Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так как кривые н а(е) и с = т(у) качествецно ндентнчвы, то достаточно пркйестн, например, диаграмму растяжения (рнс. 16). На днаграмме растяжения до точки А напряженке а про' орциональио деформации е, т. ег а Ее, ' . (2.167) ;!где коэффициент пропорциональности Е называется модулем "',Юнга. Для однородного материала Е=соцз1. После неболь.'.Мого криволинейного участка А —.горизонтальная ллощадка "; текучести.
С(на означает, что дефор- мация происходит без увеличения иа- в у . :грузкн. После точки С диаграмма сна; Ва идет вверх. Часть диаграммы за л ,"-",.точкой С называется областью улроч- .,'~''некая. Свойства тела прн напряже- ".;,)сикх, соответствующих участку ОА н «';,.',участку упрочнення, существенно от';,г~Шчаются.. Это можно выявить, рас- е ,,'бматрявая разгрузку тела. Предподо- . Рне 16.
;,'жнм, что мы нагрузили тело так, что ".'1результаты эксперимента попали на участок ОА, я затем стали „."„.',,кто разгружать. Б этом случае процесс разгрузкн будет нзобра. "жаться линией ОА, но проходнться она будет в обратном на- 1)сравленин« от точки А к точке О. В конце разгрузкн мы нрндем слс нулевому значению е, т. е. со снятием нагрузки исчезла де:,:,формация, тело вернулось к своему исходному состоянню. ';ф этом и заключается-свойство уйругосги материала.
Если же ,",)В()резец нагружен так, что результаты эксперимента,захва' '"',' вают и участок упрочнения до точкн М на диаграмме,.то, .': 1сонзводя разгрузку, мы не прндем уже к нулевым значениям ,ь)всгДело в том, что процесс разгрузкн будет нзображаться прям(йцй МВ, параллельной ОА.. Прн полной разгрузке (а = О) эта , "„..';"з((зямая пересечет ось е в точке О. Отрезок 00 определяет оста'ую (илн пластическую) деформацию. Исчезнет только упру- деформация, которая определяется отрезком 9Е, '",ф;-'.
Такие же рассуждения можно провести н для диаграммы . „'фй(Етого сдвнга. Ближайший к ося с ее участок тоже будет,пря- ,~, унсМннейным, и на нем с бу, ' (2«1 68) ,14~~фз. 6 — модуль сдвига (О = сопз( для однородных матерна-,"'"„з)()й(с). Этот участок соответствует упругой деформации, ,йй Закон пропорцнональностн между напряженнем н деформацней как общее свойство уцругнх тел был сформулирован Гу-.' ком: Соотношення (2.167), (2.168) — закон.
Гула соответственно для чйстого растяжения н чнстого сдвига..Экспернменты пока-, зывают, что этот закон справедлив только прн малых удлнне-. ннях н сдвигах. Обобщением соотношений (2.167), (2.168) *-является обоб-, щенный закон Гука, согласно которому связь между напряженнямн н деформациями лннейна нрн любом нагруженнк тела. Тела, следующие обобщенному закону Гула, называются лимгйно-упругими.
Мы будем рассматрнвать только нзотропныв однородные тела. По аналогии с (2.164) пишем для ннх обобщенный закон Гука Х.= 2!за + ХТЯ, (2.169) азь О где Х = о 11„!! — тензор обобщенных напряжений (2.143), о о Е=е !!зГтз — тензор деформации Грина (2.58) с первым' нно о о вариантом 7!, 0=9,!!' — метрнческнй тензор; л к !з — фнзнческие константы материала, называемые улругими постоянными Ламе.
Обобщенный закон Гука справедлив только прн малых деформациях. Рассмотрим деформацию чистого сдвига для тонкостенной трубы н чистое растяжение цнлнндрнческого бруса. В первом случае материальные координаты выбираем так, что в отсчетной о о о конфигурации К,=е„!(з е, Кз=ез — орты цилиндрических коордннат; нз компонент тензора деформации аг отлична от нуля только езз, причем 2езз 7 (см. $ !8). Тогда нз (2.169) получаем о.ц = 2!зезз. !зу.
(2.170) Рассматривая растяжение цилиндрического бруса, матернальные координаты удобно выбрать так, чтобы в отсчетной конфигурации онн были прямоугольными декартовыми, причем нх орт е, совпадает с направленнем действия силы.-Из компонент тензора напряжений Х, отличной от нуля является только о,и. В этом случае сооткошенне (2.169) прнннмает внд о,ие,е, = 2!зез,е,ез+ Х (з„+взз+ азз) е,е,. Отсюда о,и + еи, езз.
езз ''-а(з+ — еи. (2.171)из !зи + зл) л Сравннвая (2.170); (2.171)~ с (2.167), (2.!68), обнаруживаем нх совпаденне прн и (~и+ зл) а (2,172) . л+и Тем самым открывается возможность экспернментального определения физических констант,материала Х н )з. Прн осевом растяжении образца происходит его суженне в плоскости поперечного сечення. Согласно (2.!71)з велнчнну относнтельного сужения прн заданном еи определяет.коэффициент л (2.173) называемый коэффициентом !Туассона.
Прн помощи (2.172), (2.173) получаем выражение упругих „,, ' постоянных Ламе через модуль Юнга н коэффициент Пуассона тЕ Е ,,0 „,. р-а- зп+,~. (2.!74) В прямоугольных декартовых координатах (()' Уо !(, о =!! =е,)соотношение (2.169) эквивалентно следующим равенствам: о,~~ =2Реп+Л(аи+азз+азз)бп, (2.175)з которые в предположеннях геометрически линейной механнкн принимают внд оп — — 2!згп.+ Л (ги + гзз+ г,з) Ь„ (2.175)з (напомннм, что о„н — обобщенные напряжения, совпадающие с нстнннымв прн малых удлинениях н сдвигах, ен — компоненты у тензора деформации Грина, еи — компоненты лннеарнзнрованного тензора деформации). Используем формулы (2.175) из прн определении величины (2.138)1 для линейно-упругих твердых '1, тел. Материальные координаты в отсчетной конфигурации считаем прямоугольными декартовымн.
Итак, в декартовых коор; дннатах подынтегральное выраженне в равенстве (2.188)1 имеет внд' о (фу)'Ьбзьйг З О„чуйз З 2(ЗЕ йв З+Х(ЕИ+аЗЗ+ЕЗЗ)бзвйз 2)зезвйе,з + Х (еи + взз + езз) й (зи + е„+ езз) й~)за, е, +-к-(еи+ ззз+ азз)з11з ' л т. е. оно являетоя полным дифференциалом скалярной функции Ф(ап) !зе,зв,з+-(еи+ езз+ езз)з, ' (2.!76» причем о, ' (9.!77) аф Эта функцня представляет собой потенциальную змярвию да- !1" 'формации линейно-упругого однородного изогролноео гела, отнесенную к единице его объема в отсчетной конфнгурацни 101 .' оц ю 1 (Ф(вц) Р (з)ц) — Ф (о<о~Я ой (Н/) )Р.= ~о1 оц Отсюда следует, что существование упругого потенциала означает, что работа, затрачиваемая на деформацию элементарного объема среды, зависит только от начальных е~9 и конечных зп! ц ц значений компонент деформации.
Закон, по которому произошло изменение вц от е~,' до еф, безразличен или, как говорят, безразличен путь деформирования. Процесс деформации оказывается вполне обратимым. Экспериментальным подтверждением этого факта является совпадение линии нагруження и линии разгрузки на прямолинейном участке диаграммы растяжения..
Любая'функция, выступающая в роли пбтенциала, всегда определена с точностью до постоянной. Поэтому можно' считать, что Ф(0) = О: Тогда работа, затрачнвдемая на деформацию эле-, о ментарного объема НР среды, соответствующую компонентам деформации ец, н отнесенная к этому объему, будет равна Ец ЯГ:$ о(Ф (вц) Ф (ец) — Ф (0) =Ф(зц). (2478) о Эта величина в то же время является потенциальной энергией деформации упругого тела, отнесенной к единице его объема 6'Мдчетиой конфигурации.
Потенциальная энергия всего объема тела определяется по формуле (см. 6 26„(2.141), (2.142).). Если, допустимы упрощении, неволь. зуемые в геометрически линейной механике„то в ..(2.176) "к (2,177),следует положить ец ац, а,ц = пп ,Функция Ф(ац) полностью характеризует упругие свойства' материала н. называется его упругим погеяциаларо. В силу. ' (2.177) задание упругого потенциала в виде (2.176) эквива-' лентно линейной зависимости между напряжениями н деформациями (2.176) ь Пусть механические свойства деформируемого тела описы-' ваются упругим потенциалом Ф(ац). Согласно (2.142) для део формации его элементарного объема о(У, соответствующей прн.
ращению компонент деформации Ыец, необходимо затратить ра- О боту (и!г)пУ, где п)г" = о!Ф(ет). Если же величина деформации рассматриваемого элементарного объема меняется от значений е",,' до значений о)ц, то при этом совершается работа ; Так как при деформации тело «акаплнвает упругую энергию, ' то Ф(ац) >,Ф(0) ь= О. Это естественное требование накладывает определенные ограничения иа физические константы материала Х,!о,у,Е Рассмотрим значение упругого потенциала (2;176) в произ- ' вольной фиксированной точке среды-. Материальные коордио а ; наты выберем так, чтобы в.этой точке 1(о = Й'= есо — главные направления тензора деформации Грина 8'. Тогда в той же ;, точке а,р =- еоо16ар (воп — главные значения тензора 6') х Ф('ц) ро(ею+а+ за)+ я (ею+а>+ее) х аорз~аярь ац= з + !обц, Это выражение можно рассматривать как положительно опре* деленную квадратичную форму относительно еоь и собственные значения а матрацы ее коэффициентов ац должны быть поло.
жительны. Определяя а известным нз линейной алгебры спосо- ,бом,(см, также $ 13); получаем три значения: а, по ††!о ,з ао ч р+' — Л. Следовательно, физическиехонстаиты Ламе удовлетворяют неравенствам !о > О, Х+ — ро > О. ° (2.180) Используя (2 174), (2 180), устанавливаем, что 8>0, — 1<я<06.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
