Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 11
Текст из файла (страница 11)
еи1 Ф 1, Ь е о + ееч + е„, = Х»г, (2.79) :~»Ч((Ными словами, при малых удлинениях и сдвигах первый ин,'" 'р~риаят деформации можно отозсдествить с относительным ив:-,','Тяенвние»1 объема частицы среды. Как 7, так н А зависят только ':.фф ннвариантов деформации его и потому сами являются инва„«,;франтами. й ЗЭ. УСЛОВИЙ СОВЭ»ЕСТНОСТН (СПЛОШНОСТИ) ДЕФОР1ВАЦИН -:,:,.9 Пусть сплошная среда заполняет некоторую, область пра.
;,~'-„'~фраиства т', ограниченную поверхностью Я. Возникает вопрос, эс,,т9ожко лн считать произвольный симметричный тензор второго апта Ю' с достаточно гладкими компонентами еи(9»; й) теизо- м деформации даинога- сплошного тела. Иными словами, ,~':;-' ажно ли, записывая еп в виде,(2.65) н рассматривая получен. цу"' ые соотношения как дифференциальные уравнения атиаситвнь. ,, о и~ (компонент предполагаемого вектора перемещения 'среды 'ф ' ', решить эти уравнения.
В $18 мы бпределили компбпеиты 'Ф формации через перемещения среды. Здесь' же мы расс)ватри ,ь баем обратную задачу — определение, вектора' Веремеще1иМ :,;.среды по заданным компонентам деформации; црнчем ъграни. 'йчимся выводоМ необходимых условий разрешимости этрй эа-, ''',Ъ:, дачи. В механике сплошных сред их называют ус'Ывиями'со-' вместности (сплошности) деформаций.' Согласно формуле (2.23) векторы ц(9', 1) и ц(0', Т) в: 11 равной мере определяют текущую конфигурацию среды. Поэтому формулировку обратной задачи несколько меняем: . 'Я ез .вместо вектора и будем определять вектор й, считая компо- ' ненты деформации е» известными. Очевидно, что (см.
$8,'18) о где "л ла" 'л 'ла' Оц = ал'',Оа,'ц, Оц = Ы Оа ц, о о о о 1 (да!л дя!л дди ) 7 ав' дв' ав" о С учетом, формулы (1.48) и равенства й» = Я»+ 2е» нетрудно получить следующие соотношения: о длил де!л да! Ол, =Ол, + —. + —. » — , Ц дВ! або дзл = о о о о о *= Ол, ц+ Ч!егл+ Ч!е!л — Чле»+ 2Оцз л= о о о о = калО» + Ч»его+ Ч!е!л — Члец, оЛ ла о о о Ос! Оц + аа (Ч!з!а + Чсе)а Чоец)', Ч!й, =Г!,й., (2.80) где о о о Г» — — кола (Ч!е'о + Ч!е(а — Чаец). (2.81) Уравнения (2.80) можно рассматривать как систему для определения векторов й» а вместе с ними и й.
Исходная метрика о й» евклидова. Поэтому о о о о Ч!Члй! = ЧлЧ!йи и необходимым условием совместности этой системы 'в силу (2.80) является равенство Чл (1 цйа) = Ч! (Г!лйа)~ т. е. коэффициенты уравнений (2,80), зависящие от компонент деформации, должны удовлетворять условиям о ЧлГ» + Г!! Гал — Ч(Г)л — Г !лГа! = О. (2.82) Из них существенно различны шесть. Если они выполнены, то тензору Ф отвечает некоторая деформация сплошной среды. Физический смысл соотношений (2.82) можно пояснить так 118], Если мы зададим компоненты деформации как произвольные непрерывные функции координат точек тела, то это 64 ;;. йдще не значит, что в результате деформации тело останется :.
(1плошным. Может оказаться, что, разбив мысленно тело до де,."формации на бесчисленнре множество бесконечНо малых парало ".'!)елепипедов с ребрами, параллельными координатным векто'". ам, и придав затем ребрам и граням этих параллелепипедов удлинения и сдвиги а соответствии с выбранными компоНеиНами деформации, мы не сможем затем нэ получающихся пааллелепипедов составить сплошное деформированное тело без оэазоров между гранями и ребрами элементарных деформиро"ванных объемных элементов. Таких зазоров не будет, если ком!поненты деформации подчинены условиям (2.82).
Отсюда еще ;,;одно название равенств.(282) — уравнения неразрывности, или плошности деформаций. Следует заметить, что уравнения оплошности не налагают никаких ограничений на перемещения, кроме непрерывности их самих и их частных производных. Уравнения сплошности яв, ляются тождествами относительно перемещений. $21. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА (ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ) Задачи механики сплошных сред возникают в различных траслях техники: машиностроении, судостроении, приборо, троении, самолетостроении и др.
В самой общей своей постановке они чрезвычайно сложны. Чтобы довести их решение до Числа с приемлемой для практики точностью, исходные соотношения обычно упрощают, используя те или иные предположения, вытекающие из характера работы конструкции, ее геомет)рии и физических свойств материала, из которого она изготовлена. Достаточно широкий класс задач описывается соотношениями геометрически линейной механики, основанной на пред- 4!вложении о малости перемещений по сравнению с линейными ''аэмерами деформнруемого тела н поворотов по сравнению с иницей.
Сразу же оговоримся — ограничения, на величину пемещений и поворотов не .касаются жестких смещений (смеений тела как абсолютно твердого). Жесткое смещение нс. ючаем, определяя вектор перемещения и в системе отсчета, язанной со средой и повторяющей ее движение, квк 'абсо' тио твердого тела. Если в отсчетной конфигурации матери. ; ''иьные координаты прямоугольные декартовы, т.
е. ()' й„' о;)~а о !,й, =й =е„то предположения геометрически линейной меха., ',~~внии записываются в аиде о (2.83)!,э где ь' — характерный линейный размер тела, и — вектор перео ~1::аыещення, и! = и еь В данном параграфе предположения (2.83) а зак. 450 бб используются только для.вывода соотношений теории дефор.' маций, в частности для упрощения формул $18. ПРедположеннЯгеометРически линейной механики означакга) х - что рассматриваемое деформируемое тело при движении маЩ отличается от абсолютно твердого. В атом случае говорят, чз!(!" оно достаточно жесткое (или обладает достаточной жесткостью)~ ' Жесткость является важным качеством деформнруемого тела, Оно зависит от геометрии и материала тела, условий его двих жейия (внешней нагрузки, температуры и т.
и'.). Принимая за' меру жесткости величину перемещений и поворотов, можеы сказать, что из двух пружин одинаковой длины и растянутых . одинаковой силой жестче та, которая удлинилась меньше (здесь под удлинением понимается перемещение одного конца пружины относительно дру- ' е гого). Рассмотрим теперь кон' сольную балку длиной 1, нагруженную силой Р (рис. 9), Ее ось (штрихпунктирная ' линия на рис. 9), будучи Рис. 9. прямой в отсчетной конфи- гурации, в текущей конфигурации превращается в кривую линию. Поперечные сечения балки в- текущей конфигурации остались плоскими и со. хранили перпендикулярность к оси (теперь уже искривленной). Под действием нагрузки концевое поперечное сечение переместилось так, что его центр тяжести А занял положение А', а.
орт нормали е к плоскости поперечного сечения превратился в орт е'. Прогиб б и угол ~ра между векторами е и е' определяют поступательное перемещение и поворот рассматриваемого поперечного сечения. Из двух консольных балок одинаковой длины 1 при одинаковой нагрузке Р более жесткой будет та, для которой' б и !ра меньше. Если рассматривать два варианта нагружеиия балки †сил Р и силой 2Р, то в первом случае б и !ра будут меньше, чем во втором, н в условиях первого варианта загружения балка более жесткая.
Переходим к выводу соотношений теории деформации прн условиях (2.83). 'Пусть пространственные координаты 6' = х~ прямоугольные, декартовы и 6!=х,~! !, х! — материальные координаты'. Согласно (2.25) о хс(йо йы хх', !) 2!+и!,(2! йх»з; !) Тан как А — величины порядка 1. (характерного линейного размера рассматриваемого объема среды) и в силу (2.83) ! ,(2;; !)( ~ Ь, то о Ч;-,'- х!а~ У!, Й = хаеа '-' йаяа Й а ", (2.24)).
Из равенства векторов й и й следует равенство ' ' дннзт 6' и 6', любых, не только декартовых. Далее, в силу )з компоненты градиента локального движения (2.50) приают внд а Рц -"~, бц. да о а а Р = Вайа а~ еаеа =- Йай» тензор Кроиекера (см.
$ 3). Отсюда (2.84) Таким образом, в геометрически линейной механике прейуг6регают различием мелсду пространственными й магериальи координатамит Это позволяет, в частности, прн формулике краевых условий не принимать во внимайие перемещее границ тела при деформаций н формулировать зти условия ' первоначальной (заданной) границе. ' 13 ' Из (2.84) следует, что ' 4с ц 'ц и 'чй а! =йц=йц Ф "*й =й ° / '':,'ззудут одинаковы также операторы ковариантиого дифферена ;;-пирования по 8' ж 8' в метриках к !, д!!, дц, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
