Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При этом малост бъемов, как и малость участков поверхностей, следует пони- алость мать как малость всех их линейных размеров по сравнению с протяженностью тела. Задачи теории упругости очень сложны, и их точйое решение может быть получено лишь в редких случаях. Принцип Сен-Веиана позволяет часто так заменять граничные условия на малом участке поверхности тела эквивалентными нм условиями (эквивалентными в силу этого принципа), что решение задачи становится доступным. На практике часто граничные уел))вия на небольших участках поверхности'тела в каждой точке ие известны, и поэтому !Оа аад()ча теории упругости:не может быть поставлена точно. В этих' условиях принцип Сен-Венаиа позволяет"поставить задачу приближенно (с доотаточной для практичесцих приложений точностью), если на малых участках поверхности тела известны главные векторы и моменты действующих снл.
Если же' малые участки границы тела (например,'торцы'тонких етержней) закреплены, то, не выходя за рамки того же круга идей, можно вместо'задания перемещений 'в каждой точке закреплен'-- ного участка задавать перемещение и углы поворота в какой. нибудь точке, лежащей в пределах рассматриваемого малого участка поверхности. Принцип Сен-'Венана является физическим принципом. Его формулировка слишком обща и недостаточно точна для того, чтобы можно было ставить вопрос о его'математическом обосновании.
Математические исследования призваны более конкретно раскрывать содержание н уточнять формулировку этого принципа применительно к,частным задачам или к разным классам задач. Некоторые результаты исследования принципа Сен-Веиана содержатся в (141. Теорема Клайперона и теорема единственности решения задачи линейной теории упругости. Для произвольного объема У упругого тела, ограниченного поверхностью 5, в условиях геометрически линейных задач согласно равенств (2.140), (2.142) имеем б ~ Ф(ец) дк ~ рР ° би д)г+ ~ о„' ° бидон, (3.5) где би — возможные перемещения упругого тела (см. $26), а Ф(е„) — упругий потенциал (см. (2.176), (2.177)).
Заменим в равенстве (3.6) бп на перемещения и, которые получают точки упругого тела под действием заданных внешних сил и условий закрепления границы. Учитывая, что при этом бФ=(дФ/дева)бевз следует заменить на (дФ/де„з)евз 2Ф(ец) (последнее равенство написано согласно теореме Эйлера об однородных функциях),,будем иметь Это равенство выражает теорему Клайперона; рабцта всек внешних массовых и поверхностных сил, приложенных к произвольному об)ьему к' упругого тела, на окончательных значениях перемещений равна удвоенной потенциальной энергии этого объема. Применим равенство (3.6) к решению однородной задачи теории упругости, т. е. к случаю, когда массовые силы отсутствуют и правые части в граничных условиях (3.3)', (3.4) равны нулю ' 109 'асан ''8 'ю Щ+ о« вЂ” ' Вся ' поверхность упруг()го тела,' то правая ч»сть.:(36)'равна нулю, так .как а,~=О ка -э„и 0 н» 3« и 'й";~ О: Предполагая непрерывность.
компонент тензора деформация,', а силу.'.положительной определенности упругого потенцн»лой получаем; что тогда все деформации и яапряжения в геле равны нулю в к»жлоб его точке. В таком случае, как следует из фор-, мул (2.92), (2.93), если тело надлежащим образом не закрепле-' но, его перемещение может быть только. жестким и по+ + ого Х(Й вЂ” 'Во) (ио, «во — постоянные векторы). Из сказанного сразу следует теорема единственности решения задачи статики упругого тела.
В самом деле„в силу прин- . цяпв наложения разность двух решений и"', ош и и'а аш од" и яой и той же задачи есть решеняе соответствующей однородной задачи. Но для однородной задачи напряжения равны нулю, значит аш аи, е~,:,> еаь, перемещения же могут различаться лишь на слагаемые, соответствующие жесткому смещению тела, если, конечно, граница последнего'ие закреплена надлежащим образом.
й ЭЭ. РАСТЯЖЕНИЕ И ЧИСТЫН ИЗГИБ ЦИЛИНДРА Для практических приложений н теоретических обобщений большое значение имеет задача о деформации цилиндрического (призматичаского) тела, нагруженного только по торцам; массовыми силами пренебрегаем. Расположим оси х~, хь декартовой прямоугольной системы координат в плоскости одного из поперечных сечений цилиндра, а третью ось хо направим параллельно его образующим. Точная математическая постановка задачи состоит в решении уравнений (3.1) '(Р~ = О) при следующих граничных условиях на боковой цилиндрической поверхидсти тела:- ..
и,а, + пьао О (3 7) и условиях на торцах, состоящих в задании напряжений ао как функций хи хо. Эта задача очень сложна, и не представляется возможным в общем случае дать способ построения ее аналитического.решения. Если же поперечные размеры цилиндра малы по срав.нению с его длиной, то возможна другая; более простая, постановка задачи,-прииадлежащаи Сеи-Венаиу:,найти такое решение уравнений теории упругости (3.1) прн граничных условиях , (3.7) на боковой поверхности цилиндра, которое на одном из его торцов (например, правом, рис.' 18) приводит к данным ' главному вектору Т и моменту М напряжений ао, .на другом торце главный вектор я'момент напряжений определяются нэ условий равновесия цилиндра в целом.
110 Решение поставленной задачи, согласно принципу Сен-Ве . ' нана, с достаточной для практика,точностью будет определять :: иапрйкенное и деформированное состояние цилиндра всюду аа, : исключением малых областей, прилегающих и его торцам.
В выборе решения задачи Сен-Вен»на очевидно' имеется до.' вольно широкий произвол, которым Можна воспользоваться, за". даваясь, частично формой решения, достаточно общей, чтобы , можно было на торце цилиндра удовлетворить смягченным гра- ничным условиям Сен-Веиаиа («пойуобратный методэ Сеи- в-' иана).
зяв В за центр йриведення наиряжеияй ао,в произвольном иия перечном сечении цялнидра точку пересечения этого сече , поер с осью хо, определим силу н момент скедующимн формула ми: Т Т,е,' ~~ аойх|йхо, М = М«е« ~ ~ (х~е, + хоео) Х ао йх~ Ыхо. (3.8) ~., '3 с и дальше двойные интегралы берутся по области пояедесь и д еаьо'...":. речного сечения цилиндра. Сялы Т„Т, называются перер вающими, а То — продольной; моменты Мь Мь стремящиеся в Т ',:: изогнуть цилиндр, называются изгибающими, а момент Мо стремящийся закрутить ци- М '„;.;, линдр, — крутящим. Используя принцип наложения решений, общую за- Рко. 18.
~:,дачу Сен-Вен»на можно под- Ч; раздели з влить яа следующие независимые задачи: 1) растяжение ,. (сжатие) цилиндра продольной силой; 2) изгиб цилиндр ментами Мь Мо (чистый изгиб); 3) кручение цилиндра моментом М,; 4) изгиб поперечной силой, приложенной на конце. Ниже рассматриваются первые две задачи, задача круче'.„',':. вня будет рассмотрена в следующем парагР»фе. Этн задачи ;~, имеют первостепенное значение для офцей таврии изгиба и кру- .чения тонких стержней.,Последняя задача об изгибе поперечной ',". силой ие имеет столь большого значения и,в данной книге не о рассматрявается.
Й~ , Ввиду элементаряости первых двух задач рассмотрим. их вместе. Представим закон Гука в виде, разрешенном ртносительно компонент теизора деформаций Ееи — — (1 + ч) аи - ча Ьи, -, (3.9) : т, где Š— модуль Юнга, ч — коэффициент Пуассона '(см. (2.174)), ,;."'Р, Граничным условиям (3.7) и условиям' отсутствия и» 'тор , '7,"; цах перерезывающих сил и крутящего Момента можно удовлет- 1Н варить, полагая аы — ам — — азз= ам ам=О во всей области цилиндра.. Уравнения равновесия (3.1) дают дазз/дхз — — О, т,'е. напряжение азз не зависит от хз.
Предположим, что азз линейно зависит от х«н хз азз =Е(г — хзх«+ н«хз), (11.10) По (3.9) находим деформации е«з г;з=еэ«= О, гзз = е - нзх«+ н,х„ен = ем * — чгзз (3,1 1) Ввиду линейной зависимости от декартовых координат они тождественно удовлетворяют условиям совместности Сен-Вензна (2.96). Постоянные г, к«и кз определяются по заданным продольной силе и изгибающим моментам на правом торце цилиндра.
Для их независимого определения совместим ось хз с линией центров инерции поперечных сечений цилиндра, а оси х«, хз направим по главным центральным осям инерции сечения. Подставляя (3.!0) в (3.8) и учитывая, что (в силу выбора осей координат) интегралы по сечению цилиндра от х«, хз и х«хз равны нулю,, получаем (3.12) М« Мз к«*= —, из=в Е!« ' Е!з где 5 — площадь поперечного сечения цилиндра, а 1« ~~ х,'йх«йх„ /з ~~ х',йх«йхз — его главные центральные моменты инерции. Прн действии одной продольной силы'имеем простое растяжение или сжатие цилиндра в направлении его оси в зависимости от того, будет ли сила растягивающей (Тз ) 0) илн сжимающей (Тз ( 0). Деформациям (3.11) (н« = кз = 0), как нетрудно проверить, отвечают перемещения и! — тех«, из — техт, из= ехз.
Величина г представляет собой относительное удлинение цилиндра. Каждое поперечное сечение цилиндра остается плоским и изменяет все свои линейные размеры в т раз, оставаясв-подобным себе. Величина ЕБ, связывающая г й Тз в первой формуле (3 12), называется жесткостью цилиндра на растяжение.
При чистом изгибе Тз и е равны нулю, и деформация ци. линдра определяется постоянными з««и кз. Поскольку сдвиги г«з н езз равны нулю, поперечные сечения цилиндра остаются плоскими и перпендикулярными к его материальным хз-линиям после деформации. Рассмотрим изгиб мементом, Мз (М, =О, к« =0). В этом случае по формуле (3.11) имеем гзз — нзх!. Указанной деформации, как нетрудно проверить, отвечают 'поворот:ы«0, «аз=нзхз, ыз=тхзхз и перемещения ч«=,тнз)( :,'Х (х! — хзз)/2+ нзх,'/2, и,, тк,хгхз и, '- нтх«хз. Компонента поворота «эз определяет малые закручивания ':;элементов в поперечных сечениях цилиндра вокруг оси хз, обу- ::словленные искажением формы сечения. Среднее по сечению ,"значение этого поворота равно 'нулю, ввиду чего поперечные . сечении в целом не испытывают вращений вокруг оси цилиндра.
Компонента же «эз определяет жесткий поворот поперечных се- :, чений цилиндра н, следовательно, изгиб его материальных продольных волокон, поскольку последние остаются ортогональными к поперечным сечениям. Изгиб происходит в плоскостях параллельных плоскости х«х„т. е. плоскости действия момента Мз. Элемент длины дуги произвольно взятого продольного волокна после деформации равен (1 + гзз) йхз (1 з«зх«) йхз «З«зз ! г«зз ! гз ! — з«зх«««хв 1 — — к, кз является его кривизной,,Ввиду постоянства кривизны, каждое продольное волокно становится после деформации дугой окружности с радиусом 1/кз — х«.хз, следовательно, есть кривизна ',:волокон,'находившихся до деформации на плоскости х« — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
