Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для второго функционала уравнениями Эйлера — Остроградского будут условия совместностн Сен-Венана, а естественнымн граннчнымн условиями — условня в перемещениях на о„. ' Существуют различные способы прпближенного решення задач на экстремум функционала.
Одним из наиболее распространенных является метод Ритца. Согласно этому методу для нахождения мнннмума потенР~ цнальной энергии системы 1„(и,1 задают перемещення в вида конечных сумм и, =и,ь(х)+ ~, а„и„(х), а ! !24 ( ), ' (х)-заданные функция х-(х! х'хь) ° а!игде «„(х), «„(х) — з . Ф нкцнн им(х) н и!и(х) ь' постояинйе, подлежащие определению. Фу !!выбираются так, что тобы удовлетворялись кинематические тра; ннчиые условия на о„именно и!ь1э„=у» и! 1з„О !: Т смещения и! будут кинематически допустнмымн прн огда лере б .
П дставляя нх в функционал энергин 1„(и!) р ° вычисление интегралов, получим квадратную фу ц нк ню (а ). Для'нахождення ее минимума прнавннваем нулю частные производные,/ аьх ", линейную (неоднородную) систему 31ч' уравнений для,определенна постоянных а!~. . Если функции и!ч независимы, то определитель системы удет о б тлнчен от нуля что обеспечивается положнтельной определенностью упругого потенциала.
Д чтобы прн увеличеннп У приближенное решение ля того что ы стремилось к то о очному необходимо, чтобы система фу ц помо ью ', и!ь (а 1, 2, 3, ...) была полкой, т. е. чтрбы с ее помощ б ак угодно точно аппроксимировать искомое реше. Об аются небольшим числом аппроксимнру щ .',': можно ыло как г ю нх „;.' ние. Обычно задаютс г за, . функцн, н эффект й, фф явность применяемого метода'во мио ом висит от нх удачного выбора.
Подробное изложение варнацнонных методов и связанных с в и ется в специальных учебниках н монограннмн вопросо и е фнях (см., например, [5, 9, 15)). В качестве прим „ имера использования экстремальных прннцнопрос об оценке жесткости на кручение цн-. Р пов ассмотрим воп .линдрического тела произвольного односвязного поперечного сечения. (1 — 'лина цислн Е на торцах цилиндра хг = О и х, = 1 ( — д ня: лнндра) ) поставнть смешанные граничные услов и, 0 и, О ам 0 прн,хг и,= — т(х„и, т1х„ам 0' пря ха= 1, то согласно результ результатам $30 в качестве статически допустн- омого поля напряжен пряженнй могут быть взяты напряжения.по ф рх,х мулам (3.19) (остальные напряжения равны нулю), где у(х!, з)— непрерывно дифференцнруемая в области попе; речного сечения цилиндра функция, обращающаяся 'иул в' ьна В качестве кинематнчески допустимого поля перемещений может быть взято поле (3.13), где !р(х!, хз) — пронзвольнея не= ифференцнруемая функция.
Первое нз них будет действительным, если функция у у, влетворяет ур т авиенню (3.21) ое будет действнтег(ьным, если ч! есть решение за), а втор 1йй дачи Неймана (3.1Ь), (3.16). 'Вычислим энергию статически допустимого поля иий, Сетласио формуле (2Л76) н г аничны цах цял ядра ме Хр 1Ц[1дй-) +(-дй-йдх,дх„ где двойные интегралы берутся по области ння цилиндра.
асти поперечного еечеПреобразуя первый. интеграл интегрированием по Мастям н учитывая, что К>ь = О„ окончательно получаем 1,(а'>1)=->цт'1~~[4у,— ( Х ) ( Х ) 1ДхДх Энергия кинематнчески допустимого поля пе еме впадает с потенциальной энергией вы е н заданные поверхностные силы равны н л . С гие цилиндра', поскольк массомул (3.14) имеем вны нулю. огласно фор- 1. (и,') -4» г1 И( д' — хг) + ( ~~ + х,т~ дх дх,. Потенциальная энергия рассматриваемой ' нии равновесия равна умноженной на 1 лин 'системы в сос энергии цилиндра (3.18). на линейной плотности Подставляя указанные значения 1,(оз(1), 1„(и>з> и 1 и . 3.25), получаем следующую двусторо , характеризующей жесткость цилиндра на тороннюю оценку постоянной ра на кручение ~ ~ [4>1 — (д ) — (д ) 1дх>дхг~(С~ ~~ [(д — — хг) + + ( д + х,)г~ дх>дхг. (3.26) Рассмотрим цилиндр прямоугольного сечения — а(х ~ ', Взятая функция ф соответствует решению задачи о к че- нни цилиндра эллиптического сечения (» 30).
П вы аж р ения К и ф в (3.26) и выбирая постоянные А н В так чтобы интегралы слева н справа приняли с ли соответственно наи- большее и наименьшее значения, получаем 4,44аздз1(аз + Ьг) < С ( 5 33аздзЯаг + Ьг). Этот результат может быть уточнен введением ф й 'С.бОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ВарЬнгпуЕМЫХ Параыатрен, ункци н 185 й $3. ПОСТАНОВКА ДИИАЯ1ИЧЕОКИХ. ЗАДАЧ ТЕОРИИ РЙРУГОСТИ ':т.В динамике упругих тел искомые н заданные величины "Крцме координат точек тела зависят еще от времени 1, Уравне- ,'„заия равновесия заменяются уравнениями движения, которые >;получаются нз пе~вых добавлением к массовым силам силы >'.инерции -рбгп/д1.
Кроме граничных условий:(3.3) н (3,4) ,'',(первые нз которых следует называть теперь динамическими) „должны быть поставлены начальные .условия, определяющие .цвложенне и' скорость всех точек тела в начальный момент "~ВРемени 1з ;(, д(х,1> н(х, 1,) — «з(х),— ~ — т (х) (х — (х>, х„хз)).
; Онн должны быть согласованы с граничными условиями в не- ";:,,ремещениях (3.4). Именно в начальный момент времени иа той ;;",,части поверхности тела, где определено перемещение д(х,1), ', должно выполняться равенство И(Х, 1з) =и'(Х) (Х Е 8„). 'г' з В силу линейности задачи имеет место принцнп-наложения '„",: решений ($28). Согласно формулам (2.148) н (2.152) теорема о кинетиче- '.ской энергии любого объема У упругого тела в условиях гео- ;, метрически линейной задачи может быть записана так (бп = "-=йД1): дз ~ (2 р" ' "+ ( >1),1 (3.2з) ~ рр йДУ+ ~ ап >з 3 ' Это равенство выражает теорему о полной энерзиа любою ,:.Объема У упругого тела: производная по времени полной энер- „' гии (кинетической н потенциальной) любого объема упругого "тела равна мощности приложенных к нему внешних снл (мас- ~.:совых и поверхностных), з" ' Примейим,равенство (3.27) для доказательства теорема> ,>:;: единственности решения динамической задачи.
Пусть нц>, н>г> — два решения одной и той же задачи, Тогда ..разность н ии> — ц>г> будет очевидно решением динамичеСкой задачи при отсутствии массовых сил и с однородными '" 'граничными и начальными условиями. Для этой повледдей задачи'правая часть равенства (3.27) для всего объема тели "равйа нулю (Г = О, а, = О на 8, н и = О на В,).
Следовательно,полная энергяя упругого тела не зависит от времени, а в силу нулевых'начальных условий для ц она равна нулю в любой мгь- "' мент времени'. Ввиду положительной определенности упругого потенциала и непрерывности и и еи это может быть только тогда, когда и = 0 и не зав д и =0 и еь =О. Отсюда следует, что перемещен понт от'времени и является перемещением тела как ие в емеии эти жесткого целого. И, наконец, поскольку в начальи й ы момент р перемещения равны нулю, онн вообще равны нулю. доказан . Следовательно, ни>=нпв при всех й Едннственн дннственность решения вана. Теорема единственности имеет смысл в предположении, что само решение существует.
Строгое математическое доказательство существования решения н выявление всех необходимых нссл для этого условий является темой специальных математичес и едованнй. Отметим лишь, что физически разумно поставленная задача всегда имеет решение. Важным частным случаем общей динамической задачи явзым ляетси задача о свободных колебаниях упругого тела. Т мются колебания тела, частицы которого каким-лкбо способом выведены нз состояния 'равновесия н затем предоставлены '' сами себе, и дальнейшее нх движение происходит без действия внешних активных снл.
У равнение Ламе (см. (3.2)з) для свободных колебаикй п едставим в следующем виде: икй предд>а 1.(н) — —,=0> 1. (и) =(с' — с') ягаб б)хи+ сзтои (328) = с' йгаб б)ч п — с', го1 го1 и, где введены обозначения сс (» + 2р)/р ст =.р/Р (3.29) Свойства свободных колебаний ограниченных упругих тел во многом аналогичны свойствам малых свободных колебаний механических систем с конечным числом степеней своб чаемых в аналитической механике.
Общее колебательное движение может быть представлено в виде наложения независимых простых гармонических колебаниИ и =чг(х) соз(оМ+о) (3.30) с частотой ы н начальной фазой а. Подставляя (3.30) в (3.28) н в однородные граничные условия (З.З), (3.4) (1 = О, я = 0) н сокращая на общий временной множитель, получаем следующую краевую задачу о собственных значениях: найти такие значения ю' (собственные зяиче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
