Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Линейно-вязк-ая (ньютоновская) жидкость, В основу вывода определяющих уравнений сплошных сред всег. да полагают данные соответствующею эксперимецтальиого ис. следования- и общие физические соображения. Рассмотрим эксперимент, о котором уже шла речь выше: движение жидкости между параллельными пластинами (рис. 14). Скорость жидкости представляется экспериментально подтвержденной зависимостью (2.!48).
Если измерить силу Р, которую необходимо приложить к верхней пластине для поддержания такого движения, то окажется, что эта сила пропорциональна плошади пластины В и отношению ее скорости О к расстоянию между пластинами И, т. е. р/В = р О/И. (2.! 53) Коэффициент пропорциональности р называется динамическим коэффициентом вязкости, или просто коэффициентом вязкости жидкости. Формула (2.153) допускает очевидное обобщение.
Мысленно выделим в потоке тонкий слой жидкости толщиной йхт и обо- . значим через йо| разность скоростей жидкости на граничных поверхностях этого слоя (рис. 14). Тогда взаимодействие рассматриваемого слоя с окружающей его жидкостью можно определить касательным напряжением апь для которого в силу (2.153) имеем оы !ь — „- еи1 (2.153), Соотношение (2.153)1 представляет собой элементарный закон трения в жидкости и называется законом трения Ньютона. Течение, использованное нами для вывода формулы (2.153) ь называют движением чистого сдвига. В этом случае вектор скорости в прямоугольных декартовых координатах представляется как ч = О1(хз)еь из компонент скорости деформаций отлична от нуля лишь одна: ! де, (2.! 54) Используя (2.!54), записываем закон трения Ньютона в виде Ом = 2!ьеы.
(2,155) Этот закон утверждает существование линейной зависимости между касательным напряжением, действующим в плоскости соприкосновения слоев жидкости, и скоростью сдвига в той же плоскости. Среда, механические свойства которой в произвольной фиксированной ее точке одинаковы. во всех направлениях, назы- ется изотРОННО . СЛи й. Е к тому же 'они одинаковы для всех с е , то с еда называется .однородной изогропной. Попа и име е движения чистого ".псины понятие изотропностн на при ер ' ии, и в нем течение чистого сдвига ч = О~,ХЮЕ, Е1— 'ни, и ната х отсчитывается в направле'вольное направление, коорди е пе пеидикуляриом еь как на рис. скорость сдвига будут связаны , вн т инее трение в жидкости и ск у ре (2.155).
Если длц любого е~ значение коэффнтем же то рассматриваемая циента вязкости в будет одним и тем же, шими экспериментальными й нап яжений шаровой и определяется одно ахо ящихся в состоянии, покоя или движения, кзк' в асчете можно принять ндеальес малой вязкостью, которые в расчете можи (О', 1)).
Существуют жидкости, для которы рр Н (2.155). Используем эти данные 'ведли в закон трения Ньютона б го пространственного движения н обобщим их на случаи лю о вязкой жидкости. ап яженнй Х = о'зй йа буи яжений Т= жь З, о- НаРЯдУ с тензоРом истинных н'ИР" '"" = з В б .:"- ем ассматривать тензор вязких из р = ж Р рашающийся в нуль в ес м те с тензором скорости деформаци " связанный с 2~ соотношением Т =Е+ р(0', 1) С. ' (2.!56) я нкция, С = йьм" — метрический ш Из (2156) находим ., тензор в пространственных координатах 0'. з 2 Т вЂ” р(0', 1) С., (2.157) кость покоится или движется, как абсолютно тверЕсли жидкость и е о маций нулевой, н вместе с дое тело, то тензор скорости деформаци ,".' иим нулевым оказывается теи ор .
р, — ' р з Т. К оме го, р='р Иными словамн, в рассматриваемом случае Е = — р~ ) ,, соотношения 2.!56), (2.157) согласуются с законом ~1аскаля. нейную зависимость между вязкими напряжени читывая ямн и компонентамн скорости деформаций тп Вп'зе' (2.158) аз. Н авнсящие от напряжений и скорости д ф р ефо мацкй величины Вп" определяют физические свойства жидкости н ' е за н являются компонентамн тензора четвертого ранга В В'этель!1 йтй эз .
(см. обратный тензорный признак — й 7). Из симметрии тензо. ров Т и Е' следует симметрия теизора В по паре первых н паре наследиях индексов, т. е. В//ы В/!ы В//Й В//м В прямоугольных'декартовых координатах Е - а зе„ЕЬ, Т т, е,е,' 6=е,е„В=Ь„„зе,е е„ез, Е'=е,'ве,ев, а,/=т» — р(хо х„хз, /)б//=Ь,/,зе з— — р(х„хз, хз, /)б;/. (2.159) Для течения чистого сдвига, когда только е/з ~ О, отсюда получаем а,з=2Ь,м,ец, что при Ьмм=/з совпадает с экспери' ментальной зависимостью (2.155). Мы будем рассматривать только однородные изотропные среды.
Это значит, что компоненты тензора В, определяющие механические свойства среды, не зависят от координат 0' и имеют одинаковые значения в любой прямоугольной декартовой системе Координат. Пусть е, и е, — орты двух прямоугольных'декартовых систем координат и В = Ь,втзе,езе ее = Ь;з т ее;ев етее" Очевидно, что Ь//з/ =Ь„,тз(е, ес)(ез е/)(е,.еь)(ез ее). (2.160) Положим теперь е, =е,+фе„е, = — фе,+е„е;=е„где ф — бесконечно малый угол.
В этом случае компоненты тензора В (2.16!) преобразуются в себя с точностью до величин порядка фз. Что касается нулевых компонент Ь /ы, то требование обращения в нуль соответствующих Ь//чее с той же степенью точности приводит к следующей зависимости между постоянными Ап Аз, Аз. Аз — А/ + 2Аз = О. (2,162) Мы получили условия, которые налагает изотропия среды иа компоненты тензора В, рассмотрев частные случаи преобра- Для изотропной среды Ь«/ь/ =Ь//з/. Полагая сначала е, =ез, е;=е„е;=е„а затем е, = — е„е, ° =е,, е, =ез и вычисляя по формуле (2.160) соответствующие, компоненты тензора В, на основании условия Ь//з/ — Ь,/ы заключаем, что отличны от нуля только следующие компоненты: Ьпи =Ь лз=Ьзззз=А/ Ьпзз —— Ьззп — — Ьзз„— — Ь, м, — — Ь„вз = Ьзззз = Аз, (2.161) Ь/мз = Ь/з/з = Ьзззз = 4з ' вани» прямоугольных декартовых координат: отражение от /координатной плоскости и понорот вокруг координатной оси на сконечно малый угол. Однако путем повторения такиХ преоб' зований можно выполнить в.самом общем виде переход от дной-'декартовой системы координат к любой другой такой же Фистеме с тем же началом.
Поэтому, если среда изотропна, то ',")з любой прямоугольной декартовой системе координат из ком.",йонеит соответствующего ей тензора В отличны от нуля лишь ° (2.16!), причем постоянные Аь Аз, Аз связаны зависимостью /(2.162). Положим Аз= К, Аз — — !з. Тогда А/= 1+2!з, и соотношерия (2.159) для однородной изотропной среды примут вид а/, 2!зе//+ хт/ б// — рб,/, р =р(х„хз, хз; /), У где УГ = еп + езз+ езз б!з/з/ — первый инвариант тензора , скорости деформаций (см. (2.102)). Записывая (2,163) в сим,'",волической форме, получаем 2!~Е~+ (з /в р)0 (2.!64) "'/Соотношение (2.164), устанавливающее линейную связь между ' тензором напряжений и тензором скорости деформаций, называется обобщенным законом Ньютона (или законом Навье— Стокса) для однородной изотронной жидкости.
Жидкости, удов:летворяющие этому закону, называют ньютоновскими. в /н с/ич Входящие в (2.164) физические константы Х и !з опреде: ляются экспериментально. Например, !з можно определить при . помощи прибора, реализующего течение чистого сдвига. Дей: "ствительно, в этом частном случае (2.!63) совпадает с (2.155) н физическая константа /з отождествляется с коэффициентом , вязкости жидкости.
Константа Х называется вторым коэффи„-"''циентом вязкости. Обсуждением ее определения мы заниматься ,"... лв будем. Для несжимаемой жидкости значение Х безразлично, 4 зак за/ Фт так. как в этом 'случае гн; О, н обобщенный закон Ньютона имеет внд , 3 ы 211%' — рб; (2.16ф) н« Свойствами ньютоновских жидкостей обладает большинстбр жвдкостей, а также все газы. Значение коэффициента вссзкостк для некоторых нз нцх приведены в таблице, из которой можно заметить, что р существенно завпснт от темпсратуры н прн этом меняется по-разному для жидкостей н газов.
Л пней но-упругие твердые тела, Представленве о сопротивлении твердого тела приложенным нагрузкам можно получить, нз опытов на растяжение цнл)сндрическнх образцов 'н скручнванне тонкостенных труб, изготовленных из стали (рнс. 15). Очевидно, что в поперечном сеченин образца возникнет только иормальйое.напряжение а, а в поперечном сечении трубы в касательное напряжение т, перпендикулярное ее,радиусу. В силу тонкостенностн трубы напряжение-т можно счи- Рнс.
16. тать постоянным по толщине стенкн трубы. Вдали от захватов нспытательиой-машины Р М (2.166). , где 3 — площадь поперечного сечения образца; л н а — толщина стенки трубы н: ее радиус соответственно, Ь й. а. Прн растяже- ' н. образец удлиняется, относнтельное:удлинение обоаначнм,' рез з,,При скручнванин труба нспытывает сдвиг, ввлнчниу '1соторого обозначаем через у (рне..15,6). В экспериментах.нзршотся Р, М, з, у, по формулам (2.166).вычисляются.а и т, результате будуг получены, завнсимостн о от е н т от у, кото-, ' ые обычно представляются в виде'днаграмм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
