Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 5
Текст из файла (страница 5)
"ц". (1.36) присутствует член и"~'"о";;" . В силу симметричности первого сомножителя и.кососнмметричности второго сумма выписанной пары равна нулю. Всю свертку (1.36) можно представить в виде пар такого вида. Поэтому она равна нулю. й Е. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КООРДИНАТНЫХ ВЕКТОРОВ.
СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ Коэффициенты бц в атом разложении называются символами Кристоффеля второго рода. Они симметричны по индексам 1, ), так как дйг д'й » дйг бг =К ° — =К вЂ” =,К вЂ” =6 ь (1.37) дФ двз дзз ' дзз Вычислим 6»ц в прямоугольных декартовых' и цилиндрических координатах. В первом случае О' = хь К; = е, — орты, не зависящие от хь Поэтому дег/дх; = О, т. е. в прямоугольных декартовых ко- ординатах б,",=О (1, 1, 7» = 1, 2, 3).
(1.38) Для цилиндрических координат 0' = г, Оз = ф, Оз = г, К~ = е„К, = гез, Кз = ез, где е„ер, е, — орты, из'которых пер- вые два зависят только от ф, а третий не зависит от г, ф, г. Нетрудно получить следующие равенства: — =О, ай, ай, . ай, — =0 дг ' де "' д» дйз дйз дйз — =е — = — ге — =0 дг з" дф, г' д» вЂ” =О, — =О, ай, ай, дй, — =О, дг ' дф ' д» При дифференцировании векторов и тензоров по координатам приходится считаться с тем, что координатные векторы ' (а значит, диады и полиады) являются функциями координат.
Пусть Кь Кз, Кз и К', Кз, К' — основные и взаимные координатные векторы криволинейных координат О', 0', 6'. Производные первых из них запишем в виде разложений — =бцК.. дйз а дз! (1.37) (1.41) Отсюда з Из (1,40) находим «» 1 а» /дгЗ« дгза двц З б, =б, г а' = — я ~ — + — — лз (1.48) З дзг дез деа чьг Выражения для производных взаимных «оординатнмх,векторов имеют вид (1А4) дйз з а — = — бауК дв! А«В ИЗ НИХ СЛЕДУЕТ, Чта В ЦНЛННДРНЧЕСКНХ КООРДИиатаХ » з 'з» з з»» бп=бм=бм бзз=бм=ба=бы=бы=О, (1.39) ° .",''"Г 01»=г ', бы= — г (1=1, 2„3), '»Т".~!" Символы Кристоффеля первого рода вводятся соотноше. ~~,'виями дйз а 6», ц = К» — = 6», ~з = бпла».
(1.40) дог ".г ,'е В прямоугольных декартовых координатах 6». ц — — 0 (1, 1, й = 1, 2, 3). В цилиндрических координатах 6», ~бь 12 бз,!2 6», 13 62, »2 бз, »2 6» м 6», зз Ою (!.42) бз,гз — — г> бьз,—— — г (Й=1, 2, 3). На основе (1.38), (1.39), (1.41), (1.42) убеждаемся, что символы Кристоффеля первого и второго рода не могут быть компонентами тензора (см. $7, свойство 2). Вычислим бц и 6», ц для произвольных криволинейных координат. Удобнее начать с символов Кристоффеля первого рода.
Равенства (1.40) н (1,19) позволяют написать следующие соотношения: дг дй» дгг в 6»,з = — — Кз , У= дв/ ' де! дЕ/ дй дгз» двц дйз — К вЂ” = — — — +К. — ~- де» дЕ~ де» ' дЕ дг» дуц дй» = — 7- — — + К~ дЕ дз» дз' дгз» доз дя » — — — ++-+ — О», н. де~ де д 1) а ц (1;45), Введем обозначения асс« = — „+ Озси, дис с В дис В Чси, — — «с«си . де« В (1АО),, Действительно, 'дй» д (И' И») '.
дйс дй' 0»с «!с ° -~- . — — Ц .— й» ° .— 1-. дОС дйс ' де Такнм образом, компоненты метрического тензора определяют снмволы Кристоффеля первого н второго. рода и тем самым выражения (1.37), (1.44). $9, КОВАРИАНТНОЕ с»ИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Пусть 8', 0', О' — некоторые крнволннейные координаты с основными координатными векторами 11«, Иь Й» н взанмнымн Ис, Н», Н».
Для любого вектора п справедлнвй два разложения: и = иаИ, и = и Иа и два выражения производной этого вектора по Ос: ВыРажение (!.46) с называетсЯ коваРиантной пРоизводной по Ос контравариантной компоненты вектора и' в метрике йсс = 11« Ис, а (146)з — ковариантной производной по 81 ковариантной компоненты вектора ис в той же метрике.
Используя ~1.48), записываем (!.45)«в виде —, = (1ГСиа) И., —, =(р«и) Иа. ди ди (1.45)» Таким образом, компоненты производной вектора п по Ос в базисе 11«, Иг, И» (И«, 11», $~») равны ковариантным производным по ОС его соответствующих контраварнантных (ковариантиых) компонент. Иными словами, с введением коварнантных производных правило дифференцирования векторов в крнволннейных координатах оказывается таким же, как в прямоугдльнмх декартовых..В этом смысл введения 'операции кцрарнантного днфференцирования.
Напомним, что в прямоугольных декартовых координатах х«, хь х, компоненты производной вектоРа по хс4«аввы обычным пРонзводным по х, от соответствУющнх компонент вектора. Это следует и нз (1.46). Так как в декартовых коордннатах «сс«=0, и' иц то с ди дис х х д д н 1' ,,',Используя 'символ' 'козаряантного 'днфференцнрования, раВтва (1.37), (1.44) можно представнть в анде» Чсйс = О, сс= О, т.
е; коварнантные пронзводные основных и-взанмных дннатных векторов равны нулю. ,„. ~«слн «р — скаляр, то по определению р)«р ~.. ~.. дОС ' (1.47) 'чевндно, что велнчнны (! 47) являются коварнантнымн комнентамн вектора Его называют граднентбм «р н обозначают ,~- р (Ч р = ИадФУОО-). Совокупность векторов дп/д61 можно рассматривать как век- «»торные ковариантные компоненты тензора пррвого ранга. Тогда 'яз (1.45)» по свойству 3 ($7) следует, что «7«ис н «7сис являкстся ;...соответственно смешанными н ковариантйыми компопентамн ..: тензора второго ранга, притом одного н того же 'тензора, так ':, как с учетом (1.43) имеем %«и! =т71(ий с) =., — О«с(и й В) = д(и Ва«) В С а дес — +и — — О ци =йас — + ди диас „ .
дсса де« де« ' деС 1 /,дяа« ддц дйаС 1 + — и' — '+ — — —, =йас«7сиа, З дЕС де' дЕ' ! Тензор, с компонентами «7«ис илн «7сис называется зрадиентом вектора п и символически записывается так: . т7п («7аиВ) рарВ = (««саиз) )1а)«« Обобщим понятие ковариантной производной на случай тензоров произвольного ранга. Ковариантной производной по Ос в метрике йсс компоненты тензора 1'»"", " называется выражение +ОСаг. .'..'ст.".. '— ЪГ:.:::а"''" — бС Г..."..'«а"..'.+ " ' (148) Структура этой формулы ясна из сопоставления ее с (1.46). Нетрудно доказать, что величины (1.48) являются коЪ4понентамн тензора, ранг которого на единицу выше ранга исходного тепзора.
' ,-В прямой тензорной записи Т-г'.В:;:,4;::И,ИВ ... И'11', .. По определению производнан тензора Т по Ос есть тензор дТМ = (ус!.....т»...) Йа)гз . ° Й )с . " ' Градиентом тензора Т называется тензор Рт = (ч,с',В.: .,'".::) И"И.И ... К"114 ... $ 20. СВОИСТВА ИОВАРИАНВНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Правила вычисления коварнантной,производной, суммы н произведения компонент тензоров-те же, что н дрн обычном дифференцировании суммы и произведения. .В предыдущем параграфе было устайовлено, что Ч!й! — — О, ' Ч)й' = О.
(1А9) Так каку!;=й! й, д2!=й! й',йз! — й»сй,, Э, » й, (й Хй»), Э2!» =' й! ° (й! Х й'), то Ч йп — — О, Ч»й!!=О, Ч»й!! =0; - (1,50) чэ „=о, ч„э" =о. (1.51) Таким образом, при ковариантном дифференцировании коор- динатнь2е векторы и компоненты метрического и дискриминант- ного тензоров следует рассматривать как постоянные. Речь идет о коварнантном дифференцировании в метрике Йи.
С помощью (1.50) легко выводятся следующие соотношения: Ч»о! = Ч» (Й,.О) = й!«Ч»о, ден =аа»Й +О«у дз» ! ! Ы ! — гз! ва! г:! ва! де~ дв» а» «» Ковариантное дифференцирование компонент вектора приводит к компонентам тензора второго ранга, которые можно еще раз ковариантно проднфференцировать.
Таким путем приходим ко второй ковариантной производной. Зависит ли величина второй ковариантной производной от порядка дифференцирования? Несложные выкладки приводят к тождеству Риччи Ч»Ч!и! — Ч!Ч»и = й»!, ! и.. где ...» до~!» . да~2! а» а ь й»), ! = — — + б!»6«! — йзфа». (1,52) де! де» Поскольку величины (!.52) при свертывании с ковариантными компонентами произвольного вектора дают трижды ковариантиые компоненты тензора, то по свойству 3 (ф 7) эти величины являются компонентами тензора четвертого ранга — тензора Римана — Кристоффеля.
Мы рассматриваем только евклидово пространство и потому всегда можем ввести в нем декартовы координаты. В прямоугольных декартовых координатах все символы Кристоффеля обращаются в нуль, н вместе' с ними равны нулю все компоненты тензора Римана — Кристоффеля. Иными )(йгйтззф' Ванйя ;;,' слонами, 'в евклидввом йровМЬ)ЯМЯ~ЙФ '„феля нулевой, и' порядок гйвя(ИНАФ ро безразличен.
'з! .1, . '$ 1!. ОСНОВНЫВ 4~ффй~В И ИНТИГРДЩ!4,В!ТИ!,".,(!) В тензорном анализс.щнзр4Щ'= .'ИЕИ и вектор «нобла» (оператор Гам!ллл)!Рй(И» Ч ачфч',"-". Ф' " С его помощью можно придать'нозяца н 'ч, ' ' личным дифференциальным н' зин«е скалярами, векторами н тензорамн. Т имеем ' Игай <р — Ч2р = Ч,!рйа! Игай ц ~ Чн = Чаи,йайг !Ф Игай Т ЧТ =Ч4"Зт,' '.й Операция дивергенция вводится так: й(ч и = Ч и = йа Чаи йзкТ ч Т =Ч4врт„'"й Преобразуем первое из этих выражени ! дна $ Используя формулу (1.43) н свойство 4 'ф; ' ';; 'днм ),'! Дифференцируя по Вз определитель 1.23 ' ", ческий "(1,53) сь разны над радиент ( Й'2зз, Йзй2', Й4, два дя!з две ' аФ де!! двг де дев = Й!2» Й 22 йзз Йзз Й'зз Й!2> Й2! Й в !з .,Ф-'' ~-" ' ч» + Й !2' йзз' Йзз Й!»еч~!ч (- дя„, де -....Ф, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
