Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(2.103) ,!', Чистый поворот частицы среды за время й 'определяется тюктором (см. (2.91) ) дьч =- (то1 ч) Й1 чы — (7 Х ч) й. 1 1 ри этом (см. (2.93)) дч — дг = "г!аде + йчь Х й! ';:Тогда мгновенная угловая скорость частицы среды равна е' !нп — =-то1« — 7 Хч, (2.104) ее е!.чо е! Р',", и — в' Ке.т ьь' Х К ° дв! !е ! (2. 105) Рассмотрим частицу среды, центр которой в момент времени ' ': 1 имеет пространственные координаты 0'. Скорость произволь- ,~" Ной точки этой частицы в тот же момент времени, равна ч(0'+де', 1) =ч(0', 1)+( —,)йе'.
Используя (2,105), (2.100), приходим к следующему распреде:лению скоростей в жидкой частице: ч(0'+де'!.!)=«~В', «+г„'ЗК'два+ +еч'Хй две=,ч(0'! 1)+Е' ° йй+е Хйй. (2.106) Здесь Е' и ьч' вычисляются в точке О' в момент времени « '.В, -4,ее% = К дв" — радиус-вектор произвольной точки рассматри! '.~"!~: ваемой частицы относительно ее центра. Если бы частица мгно- ',,,~".' венно затвердела, т. е, Е' = О, то в этот момент времени «(В'+ дв', 1)- (Е'! !)+ы Х а. Частица двигалась бы тогда, как абсолютно твердое тело, с по- '1„.. ступательиой скоростью ч(0', 1) и вращательной е Х й11.
Вектор ы' играет важную роль в механике жидкости и называется локальной завихргнностью жидкости, или вектором вихря. При (а = 0 движение жидкости называется безвихревым., Формула (2.106) означает, что в любой фиксированный момент времени движение элементарного объема среда можно разложить' на поступательное со скоростью ч(О", г), вращательное с угловой скоростью ы'(О',1) и дв4ормационное со скоростью Е'(О', 1) сЖ. $ за. ОБъемные и НОВВРКИОстные силы. ВЕКТОР И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ Причиной движения сплошной среды, как и абсолютно твер- дого тела,' являются силы. Если в аналитической механике рас- сматривают в основном сосредоточенные силы, в механике сплошных сред приходится иметь дело главным образом с рас- пределенными силамн. Принято выделять два класса сил, дей- ствующих на частицы сплошной среды: объемные (массовые) и поверхностные силы. Первые распределены по объему (массе) деформируемого тела, вторые — по его поверхности.
Сила тя- жести, сила инерции, электромагнитные силы — это примеры объемных сил. Поверхностной силой является, например, дав- ление жидкости на стенки сосуда, сила трения, возникающая при скольжении тела по сухой поверхности, ветровая нагрузка, действующая на купол здания. Однако в механике'сплошных сред имеют дело не с самими объемными и поверхностными си- лами, а с плотностью их распределения. Плотность Е(М;1) объемной (массовой) силы в' точке М и момент времени г определяется при помощи предельного пере- хода, результат которого эквивалентен утверждению, что на элементарный объем сплошной среды ЬУ, выделенный в точке М в момент времени 1 и имеющий массу Ат, действует сила ййк = Е (М; г) Ьт. В данном определении Г(М; 1) — 'объемная (массовая) сила, от- несенная к единице массы среды.
Если же ее отнести к единице объема среды, то придем к понятию объемной плотности вт (М; г) этой силы: Ьйв = в (М; г) й У, Очевидно, что й (М; 1)-р(М; () Е(М; Г), где р(М;1) — плотность среды з той же точке и в тот же мо- мент времени (Ьт р(М; г)АУ).
Например, для силы тяжести йт = ру, Г = у, где у — вектор ускорения силы тяжести. Аналогично определяется плотность поверхностных сил $(М;1). Если ао — элементарная площадка рассматриваемой поверхности, содержащая точку М, и А1 — сила, действующая на эту площадку в момент времени 1, то $(М; 1) . И'ш -~. Ы аз+о и с С.Силы, действующие на любую механическую систему, 'в том ле на деформируемое тело, можно разделить на внутренние ' нешние'. Сила называется внутренней, если она представляет ''ой действие на какой-нибудь элемент системы других эле- тов той жф самой системы. В противном случае,с1тла яв'"' ся внешней.
По третьему закону Ньютона все внутренние Иы статически эквивалентны нулю. 3 Пусть механической системой является объем' У(1) движу"' ся сплошной среды, У1(г) н Ут(г) — две взаимно дополняю- части объема У(г), имеющие общую границу 8(г) (рис. 1О)., атласно гипотезе сйлошности, "аимодействие объемов У~ и Уа \ онсходит через поверхность их в(си Ы) соприкосновения Я и сводится к верхностным силам. Плотность ' утренних поверхностных сил И вз ! ;Ийзывается напряжением.. а1 Если в рассматриваемый мо- ИО) .'Мент времени . г через точку М вь,вз :;.'Провести различные поверхности .
','А(г) (1= 1,2, ...), соответ." сувующие различным способам Рис. ЦХ ;,,'::..разбиения объема У(1) На части, Ф':'то для каждой из них получим свой вектор напряжений. В той '~-'Тле , в какой это нужно для определения плотности поверхре, к М можно ,',,постных сил, одну поверхность от другой в точке М можн ,отличать по направлению внешней нормали п(М; 1) (п п = 1). Орт,п(М; 1) задает ориентацию элементарной площадки ЬЯ яа поверхности о (1). Поэтому напряжение есть векторная '...Функция ' а„а„(М; г), М ен У(г), (2.107) "Р,-'„саде индекс и указывает ориентацию элементарной площадки, на ' 4'" котовой напряжение действует.
Пусть У(1) — объем среды, в, момент времени 1, У|(1) н ' Ут(Г) — две взаимно дополняющие его части с общей границей 3(1), выбранные произвольно (рис. 10). Обозначим через п~ = '; = п(М; В) орт внешней нормали к 8 в точке М, если о — гра'« ница У~. Если же 5 рассматривать как границу Уз, то орт внешней нормали в этой точке па = — п(М; г). Тогда действие Уз иа ,КУ, определяется напряжением а„=а„(М; г), действие же У~ 3 , яа Уз — напряжением а„=а,(М; 1). Таккак внутренние силы ег — ь 1 статически эквивалентны нулю, то ~ [а„, (М; 1) + а, (М; г)1 йЯ = зю ~ [а,(М; 1)+а- (М; г))й5=0.
ага В силу произвольности поверхности Я(1) отсюда следует, что а„(М; г).= — а „(М; г), ' (2.108) т. е. при изменении ориентации площадки на противоположную действующее на ней напряжение меняет знак, Вектор напряжений а (М; !) можно разложить по двум направлениям, одно нз которых совпадает с п(М; !) (рис. 11): а„(М; 1)=в„(М; !)п(М; г)+т„(М; 7)т(М; 7) (2.109) (т т=1, т и=0). Величины ои(М; 7) и т„(М; !) называются соответственно нормальным и касательным напряжением на рассматриваемой площадке. Напряженное состояние в каждой точке М среды определяется совокупностью векторов в,(М; !) для всевозможных направлений п(М; 1). Оказывается, что для полного описания напряженного состояния в данной точке не нужно рассматривать все направления п(М; г).
Достаточно ограничиться тремя, некомпланарными направлениями, совпадающими с координатными. Покажем это. Так как положение точек сплошри, П ной среды в любой момент времени Г можно определить .как пространственными, так и материальными координатами, то в„(М; !) =в (Ог; г) =а„(Ог; г). В обеих координатных системах рассмотрение напряженного состояния среды однотипно, так что достаточно сделать его в одной нз них. Мы выбираем материальные координаты. итак, ау(м; г)=в,(0', г).
Вектор напряжений, действующих иа координатной площадке О' = сопя(, обозначим через аг(0',1), если площадка ориентирована вектором Кг/~Я", и через а г(О"; 1) при ориентации вектором — Кг/1Я". В момент времени ! рассмотрим элементарный тетраэдр 'с вершиной в произвольной фиксированной точке М(О') среды, построенный иа,,векторах Кг(О"; С)йО' (рнс. 12). На его координатные грани действуют поверхностные силы а г(О', !)гтЯь а на некоординатную грань — сила а,(О', !)г(8„.
Кроме поверхностных сил на тетраэдр действует объемная сила У (О', !)г()г. тб Принцип равновесия в'механике сплошных сред заключается ;р следующем: если часть сплошной среды, ограниченная замк- 1 иутой поверхностью, покоится нли движется, то объемные силы, ';действующие в данный момепт на эту часть. находятся в равно„' весии с поверхностнымн силами, относящимися к тому же мо,, менту времени, причем при движении среды силы инерции , должны включаться в объемные. оч баг Ра Применим этот принцип к элементарному тетраэдру п : сРеды, считаЯ, что объем- вебае ~,Ь ь,ог яавза е ная сила в аР включает в Ст С .,'. себЯ силУ инеРции. Из Уело- " а вйх вия равенства нулю главного вектора действующих на него сил получаем й-г ест а,(0'; 1) сЮ„+ а„(0'; 1) Х Хйз.+Х(0'; г)а =О. Отсюда с точностью до малых более высокого порядка' и с учетом (2,108) определяем (2.110) Используя (2.113) г, записываем (2.112) г в виде: а„б"ай„й .
' (2.114) ' Плошадь грани рассматриваемого тетраадра — бесконечно малая порядкгг квадрата длины его ребра, объем же — величина порядка куба длины ребра. 77 (Оъ 7) ое (в г) езе о лхг Но (см. $5) п=йеК, йг= .~ ~йгг лс и'г =й ~/Фр (2.11 !) ло Подставляя (2.111) в (2.110), получаем формулу Коши, позволяющую вычислить вектор напряжений на любой элементарной площадке, построенной в рассматриваемой точке М(0"), если.
известны векторы напряжений на координатных площадках в этой точке ,'г .„~в'. с=-,~в'. ог~Я-"~6, е а<и,,~. илиеь Пусть в,„/йгг =ОгРК. (2.113)г < Из (2,114) следует, что свертывание величин аьэ с компонеи. тами й произвольного вектора и (цекоордннатная площадка в ..точке М произвольна) приводит к компонентам вектора а,. По обратному тензорному признаку (см. $ 7) о«э являются кон' траварйаитныын компонентами тензора, второго ранга, относящимися к базису Я<. Этот тензор называют тепзором напряжений !(о<ми (гензором исгипных напряжений) н обозначают через, Е. В материальных координатах Е= Ь'а(О~; <) В,(О~; <) К (Оь; !),(2.115) Используя (2.115), записываем (2.113) <, (2.112)< в виде а, Ди -К< Е (2.113)ь о„й' Ей,=п Е. (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
