Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Согласно (2.3), '(2.4) ее положение в прост стве .в. е..любой момент времени «определяется радиус-вектором Н = Н(9'(9',0',ез; «)] = Й(0', «), соответствующим просхранственным координатам Е' - 8'(8', бе, бз; «). (2.14) П и сть « и « + ᫠— два бесконечно близких момента времени и Л вЂ” перемещение рассматриваемой точки за время б« (рнс. 5).
фогда Н+АН Н~е'(6',4'. 91«+-б«)3=Й(й';«+6«). Так как еъ .л' рость ч рассматриваемой точки::среды в момент времени « Лет,равна ч- НШ -~--.-~) !6.М(61, 6'. (), «И— ае.+о а е фуйкции 9' = 9'(91, ез, 9', «);определяются законом движе- (2.14) этой точки. Р 'Векторная функция.
а~ Н'(9) Ж ' ','„)!ля которой 9' = 0'(8',0',9';«) определяются законом движе- ,ния среды (2 4), позволяет найти скорость любой частицы среды ;:,:В любой момент времени' «и ' 'з«Вляется полем вектора ско'„'4юсти сплошной среды. Вй аП Из (2.15) следует, что, с -- Ф) Ф ""Одной стороны е (йу, ) ай (6~; г) Ъ',.'.
М ь 9' У„(2. 16), а другой— ° ~ даю 'Ф; ч ч(0', «) = Н,(0') —. д! Рве. 6. 0' ен У («), (2.16)2 где. У(«) — трехмерная область, занимаемая средой в момент '~',,времени «(очевидно, что Уз= У(«с) н форма области У(«) оп'!ределяется законом движения сплошной среды (2.4)). Ускорение ж произвольной материальной точки .6' среды ,';'определяется равенством 1пп Еч 0Р; «+ й!) — ч Я; Яй«- .М< и-м Пш (ч ~9' (4', ()', 6', «+ 6«), «+ 6«~- .)« ею-ъо — ч Ее'(0', б', Ь'; «); «1)/6«.
,г".:Отсюда, учитывая (2.16) ь ь' находим ,ю чг тч (6', «) — 'у' — ' -у"; ()' ам У,! (2,17) а (в~:, Н дч(вь. г) дв'. чт= че(9'; «) + сч аг«"' " ° -х)-+ ч (Н~~ве)' 9~ ~ У(«) Введем пространственный набла-вектор )7 й')7„ (2.16). где Ч««(...) — ковариантная производная по пространственной координате 6" в метрйке йу = 1(! 1(ь Тогда та= (О',()=ф+ч )Гч.
(2.19) ч = ч Е"; (), 8' еи'У (() Любая из векторных функций (2,17) или (2.19) определяет ускорение произвольной частицы сплошной среды в любой момент времени ( и является полем вектора ускорения сплошной среды. Соотношения (2.16) ь (2.17) и (2.16) ь (2.19) определяют скорость и ускорение Сплошной среды в разных формах. Первые два из них при фиксированных О' еи Уь позволяют проследить за этими величинами для любой фиксированной частицы среды во все время ее движения, так как 0' — метка' частицы (см.
$14). Соотношения же (2.16)ь (2.19) при фиксированных 8!еи У(!) устанавливают, какую скорость и какое ускорение имеют частицы среды (неважно Иакие), находящиеся в рассматриваемой .точке пространства в различные моменты времени. Введем понятие полной производной по времени, т, е. производной по времени, вычисленной с учетом изменяемости со временем всех аргументов диффереицируемой величины. Полную производную по времени будем обозначать символом ( ) или й(...)/йй Пусть некоторая величина, например.
вектор а, связана с движущейся сплошной средой. Это значит, что а = а(0'; () либо а = а (О', (), где 8' — материальные координаты точек среды (от времени не зависят), 0' — пространственные координаты точек среды, изменяющиеся со временем согласно закону твиження (2.4).
Тогда ла(й!! !) да(й!! !) л! д! ( ' и ла(О!!У) да(О!, !) + да(зс! 0 дя л! д! дз" д! (2.20) В формулах (2.20) йа/й( означает производную по времени, вычисленную при фиксированных материальных координатах, т.е. для фиксированной частицы среды. Поэтому аа/й( = да(6', ()/д( называется также индивидуальной, или субстанциональной, производной' по времени вектора а. Входящее в (2.20)з слагаемое (2.22) : да/д1 есть цроизводиая по времеии, вычисленная при фиксиро. ванных пространственных координатах 6' и потому называе: мая локальной, или местной, производной Величина у Т!а в : (2.20)з обусловлена как изменением пространственнь(х коорди-' ,нат частицы со временем (движением частицы, чФ О), так и 'неоднородностью.поля вектора а (ЧВ чь О),')ь называется кон'",,вектив!(ой производной.
Очевидно, что формулы (2.20) обобщаются на случай 'тен"зора любого ранга. В частности, для 'скаляра !Р(6', () = !Р(6', () ;;Имеем ф= д" (",") =' ~ф-'-)+ч(6', т) Тир(8!1 1). (2.20), Используя символ полной производной, формулы (2.! 6), -, (2.!7), (2,19) можно представить в виде лй дй(бк ), лза ч — — =- Й (О') — ' (2.21) д! л«И лт дт (й!! !) вп л! д! (О' ) +ч(6',() уч(8',().
д! й !6. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОП СРЕДЫ МЕТОДОМ ЛАГРАНЖА И МЕТОДОМ ВИЛЕРА; ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБОИХ ПОДХОДОВ Мы уже знаем (см. Э 14), что положение движущейся точки '«",; среды можно определить кйк материальными, так и простран- ~ ' ственными координатами: Соответственно скорость, ускорение и '~'... другие скалярные, векторные и теизорные функции, определяющие движущуюся сплошную среду, будут функциями матери", альных или пространственных координат (и, вообще говоря, ,;времени !). В первом случае прн фиксированных О', 8', О' !! удается проследить историю движения вполне определенной )«'Частицы среды. Во втором случае йрн фиксированных О', 6', 0' , можно установить, что происходит в различные моменты времени в выбранной точке пространства (например, с какими ~!,скоростямн в разные моменты времени приходят в эту точку 'различные, неважно какие, частицы среды).
Описание,двнже;:,-;ния сплошной среды, когда положение ее 'точек определяется , ! материальными координатами, связывают с именем ЛаРранж» ::;: и материальные координаты называют переменными Лаеранжа, ,': или лагранжевыми координатами. Если Йе при описании' 'дви,,' жения используют пространственные коордииаты, то говорят,' ,«' что принят метод Эйлера. При этом пространственные коорди'' :,',наты 6', От, Ог называют переменными Эйлера, или эйлеровыми ,:,"координатами. ° временем. 'Дйфференцнроиание векторбв йу осуц(естпляется« т ляетс' "по ", д$~~ ' дЧ~ д г, д%.1 ~ддо дбсд1 дбс ~ дг/ . ду ' (~«33) Используя 'набла-вектор (2.30), построим тензор-градиент ско- ости д» ' »ч=й« вЂ” дб« ' Тогда формулу (2.33) можно записать в виде: (2.34) (2.35) й) = йу Векторы й~ дифференцируются по времени согласно йь = - (К) й'.
(2.36) Действительно, так как й, ° Й~ =6( то ь й) й/+й, й! =О. Отсюда й, НФч).й'+й'1-0, (~~ хь хо1 Г) = о„(хь хо, хо', Г) е до« ОГ(ХИ ХО, Хо, Г)= «Е» 1 „,Е д» до«, д» и компоненты ускорения в прямоугольных дека натах равны картовых коорди- оэо (хи хо>»о1 Г) + о до ~ дГ «дх чу (2.37) и в,силу линейной независимости векторов й ношение (2.36)., ~ получаем соотМетод Эйлера (кинематика сплошной сред й среды и ско ение гч Э ру).
р йлеровом описании движения скоро скорость и наг О', Оо, Оо и в еменн, и у р являются функциями пространственных к н ых коордивремени Г, и их компоненты подсчитываются в пространственном базисе (основном или взаимном). Движение считается заданным по Эйле поле ско остей (2.16) . У леру, если известно по формуле (2.!9).
р е ( . )о. скорение частиц среды вычисляе яется Пусть пространственные координаты прямоугольные тоны, т. е. 0' = хо Тогда уг льные декар- „". Рассмотрим произвольную частицу среды, которая 'в момент еменн г = Го оказалась в точке пространства с координатами о ' =»~ и имела скорость ч (х~. 'Г ). В течение бесконечно малого о. ромежутка времени Ж частица движется равномерно и пряолинейно, проходя путь Ж=ч(~х~' го) й; Если бы иам уда'ось сфотографировать эту" частицу в момент времени 1= (о ;; малой выдержкой ай то на фотографии получили бы корот- ю черточку, изображающую этот путь: При х,ен У(Го) вектоом.
скорости ч(хб 1о) задается поле направлений таких черто'ек для всех частиц рассматриваемого объема среды У(го). Эти , ерточки сливаются в непрерывные ,йинии (рис. 6), называемые линия, ми тока. На практике часто бывает' Ь1 'необходимо знать именно линии то, ка.*Их можно определить экспери- ~о ::ментально, не зная поля скоростей. о(«о Фо) „,'Мы же остановимся на аналнтиче", оком способе их определения.
Пусть х~ = х;(Х; (о) — парамет;" рическое уравнение линии тока, со' ответствующей моменту времени Мо 1 = (о. Это значит, что касательная ' » = е«(д««(Х'го)/аЪ) к этой линни чМоо) .:,' параллельна вектору скорости Рао. б. ч(«~, 'Го) т.е е«(о(««/о(Х) ='ич(»~', (о), . ', г: где и= и(х). полагая и() )о() = ыО, приходим к следующим :, ' дифференциальным уравнениям линий тока: д»~ — =о,(»ь»о, хо; го), х,=«,(О; го), (2.38) которые интегрируют при условии прохождения линии тока че рез заданную точку пространства, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
