Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. д ч — '"' д-! ' двг дз" «! дя ! д »ге..","";р„':. 6«г = — — = — —,1,'-,". 2е две . ~/е дв)! $12. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КООРДИН/(ТЫ. ФИЗИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРОВ,(ВЕКТОРОВ) В механнке сплощных сред часто используют ортогональные координаты. Их обычно обозначают через и(, аи аа. Компоненты соответствУющего нм метРического тензоРа Равны Ун=АР д„= Аа, у,=А', д„=ум — — да,=О, так что д=(А,А А,)а, дн= =А ' ум=А ! уз)=А ' д(е=д»а=да)=0. Величины А называются параметрами Ламе., Для ортогональных координат основные и взанмные коордняатные векторы отличаются только'длнной.
Если е(, еь еа— орты основных координатных векторов, то й» вЂ” '=Д А,= еь А» В ортогональных координатах для любого вектора п можно написать трн разложения: и = иа1(а = иа1(а = и(а)еа. В силу (1,63) между компонентами иь и', ищ существует про- стая связь и(о -~+ = и'А;.
(1.64). Компоненты вектора по ортам прямоугольных координат называются физическими компонентами. Такое названне связано с тем, что и(») нмеют ту же размерность, что и определяемые нмн векторные величины. Тот нлн иной физический смысл компонент векторов (тензоров) связывается именно с физическими' компонентами. 'Понятие фнянческнх составляющих естественным образом распространяется на тензоры пронзвольного ранга.
Например, Т а**/(аР)еаеР аа газ!( П =1 11а)аз 1.31(ай ""*/а Й Раа. а Р аР а Р .Р а Здесь 1( Р) — физические компоненты рассмртриваемого тен вора. Отсюда и нз (1,63) следует (ср. с (1.64) ) /»/ / / /А» /» А/ l 1(ц)= — =1 А»А/ —— — ' А»А/ А/ А» (1.66) ' контуру 1., а поверхностный — потоком ротора вектора и через поверхность 5.'Поверхностные интегралы в первых формулах '(1.61')ь (1.61), называются,потоком соответственно тензора Т и вектора и через поверхность В.
;„, Выпнщем теперь формулы для пронзводных координатных Ортса Еь СНаЧаЛа ВЫЧИСЛИМ СИМВОЛЫ КрИСтОффЕЛя ПО фОриу- (1.67) й 13. СИММЕТРИЧНЫЙ ТЕНЗОР ВТОРОГО РАНГА. ГЛАВНЫЕ. НАПРАВЛЕНИЯ, ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ИНВАРИАНТЫ Г1усть 3 заР)1 11 3 1!а)13 — зла)1 симметРичный тен" аор второго ранга. Свертывая его с произвольным вектором Я= аида= аида, приходим к вектору Ь = 8 а = в"Ра КР. Такнм образом, симметричный тензор второго ранга (вообще любой тензор второго ранга) можно рассматриватЬ как линейный оператор, преобразующнй пронзвольный вектор в некоторый другой вектор. Особый интерес представляют ненулевые векторы, для которых 8. а=за, (1 68) где 3 — скаляр. Такие векторы а называют главными (собствгннымц) векторами ггнзора $, а соответствующие нм числа 3 — его главными (собственными, нлн характеристическими) значениями (числами).
Главные векторы тензора определяют его главные направления. Записывая соотношение (1.66) в координатной форме, прнходим к системе линейных алгебраических уравнений для определения компонент собственных векторов а нменяо: 3"'а'„= за', ялн (зỠ— з') а' = О. (1.69) Так как интересующие нас векторы ненулевые, то все а' не могут обратиться в нуль одновременно. Тогда определитель сна стемы (1.69) равен нулю, я мы. получаем характеристическое уравнение лйм (.).43).
ь 1 дА» 01/=0 прн '1чн!ЧЬАФ1 Ц»/= — А А» да/ ' а А» дА»... (1.66) й'»»= — -Т вЂ” ' прн» чь А. Ал' дал Одставляя полученные значения 0»/,в (1.37) и ., используя ,63), находки де» 1 дА» 1 дА» —. = — — — е/ — — — — еы 1 да»' А/ да/ » Аа да! де» 1 дА/ — = — — е/ (!чь/ чь А Ф 1). да/ А, да» ! зỠ— з»! = О. / (1.70) 3 з .»а) 33 В частности, У(и) — — би, Э(ма) Э(м») Э(3)з) = 1, Э(ем). = Эиаз) - "Э(евп " — 1. 1 убывйния ялн возрастания Отсюда-вытекает порядок нумера- циквекгоров главного базиса. „' Перейдем к случаю. кратных главных значений.
Если,' напрн. мер, 5(з> —— ,зм> чь 5(п, то 'всг:нанравления, яврпвндикцлярныв а(>ь можно рассматрнвать' как главна(в< которым соответствует' главное значение 5(2>. Доказать зто нетрудно. Введем систему координат 6(,так, чтобы в рассматриваемой точке М коордн- ' натные векторы К! были единичными и взаимно ортогональ- ными н чтобы вектор И! был главным для тензора 8, т. е.
8 ° И! '1м зв>И, (М), И! (М) = е(, е( ° е( б(р Тогда в этой точке 5(! >Е! Е! + 522Е2Е2 + 533ЕЗЕЗ + 523 (ЕЗЕЗ + ЕЗЕ2) н характернстнческое уравнение тензора 8 имеет зид (5 — 5„>) )"52 — 5 (522+ зм) + (522533 — 5' )) = (>, Отсюда находим 25(2> = 522 + 533, 522! = 522533 — 5223. (1.77) Следствием соотношений (1.77) являются равенства 52, = О, 522 = зи = 5,2> и представление тензора 8 в виде 5((>е(е! + 5а> (е2е2+ езез) т. е. е2 н еЗ вЂ” главные направления, соответствующие одинако- вым главным значениям 5(2> — — за>.
ПОКажЕМ, ЧтО ПРИ 5((> = 5(м 5(,> ЛЮбОй ВВКтОР ЯВЛЯгтСЯ главным. Как н в предыдущем случае, устанавливаем, что в рассматриваемой точке тензор 8 представим в виде 8 = 5(пе е„ (е( е; = би), где е! — главный вектор тензора 8, соответствую- щий,главному значению 5(,>.
Пусть а — произвольный вектор, заданный в той же точке. Тогда 8 а =5(пе,(е, ° а) 5((>а, т. е. а — тоже главный вектор тензора 8. Симметричный тензор второго ранга, всг главные значения которого одинаковы, на- зывается >иаровьи«Если в точке М тензор 8 шаровой, то в этой .точке 8-рО, где 0 — метрический тензор, р — скаляр. Выразим инварианты тензора (1.72) через его главные значения. Это достаточно сделать для произвольной фиксирован.ной точкн. Введем криволинейные координаты так, чтобы з этой точке нмело место разложение (1.73).
В выбранной система координат матрнца смешанных компонент тензора 8 диагональна. Согласно определению главные инварианты этого тен,зсра равны зз = вша(яг(ж» 32 = зшз(а + 5(пз(з> + за>5(зь 7! ~ 5((> + за> + за>. (1.76) Глава П ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД Предметом механийи сплошных сред является нзучениедвн.ження тазообразных, жидких н твердых деформируемых.тел. Прн этом. пренебрегают реальной структурой.
вещества, считая его целиком, непрерывно заполняю(цим некоторую часть пространства в любой момент времени. Иными словами, в механике сплошных сред принимают гипотезу сплошностн. Жидкости, газы и твердые тела оказываются различными кидами спл шной среды. ведение гипотезы сплошностн делает механику сплошных сред макроскопической теорней: В рамках механики сплошных сред бесконечно малое расстояние считается достаточно большим по сравнению с межмолекулярными расстояниями, и всякий бесконечно малый объем среды настолько велик, что еще содержит очень большое число молекул. В таком же смысле надо понимать термины <частнца сплошной среды», «материальная точка сплон(ной среды», Если говорят о смещении некоторой частицы сплошной среды, то 2(меют в виду не смещение -отдельной молекулы, а смещение целого элементарного объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого как точку.
Фундаментальнымн понятиями механнкн сплошных сред являются деформация (измененне формы н размеров объема '>:,: сплошной среды прн ее движении) н напряжение. Сопротивляемость; деформации обусловлена налнчием сил сцепления или.снл внутреннего взанмодействня между различными частями тела.. Влияние этих снл простнрается иа расстояния ' порядка межмолекуляряых. С точкн зрения меха>йзки ' '' сплошных сред такне расстояния равны нулю,»н силы сцепления»передаются от каждой точки только к ближайшей с.нею точке.
Отсюда вытекает предполодгеиие о.том, Чта ВзаммоДействяе частей тела между собой происходит через.поверхности .'еоприкосновенна этих частей, нлн что внутреннна силы Зт взаимодействия являются поверхностными. «»ти силы характе)уизуют напряжением. В настоящей главе выводятся обшне еоптнощеина механики '. снлошнык . сред. Рассматривается кннецатика н деформация сплошной среды. Вводится понятие напряженна н составляются дйиамические уравнения.
Изложение ведется без каких-либо: ограничений яа величины смещений н деформаций. дается по- .: нятие определяюпщх уравнений и рассматриваются простейшие классические среды: идеальная жидкость, линейно вязкая (нью.тоновская) жидкость, линейно упругие твердые тела. $ !4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И МАТЕРИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ .СРЕДЫ Любое движение,вцегда рассматривают по отношению к некоторой системе, отсчета, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
