения тензора (2.97), то еегл (2. 101) — главные значения теизора скорости деформаций. Пусть ~й — относительное изменение объема части ы за время й. Согласно (2.89) частицы среды йй —, =. йвго + йегл + йегл = еУ =(7 ч)йна(й!««)й (й)7 и а"ч'=й'«' — объем одной и той же мент времени 1+а! и о же частицы среды в ма-]- и 1 соответственно). Отсюда находим ско- та (2.100) ч(0', 1)аг оп е е векто мал вме ( ', ) р делает перемещение среды за врем йг. Э я .
тот . р л вместе со своими пронзводнымн (йи)-'! (д«7дв!) и ч )Ж зированным (см. $21) огда соответствующий ему тензор деформации будет лннеари- 1 1 йЕ = 2 !7« + (7«) ] й! ° Ее)7В аге, (2.97) йги —— —,(7ео1+ 7!о,) й!. Здесь ч = ч(О', 1), 7 = Р 7 ', ), = й 7„— пространственный набла-вектор ), определенный в точках той части простра занимает с е а р раиства, которую р д в рассматриваемый момент времени !.
Смысл физических составляющих йг!и> тензора малых деформаций (2.97) нам уже известен (см. Оо 21): тельное лине м.: дг!ю — относи уд ние вдоль 1-го координатного направления, де!и! (! Ф !) — половина угла сдвига между !Ем и (чм коо динатиыми направлениями за время йб Тогда ее<!о !нп —,=г!'!о(0!, О', О'! «(2.98) р. ь относительного изменения объема частиц среды в мо,нт времени ! „= Вв —, г,'и+г, '+в!'„=7 =7 ° ч~йчч, (2.102) еу' . еа ч 7е! =г1!1+г!'„+г~ч! — ' первый инвариант тензора (2.100). чецидно, что условием несжимаемости жидкости является й!««~7 ч=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
