Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(2.!81) Коэффициент Пуассона т для металлов близок к 0,3 '(0,26 для '; железа, 0,34 для меди и алюминия). Модуль Юнга Н для же. лева равен 2 10'г Н/мо, для алюминия 0,7 10" Н/мо, дли меди 1 ° 10" Н/мо. Я = ~ Ф (ец) Ы$', (2. !79~ зоваиы. Кроме того, для деформации таких тел характерно, что дднн компоненты тензора напряжений («продольные» напряжения) значительно .превышают другие («поперечные» напря.жения), что не позволяет линеаризовать уравнения равновесйя (2.!26)ь поскольку произведения ббльших по величине «омпонент тензора напряжений на повороты (малые по сравнению с единицей) мЬгут быть сравнимы с малыми компонентами на.
пряжений. Задачи, в которых полная линеаризация оказывается невозможной, называют. геометрически нелинейными задачаМи теории упругости. Некоторые из них будут обсуждаться.в й 35, 38, посвященных деформации стержней и пластинок, в остальной же части главы рассматриваются линейные задачи, Глана ИГ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Твердые тела при достаточно малых деформациях являются упругими, т. е. форма и размеры их восстанавливаются, если внешние силы, вызвавшие деформацию, перестают действовать. В данной главе изложены основные положения и рассмотрены простейшие задачи классической теории упругости, в основе которой лежитлннейная зависимость между напряжениями и вызываемыми ими деформациями (обобШенный закон Гука).
В этом смысле говорят о физически линейной теории упругости. Областью ее применения являются такие тела, которые проявляют упругие свойства лишь при малых деформациях (металлы, дерево и т. д.). Напротив, такие материалы как резина, каучук и другие им подобные, проявляющие упругие свойства при больших деформациях, должны рассматриваться в физиче-.
ски нелинейной теории упругости, в которой соотношения между напряжениями и деформациями нелинейны. В общем случае уравнения классической теории упругости нелннеины. Таковыми являются соотношения (2.69), выражающие компоненты тензора деформации через перемещения, н уравнения движения (2.126)ь Они допускают линеаризацню в тех задачах, в которых углы поворотов линейных элементов можно считать малыми по сравнению с единицей, а их квадраты малыми по сравнению с компонентами тензора деформации. Задачи такого типа называют геометрически линейнымн.
К ннм относится большинство задач-о деформации массивных упругих тел, все три характерных. размера которых имеют оди-. наковый порядок. Напротив, при деформации стержней, пластинок или оболочек, «. е. таких тел, один или два размера которых малы по сравнению с остальными, квадраты поворотов могут быть сравнимы с компонентами тензора деформации или даже значительно превышать их н формулы (2.69) не могут быть лииеарн- й ЗЗ; ПОСТАИОВКА СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ИИИЕИИОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задачей теории упругости является определение состояния движения или равновесия упругого тела при заданных действующих на него внешних силах.и условиях закрепления его границы.
В случае движения под этим понимается определение. напряжений и деформаций в каждой точке упругого тела в любой момент времени и вектора перемещения каждой точки тела. В задачах же о равновесии упругих тел (которые и бу'дут рассматриваться в этом и нескольких других параграфах) все заданные и искомые величины являются функциями только координат точки тела. Условием существования равновесия являетсн постепенное приложение к телу внешних сил, медленно н монотонно возрастающих от нуля до конечных. значений так, чтобы в каждый момент' нагруження можно было считать эти силы находящимися в равновесии с внутренними напряжениями у в теле. Состояние равновесия наступает и после затухании.колебаний (вследствие рассеяния энергии)т вызванных внезашю , , приложенной нагрузкой, остающейся затем неизменной.
Вбвсех этих случаях конечное деформированное и напряженное застоя.. ' нне равновесия упругого тела и является предметом изуненин. В этом и нескольких следуюших параграфах будет рассматриваться линейная классическая теория упругости, все-спотношения которой линейны. Для этого, как указывалось выше, не' обходимо 'предполагать малость не только деформаций, но и углов поворота, а значит и всех относительных перемещений точек упругого тела по сравнению с первоначальнымн расстоя,';.1," пнями между ними. Предполагается также, что в естественном недеформированном состоянии в теле отсутствуют напряжения. '61',„"::, Как и в 3 21 (геометрически линейная механика), декартовы координаты точек тела до деформации будут обозначаться через хк после деформации точки тела займут положения и, + и1(хь хь хэ), где и~ — компоненты вектора перемещения.
В декартовых координатах различие между коварнантными и э. 10З коятраварнантными ицлексами:пропадает; вследствие..чего ин- дексы проставляются внизу. По-прежнему по .повторяющимся ицдексам, обозначенным -греческими буквами, предполагается суммирование. Основными уравнениями линейной теории упругости яв. ляются: уравнения равновесия,.соотношения .обобщенного за.
кона Гукз н выражения компонент линейного теизора деформа. цнн через вектор перемещения (см.. (2.126)з) (2.175)з, н (2.36)) — + рР) О, ап йе„б)г + 2рвн, два) дхе ди де (ЗП) дх дк Если выразить напряжения через перемещения и подставить нх в уравнения равнввесня, то придем к уравнениям теории упругости в перемещениях (уравнениям Ламе) (Л + р) деак + ))Ьа) + рр, О, (3.2), -которые можно представить в векторном виде ())+ р) йгабб)чк+ р Ьк+рГ =О. (3,2) Система уравнений (3.1) состоит из стольких уравнений, сколько неизвестных искомых величин в ней содержится.
Для определения состояния равновесия упругого тела этого еще не достаточно. Должны быть заданы граничные условия иа по- верхности 8, ограничивающей объем У тела. В геометрически линейной теории не делается различия между поверхностью тела до н после деформации, а потому граничные условия фор- мулируются иа исходной недеформнрованной поверхности. Пусть к части поверхности тела 8,' прилджены внешние ак- . тивные силы, поверхностную плотность которых обозначим че- рез 1(х) (х =(х„хь хз)). Обозначая через и н))е„единичную внешнюю нормаль к 8 н определяя напряжение на 8 по фор- муле Коши (2.! 12) а, = п аи = н аизеэ, получаем статические граничные условия нй 8е н,а, $. (3.3) На остальной части поверхности 8, = 8 — 8е задаем иере- ыещення к(х) н получаем кннематические граничные условия к,~й, хж8д.
(3.4) Кроме статических и кинематических существуют еще сме- шанные граничные условия, состоящие в задании в точке по-. Верхносги тела одной составляющей внешней силы (перемеще- ния) по какому-нибудь направлению н двух составляющях пе. ремещения (силы) в плоскости, перпендикулярной к этому ,н вправлению. Каждому из трех иекомпланарных направлеинф. , г должно отвечать одно граничное условие, статическое илн киие-матическое. Задание двух граничных условий, связанных с одним-направлением, как правило, некорректно. Таяны образом, задачв.о 'равновесии упругого тела'ббстоит в.решении системы уравнений (31.) в области У, занимаемой, телом, при.граничных условиях (З.З), (3.4) на его поверхности.
,Если на всей поверхности тела 8 заданы внешние иоверхиостные силы т, то' они должны находиться в равибвесйи с мас'- совыми силами Г (поскольку силы инерции отсутствуют) )еь')1ив ю.1))хр)а'+)))хия 0. Эти условия равенства нулю главного вектора и момента всех внешних снл, приложенных к телу, являются,иеобходкмыык условиями для разрешимости статической вадачк в указанном случае.
Ввиду линейности всех уравнений н. граничных условий задачи теории упругости' имеет место принцип наложения решений. Пусть и)'), оо) — решение задачи о равновесии тела, нагруженного массовыми силами Р) ), поверхностными силами 1 на Ф 1/ 1 (1) [1) части его поверхности 8е и с заданными перемещениями а' на части поверхности 8„, а п)Я, а)1) — решение задачи для того же тела с другими данными Р)'), 1)1) на 8, и 21') на 8„, Тогда произвольная линейная комбинация к = Апо) + Вп)'), а„Аа",,) + Ва",) (А,  — постоянные) двух этих решений является решением задачи для того же тела с,данными Р АРи)+ВРа), .1 ~АР))+ + ВГА) на 8„и а = Ай)1)+ Вй)') на 8„.
Более общо, линейная комбинация решений любого числа задач для одного и того же тела с одноименными граничными условиями в каждой точке его поверхности является решением задачи, для которой массовые силы и граничные условия получают нз данных .указанных задач при помощи' таких же линейных комбинаций.. Принцип Сен-Вена из. При решении задач теории пругостн н их практическом использовании важное значение „У ,'г) "имеет следующий общий принцип, сформулированный Сеи-Вена ном.
Если совокупность усилий; действующих на небольшой уча „)- сток поверхности тела, находящегося в равновесии, заменить другой совокупностью усилий, приложенных к тому же-учаетку, ио так, чтобы обе совокупности были статически эквивалентны (т. е. имели одинаковые главный'вектор и главный момент), то такая замена вызовет лишь пренебрежимо малые 'изменения 'МT напряжений в тех частях тела, которые достаточно удалены от упомянутого участка поверхности. В качестве примера рассмотрим две статически эквивалентные системы сил, приложенных к правому концу длинного тонкого стержня (рис.
17). жень Первая состоит из продольной силы Р растягивающей , а вторая из продольной силы Р и двух противоположно стериаправленных вдоль одной прямой сил л)'. Напряженные состояния обоих стержней около их правых концов могут значительно различаться, но по мере удаления от правого конца это разли.чие будет сглаживаться, н при достаточном удалении им вообще можно пренебречь.
В данном случае сущность принципа СенВенана заключается в том,''что напряжения, вызываемые си- Ркк 17. лами Ж, в тех участках стержня, которые удалены от правого конца, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями непосредственно у правого конца. Это обстоятельство подчеркивается следующей формулировкой принципа. Е ели совокупность усилий, действующих на небольшой участок поверхности тела, статически эквивалентна нулю, то напряжения, вызываемые этими уснлиямя в частях тела, достаточно удаленных от названного участка поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями около самого этого участка. П ринцип Сеи-Венана можно, разумеется, сформулировать и применительно к,массовым силам, рассматривая малые объемы внутри тела н разные статически эквивалентные системы объемных сил, распределенных в этих объемах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
