Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 16
Текст из файла (страница 16)
$13, тензоры деформации Грина и Альманси). Использование тен,„ вора обобщенных напряжений позволяет представить интеграл. (2.138) в символической записи: Ь)~ = ~ Е,: 68сП/, (2.144» ' ю где (:) — символ полной свертки перемножаемых тензоров, Ьд Ьа пай(в ав Заменим в (2.139 ( .1 9) элементарное перемещение бп его выра" жением через скорость: Ьн = УЬЕ Тогда Ьеп — ~Й,.—.+ Н вЂ” ~ЬС 1Г" дт - дтх' 3 ~ дй! ВЬ1 являются ,Так как пространственные и материальные текущ ие координаты ними в о н различными криволинейными координатам, и, введен- „ одной и той же пространственной облас 1~(!) ( В ), , ереходя в этом равенстве к пространственным коор- динатам и сохраняя прежнее обозначение для приращения ком.
понент деформации, получаем Ье =-'' Здесь 71(... ) — символ ' ковариантного дифференцирования по' пространственной координате 0', Н~ — основной векторный ба- зис этих координат, п~ = ш(01; !)= ч Нь Согласно (2.100) 1 е„= — (71п, + !Г,П1) Теп — компонентЫ тензора скорости деформаций Е'( . з 22). ерь соотношение (2.!39) можно представить в.виде ЬК+И=( ~ и, ° иБ+ ~ рР чдУ)Э. (2.145) е<и гп~ В нем ЬТ( вычисляется по формуле (2.137), М ~ ааВе,ВаЪ'61 $ Е: Е'йг'ЬС (2.!46) еш г га Очевидно, что если ( — 6!т) — работа напряжений в объеме сплошной среды г'(г) за время 60 то ( — о~де,' ) = — (Е: Е') ,— мощность напряжений в расчете на единицу объема среды, 90 ' 'й ХТ.
ПОНЯТИЕ ОВ ОНРЕДЕЛЯ1ОЩНХ УРАВНЕНИЯХ. :ПРОСТЕЙШИЕ КЛАССИЧЕСКИЕ (фЦ1Ы - — В предыдущих параграфах этой главы введены величины „характеризующие движение любой сплошной среды, н получены те соотношения между ними, которые не зависят от физических свойств среды.,Между тем различные реальные среды ,'при одних и тех же внвШянх воздействиях ведут себя по-раз„'!ному.
Так, если металлический стержень и резиновый шнур од;. ной и той же длиной и диаметром растянуть силамн, одинако".'выми по величине, то. деформация (изменение длины и диа-, метра) резинового шнура будет гораздо. заметнее. В отличие от твердых тел любой объем жидкости нлн газа способен как -' угодно менять свою форму под действием сравнительно малых : снл. Если твердое тело можно растянуть или сжать в каком- ,'нибудь одном направлении нли подвергнуть всестороннему рас„'тяжению или сжатию, то в жидкостях и газах практически при. ходится иметь дело только со всесторонним с1катнем. Газы по '"'сравнению с жидкостямн легко сжимаются.
Это значит, что ,' при небольшом изменении давления их объем заметно ме.: няется. Итак, физические' свойства реальных сплошных сред необходимо учитывать при изучении их движения. К такому же заключению приводят и формальные рассуждения — сравнение числа неизвестных в упомянутых выше соотношениях н колн.:: ЯеЪтва этих соотношений. В итоге оказывается, что число неизвестных на шесть превосходит число уравнений для нх определения. Недостающие соотношения можно получить, рассматривая специфические свойства сред, характерйзующне их сопротивляемость силовым воздейотвням и зависящие от внутренней ,структуры среды, степени н скорости нагруження, температуры. ,, ' и пр..
Эти свойства в механике сплошных сред описываются ;" ' определяющими уравнениями, которые представляют собой тензорное соотношение, устанавливающее связь между статическими н кинематнческнми величинами. Примером статических величин могут служить напряжения, а 1()1нематическнх— 'компоненты деформации или компоненты скорости деформаций. Мы ограничимся рассмотрением 'простейших классических сред, т. е. сред с простейшими определяющими уравнениями. К, ннм относятся идеальные жидкости, линейно-вязкие (ньюто-- - новские) жидкости н линейно-упругие твердые тела. !Три этом различные реальные жидкости н газы называем одннаковр— жидкость.
В любой реальной жидкости в состоянии покоя векхт1Р' Напряжения п~ на произвольной элементарной плрщадкеь'колли. неарен нормали и, которой ориентирована данная плбщадкв, и . одинаков по величине для всех направлений в рассматриваемой точке, т. е. в„(8') = — р (О') п, (2.147) где р — велнчнна напряжения, нлн гидростатическое давление в жндкостн.
Знак минус указывает, что прн р) О напряжения сжимающие. Соотношение (2.! 47) является опытной зависимостью и известно как закон Паскаля. В механике жидкостей касательное (нлн сдвигойое) напряжение называют внутренним трением. Если внутреннее трение в жидкости отсутствует, ее слои свободно скользят один вдоль.
другого, н жидкость не оказывает изменению формы никакого внутреннего сопротивления, т. е. свободно растекается нли прн- Рис. 14. ннмает форму сосуда, в который налита. В покоящейся жид'- кости внутреннего трения нет (см. (2.147)). При движении в жидкости возникает внутреннее трение. В этом можно убедиться на простом опыте. Рассмотрим течение между двумя параллельнымн плоскими пластинами, расположенными на небольшом расстоянии друг от друга. Пластины считаем бесконечной протяженности. Пусть нижняя пластина неподвижна, а верхняя движется в своей плоскости с постоянной скоростью ч (рнс, 14).
Расстояние между пластинами обозначим через И и предположим, что давление в жидкости постоянно. Опыт показывает, что,жндкость прилипает к пластянвм,,так что ее скорость вблизи нижней пластины равна нулю, а вблизи верхней пластины совпадает со скоростью пластины к=веь В силу малости И н значительной протяженности пластин можно считать скорость жидкости равной ч = ч (хз) = (пхт7И) е, = в, (х,) е„ (2.148) п,(хз)= пх,/И, о=сопя(, О(х,я'И.
Зависимость (2.148) подтверждается экспериментально. Для осуществления такого движения в жидкости со стороны верхней пластины необходимо приложить силу в направлении движения, которая должна уравновесить силы внутреннего трения жидкости. Чем легче движется жидкость, тем мень- ,:шне у усилия надо прилагать для преодоления ее внутреннего трения. Мерой легкости, с которой жддкость течет, нлн р 'подвнжностн жидкости, является ее вязкость. Очевидно, что .:вода н воздух менее вязкие, чем глнпернн нлн масляная краска; ,:пп сравнению с глицернном н масляной краской вода н воздух "обладают меньшим внутренним трепнем н потому более под.
:. внжны. но пеЖидкости, прн изучении движения ' которых мож рь;небречь эффектом вязкости (нлн, что то же самое, внутренним '~ трением), рассматривают как идеальные. Идеальная жидкость. Идеальной жидкостью называется среда, в которой даже в состоянии движения отсут:ствует внутреннее трение. Тогда для нее вектор напряжения в 'на любой площадке с нормалью п в любой момент времени 1 ; имеет тот же внд, что и для покоящейся жидкости, т. е. в„= — р(8', 1)п.
(2.149) десь р( ' )— ' 3 (О'; 1) — скаляр, называемый давлением жидкости; ь 0' — пространственные координаты. Соотношение (2.149) устанавливает, что для идеальной жндпроизвольной фиксированной ее точке 0' в любой момент времени 1 любая элементарная площадка главн ая и что главные значения тензора напряжений и вш — — аа> = о ~э> = — р (8 ' 1) (см. $23). Следовательно, тензор напряжений идеальной жидкости шаровой (см.
5 13) В--р(0', 1)С, (2.150) т,", 6=й К" — метрический тензор, й~ н й' — векторы основного и взаимною координатных базисов пространственных коор'динат. Итак, тензор напряжений идеальной жидкости определяется одним скаляром р(0', 1), н число неизвестных в системе нз трех скалярных уравнений движения н уравнения неразрывности сокра ается до пяти (давленне р(0',1), плоЛость р(0';1), трн кр щ . О к в к омпоненты скорости). Недостает одного уравнения.
Одна о н' 'н "' ' екоторых случаях идеальную жидкость можно считать несжмаемой. Тогда к уравнениям движення н уравнению неразры- вности присоединяется условие несжнмаемости в виде +ч Ур О (2.151) Оно означает, что плотность каждой частнцы среды прн ее движении постоянна. Прн движении сжимаемой жндкостн (газа) во многих случаях. можно принять р = р (р) (2. 152) эз т. е. в каждой частице давление зявисит от плотности..Такие жидкости называются баротроиными. Соотношение (2.152)— пример уравнения состоянря среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
