Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 22
Текст из файла (страница 22)
х) Параметры Ламе (см. $12), как неРис. 20. ' трудно установить, равны А„= 1, Ав = =г„Ае гв!пй. По (1.53) и (1.63) ' находим выражение оператора Гамильтона д 1 д 1 д ф е — +ее- — +е — —, гдг г дз егз!пз дф' где е„ее, ее — координатные орты. По формулам (1.67) имеем — 0 — =е — '=в!пйе . двг . де, де„, а. де з ат В Ввиду центральной симметрии задачи вектор перемещения *ест.лишь одну радиальяую составляющую, зависящую толь"от г:и = и(г)е„Используя предыдущие формулы, найдем с еи и фи фя(г) е, е,е, —, +(ееев+ е„е„) —. симметричный теизор и следовательно ои совпадает с лным теизором деформацян (2.86);.'гак что еи и е -= —, )еее=е = —.
'е,з=е, =ев,=О. ег ' ":; Поскольку 1 Егзи го1 и * ф Х и О, б!т и ф и ,'Тяги силу легко проверяемого тождества би яга4 б!ч и — го$ го$ и ", авиение Ламе (3.2) з принимает вид .!Г ' '4массовыми силами-пренебрегаем). Интегрируя последнее, по!!Втчаем Ь и аг+ -Г. г формул закона Гука (3.9) (очевидно справедливых в ортональных криволинейных координатах для физических комт.теизоров) видим, что отличными от нуля будут только рмальные напряжения егг, пзя пее. Граничные условия на ерических поверхностях сводятся к двум: ычисляя е„, определяем из них постоянные' а и Ь 1 — Вт Р!Д,— Рейз Д~ йз дз ° 1+ т.
ЛЗ!Лез(Р, — Рз) Ь ВЕ Лзз-дз, ончательные кыраження для напряжений таковы: =„з ЛТ~ЬС(Р! . ЛзРз. '(Р! Рз) р, ( ив — д!, 1 Г з . Лз!Лзз 1 Ф: а =о — — ~Дз!рз-)Ьрз+(р1 — рз) — ~. вв ее , т + еа ~ ~у+ где е„ее, е, — координатные орты. Предположим, что вектор перемещения имеет одну радиаль« ную составляющую, зависящую только от г и и (г) е,. Ввиду равенств ф- О, ф де~ имеем уп 7и (г) е„е,е, — „, + ааве-. еи и откуда получаем еи е и' ег ° Поскольку и еаа--г. е„е,е-е„,-е„-О, тот м О, б(т и е„+ евв 1 дги уравнение Ламе принимает вид 129 Предроложвм, что наружное давление отсутствуеа; а внут. реннее обозначим через «„так что «1 «, «з* О. Првдполо; жим далее, что толщина стенки й и=Яз — Я~ мала по сравне- 1 нию с ее средним радиусом )т *-(Й~+ггз) (тпнкан оболочка). Раскладывая перемещение и напряжения по' степеням л/Я и оставляя лишь главные члены, получаем приближенные фор-.
мулы й1 (1.- э) рй и= 2 а ащ =о = — ', пг=-, 2Ь' г 2' где П„ — среднее значение и„ по'толщине оболочки. Эти фор- мулы верны и для наружного давления, если р считать отрица- тельным.Мы видим, что в тонкой оболочке напряжения паа, пии на площадках, нормальных к ее срединной поверхности г К, значительно превышают нормальные напряжения на поверх- ностях, параллельных срединной. Рассмотрим задачу о равновесии полого кругового цилиндра (трубы)'с внутренним радиусом Я~ и внешним Яв подвержен- ного действию постоянного внутреннего давления р (наружное давление н массовые силы отсутствуют). Введем цилиндриче- ские координаты л, гсозб, хз гз(пй„лз ' я, полярная ось которых совпадает с осью трубы. Оиератор Га- мильтона имеет следующий вид: Интегрируя его, получаем и* аг+Ь/г. : Ив компонент тензора напряжений отличными от иуля будут ': только нормальные напряжения а„, авв, и„. Вычисляя радиаль' ное напряжение "-~о, ' .
('-« -ьФ~) н подчиняя его граничным условиям о ~, = — р, а1, „,=О, находим ря', О+э)(1 — 2 ) рйЛг 1+" з а Радиальное перемещение и распределение напряжений по толщине трубы даются формулами 1+~ рл', Г и — —,~(1 — 2т) г+ — ~, й1 е д~~ — й~ г К~~ — Я~~ г :с рд~~ а„~ 2я — й — -и. ' Полученное решение на торцах трубы удовлетворяет уело(::; виям отсутствия осевого и окружного перемещений (ии из=О) и радиальных касательных напряжений (п„*О). В случае тонкой оболочки, когда толщина трубы 2Ь Яз— -Я, мала по сравнению с ее средним радиусом Я '(1т1+ ";,.
+ г4)/2, оставляя в предыдущих формулах лишь главные члены, будем иметь "-Ф -- Ф Я~1 г — М) Как и в случае сферической оболочки, нормальные напряжения аее н о„велики по сравнению с радиальными а„как Ф/Ь велико по сравнению'с единицей. Если края оболочки закрепить относительно радиальных смещений, то это должно вызвать иа них касательные напряжения а„и неравномерно распредеяеиные по толщине нормальные напряжения; результирующая которых йо толщине; 12т и+» т.
е. . е. ~ п„дг,равна нулю. Навеем кольцевом граничном саче. а-» - нии трубы обе эти. системы напряжений очевидно-статически эквнвалентны-нулю, Для-достаточио длинной трубы по цринцнпу Сей-Веиаиа эта система сил окажет'заметное влияние на распределение напряжений лишь в малой окрестности концов трубы (так называемый краевой эффект).
На достаточном же удалении от концов распределение напряжений и радиальяое : смещение практически не изменятся. 'й ЗЗ. ЗКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ Пусть упругое тело занимает объем У, ограниченный поверхностью 5. Как было сказано в 3 28, статическая за а тео ии п р у ругостн состоят в определении вектора перемещения я задача 3. и и тензора напряжений ац, удовлетворяющих уравнениям ( .1) в объеме У и граничным условиям на границе 5 этого объема. Для простоты будем считать, что на части 8, поверхности Я заданы напряжения, а на остальной части 5„ заданы переме.
щения. Введем важные для дальнейшего определения. Поле перемещений и' называется кипематически допустимым для данной задачи, если оно определено и непрерывно дифференцируемо в области У и удовлетворяет кинематическим граничным условиям (3.4) на поверхности Я,. Поле напряжений а,. (а," =а",) называется статически допустимым для данной задачи, если оно задано и непрерывно днфференцируемо в области У и удовлетворяет в ней уравнениям равновесия (3.1)-и статическим граничным условиям (3.3) на поверхности 5,. Всюду в этом параграфе кинематически допустимые перемещения и вычисляемые по ним деформации и напряжения будем помечать штрихом, а статически допустимые напряжения и отвечающие им по формулам закона Гука кдеформации» будем помечать двумя штрихами. Последние иа самом деле, вообще говоря, не являются деформациями, так как от них ие требуется удовлетворения условиям совместности (2.96).
Кинематическн .допустимые перемещения и' будут действи. тельными, т. е. вешают поставленную задачу, если отвечающие им напряжения а, являются статически допустимыми. В свою очередь, статически допустимые напряжения'будут действительными в том случае, если существует кннематйчески допустимое 'поле перемещений, которому, отвечают деформации, определяемые по .а," формулами (3.9). Для этого необходимо, ' чтобы а," удовлетворяли условиям совместности (2.96).
Установим интегральное соотношение, связывающее кине' матически допустимое поле перемещений и статически допусти» 1зэ чкое полегнадряжений, Для-этого умножим уравнение равиосия дп "/дх„+ рГ О, скалярио на, и'и проинтегрируем по У: а„~ дУ+ ~ рГ 'дУ. -О. т нтегрцруя по' частям первый интеграл н учитывая условия 3.3) для ац н,(3.4) для и', приведем предыдущее равенство ,. следующему риду ' (и„" = п,о-"): ~~,"зв~аУ ~РР ° и'с(У+~ 1 и'дЯ.+ ~ и'„' йдЗ; (323) за зи »это и есть искомое интегральное соотношение. По своему ха- 'рактеру оно является статико-геометрическим, поскольку при 1его выводе использовались только уравнения статики и кииема. ;тическне (геометрические) соотношения.
Следствием последнего соотношения и закона Гука является нтегральное неравенство, связывающее произвольные стати- ,,', ески допустимое поле напряжений и кинематически допусти- ~зюе поле перемещений. ', " Используя формулу акзе~» = 2Ф(сц) (см. (2.176), (2.177)), "»(ожно записать 2Ф (с,"~ — е1~) = (а,"з а,'а) (е,"з — а,',з) ~ О. йэаекрывая скобки и учитывая легко проверяемое при помощи мул закона Гука равенство а,"зе',а — — а',зе,"з, получаем , сюда и из (3.23) следует искомое неравенство ~ а,", ° йдЯ вЂ” ~Ф(е",~)с(У~ ~ Ф (е,'~)й~— ч;, 3 и т 'М вЂ” ~ рГ и'дУ вЂ” ~ $ ° ц'1(3. (3.24)- т з» ,;нем, как и в двух предыдущих, ввиду положительной опре' енности упругого потенциала знак равенства имеет место ' ько при и" =а,' = ец, т.
е. когда оба рассматриваемых поля Ц Ц Ц' ' яются-дейстиитцельнйми. В.последнем случае из (3.24) вновь сдует теорема Клайпероиа (3.6). Левая н правая части последнего неравенства являются. :, ункционаламк соответственно статически допустимйя полей ряжений-и книематически допустимых полей перемещений. '.", ервый из них ограничен сверху, второй —.снизу. к / ' Обозначим их соответствецно Ь(ац) и („(и~). Функционал. ,';44(а~(), -являющийся (давностью работ»( 'статцческк допустн- 9 'Ю мых напряжений на заданных перемещениях н потенциальной энергни тела, назовем энергией статически допустимого поля напряясений.
Функционал 1„(и!), являющийся разностью потенциальной энергнн тела и работы массовых и заданных поверхностных снл на кинематическн допустимых перемещениях, назовем потенциальной энергией системы,нли энергией яйнематичесхи допустимого поля перемещений. Для действительных полей напряжений н перемещений обе энергии совпадают. А поскольку решение задачи доставляет как статически допустимое поле напряжений, так и кинематнчески допустимое поле перемещений, из (3.24) получаем следующую двустороннюю оценку потенцнальной энергии системы: 1„(а!!)~(1,(ан) =1,(и!) (1ь(и!)' (3.28) Потенциальная энергия системы, находящейся в равновесии, не меньше энергии любого статически допустимого поля напряжений (принцип Кастильяно) и не более энергии любого кннема.
тически допустимого поля перемещений (принцип л!инимума потенциальной энергии системы). Вар и а ци он н ые методы. Вариацнонные методы в математической физике состоят в замене краевой задачи для системы дифференциальных уравнений эквивалентной ей задачей об отыскании, экстремума некоторого функционала. Эквивалентность обеих задач означает, что фуйкцноиал принимает экстремальные значения на функциях, являющихся решением краевой задачи, и, обратно, функции, доставляющие экстремум функционалу, являются решениями исходной краевой задачи. Для краевых задач теории упругости такими функцнонат ь лами являются введенные выше 1,(и!) и 1ь(о!!). Методами варнацнонного исчисления можно показать, что для первого функционала дифференциальными уравнениями Эйлера — Остроград* ского являются уравнения теории упругости в перемещенняк (уравнення Ламе), а естественными граничными условнями— условия в напряжениях на Яь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
