Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 14
Текст из файла (страница 14)
112)ь Таким образом, теизор найряжений Е(О"; !) полностью определяет напряженное состояние среды в каждой ее точке. Те«вор напряжений (2.115) симл<егричпый Для доказательства составим второе условие равновесия рассматриваемого тетраэдра (см, рис. 12) — приравниваем к нулю главный момент 'действующих на него сил. Так как момент массовых сил по сравнению с моментом напряжений будет малой величиной порядка длины ребра тетраэдра, то, его вычислением можно не заниматься.
Силы а„й5„всегда считают приложенными в центре тяжести соответствующей площадки. Пусть С< — центр тяжести координатной грани О'= сопз1 тетраэдра, а С вЂ” центр тяжести некоординатной грани. Тогда (рнс. 12) < — 3( < Г МС= — В. йО'. 3 « — Главный момент снл определяем относительно центра тяжести иекоординатиой грани, используя при этом формулы (1.29), (1.30) (МСа — МС) Х о-ай3а=~ ЙайО Х О-ай8а = 3 !~а Х аайО дала= в Ва Хо«1/2 = а К,Ха' Йьдр — Э„в о' Й" йод=О В силу произвольности объема йк' Э З„о«а = О,'что эквивалентно симметрии тензора напряжений, г. е. ац = о«. То же тз ' ' мое, очевидно, относится к ковариантныы н смешанным ком° < 3 'нентам„а<< а«, ац а< а).
Выясним физический смысл компонент тензора напряженйй. ля этого материальные' координаты О< выберем так, чтобы в ' сматриваемый момент временй1 они были нрямоугольнымн ч екартовымн с ортами е<. Тогда в этот момент времени Е аыа<е ее, е о<ц> — физические компоненты тензора напряжений.
'В йронзвольной точке М среды выделим элементарный коор- инатный параллелепипед (рнс. 13). Векторы напряжений иа ; го координатных гранях равны а< в; а,=Е е, а<„ае„ й„о а < = — а«,ое«. <о На рйс. 13 показаны компоненты ''.векторов аь и а ь. Нормальное,1 —---- <'напряжение на координатной, г', ~'~во ; грани, ориентированной векто! ром еь равно (см, (2.109)) ею ь а,=о, е,=а<и< ркс.
!3, ' в!Касательное напряжение на той же грани вычисляется по фор' Муле Ф< (а, а,— Ь<)ь=(О«ь<+О<)ц!)Ь (! чь1~ й ~ 1). ,ъ Таким образом, физические составляющие гекзора напряжена <Ний Е равны нормальным напряжениям па координатных плв(!); щадках, если индексы компонент равна, и определяют «асатель-' пые напряжения.на тех же площадках, если индексы различны. Поэтому а«о называют нормальными напряжениями, а д«п(1чь 'Ф', '-',чь 1) — касательными напряжениями. Для симметричного тензора напряжений Е можно ввести 'главные направления н главные значения,,называемые елав- Е о<ые<ые<ьь ( ными напряжениями: а<о ~ )аов ~ь амь З своем главном векторном базисе е<о тензор Е имеет канонический.вид„1, ° ' (2.
ПО) - У Из (2.116) следует, что на елавпых площадках, 'т. е. на площадках', ориентированных главными направлениями тензора напряжений, касательные напряжения отсутствуют, а пормальпыв напряжения принимают свои вкстремальпые значения а<о 79 (см. $13). Главные инварианты тензора напряжений связаны с его главными значениями формулами У< а<в+ асл+ а<з>, Уз = ее<а<вась Уз« вЂ” а<на<я + аша<з< + аьзаш. Инвариант 1 1 з У' з (а<'<+ а<в+ а<м) (2.!17) называют средним нормальным напряжением. Переход в полученных соотношениях к пространственным координатам осуществляется формально, путем снятия в них значка «Л».
В качестве упражнения предлагается вывести эти соотношения в пространственных координатах и тем самым осмыслить такой формальный. переход, а также связать компоменты напряжений а<1 и а«, считая закон движения среды из. вести ым. й 24. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ.
УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ Фундаментальным законом классической механики является закон сохранения массы любого материального объема среды во все время движения. Ранее (см. $ 14) мы говорили о мате- риальных' линиях и поверхностях как о линиях и поверхностях,' состоящих во все время движения из одних и тех же частиц среды. Аналогично материальный объем в любой момент вре- мейи содержит одни и те же частицы. Форма записи закона сохранения массы в лагранжевых н эйлеровых координатах различна. Рассмотрим произвольную частицу среды 0', объем 'которой в отсчетной и текущей конфигурациях равен соответственно йу и <!У.
Массу этой частицы в отсчетной конфигурации обозначим, о через дт, а в текущей конфигурации — через <!т, Если Р(0'1 У) о и р(0')= р(8', )з) — плотность частицы в текущей и отсчетной конфигурациях, то < т р ( ) ~ У а т Р ( ~ ) о В силу закона сохранения массы <Ут = <Ут. Так как (см, (2.75)) У = —, =[(1+ 2е<п)(1+2ев<)(! + 2е<я))~; еУ где е«> — главные значения тензора деформации Грина, то р = р/У = р ((1 + 2е«>) (1 + 2ев>) (1 + 2е<з<)) ь, (2.118) Соотношение (2.118) представляет закон сохранения массы в лагранжевых координатах, дт=р(0<+ д0', !+ д<) дУ.
Так как (см. (2.102)) <УУ = д У (1 + <(1 б!ч ч), ч = ч (О', 1) то ле р(8 ( д0<1 ! ( д<) = Р(0', 1)+ш<-дг, <2<п = <УУ (1 + <21 б!ч ч) [Р (0 '* !) + л< <'!1 д +Д'д<~~б< +Я з П и авнивая т и т и <1 <! и учитывая произвольность объема <(У и п омежутка времени ,р р <11, приходим к уравнению неразрывности, представл ющему р я ему закон сохранения массы в Эйлеровых координатах — +рб<чч — 0 ш (~Р ++ч. Чр), Е среда несжнмаема (см. (2.103)), то <(р/<(! = О, т.
е. плотсли сред частиц постоянна во все время движен . д ия. О пако плотность ся. В этом случае гово- ности различных частиц могут отличать рят, что среда неоднородна. $25. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОИ СРЕДЫ. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ В о ьный момент времени ! мысленно выделим из произв л деформируемого т ого тела его часть У(1), ограниченную п рВостью 5(!), и обозначим Через р(М; !) его плотность в произ- 01 (2Л19) '" О.
Пусть теперь все величины, характеризующие движущуюся <сплошную среду, определены как функции пространственных ' 1<ооодииат 8' н времени (. 1"<редположим, что в момент времени ! частицы среды (не- 1"<редп " важно какие) имеют пространственные координ т . фэтот момент, времени принимаем за отсчетную. , . Считаем, что текущая конфигурация соответствует р в в емени Для любой частицы 8' среды, выбранной в момент времени ,'.
! и имеющей юшей в этот момент объем с<У, масса — р( ', ) и ! <1! та же (0<; !) — плотность среды. В момент времени 1+ частица занимает объем с<У, имеет плоти р( '+ ность 8' <2011 1+ <У!), и ее масса ~ р(Е- ') йУ+ ~ в„йв-О гн> эи> (2.120), Заменим в (2.120), напряжение в„по формуле Коши (2.112)з. В результате получим; р(Р— ч') НУ+ ~ и ВОЗ= О, (2.120)к ни> за> где и — орт нормали к поверхности Я(!). Интегралы в равенствах (2.120)> и (2.120)к можно вычислять как в материальных, так и в пространственных координатах.
Предположим, что подынтегральные выражения в (2.120)з достаточно гладкие функции и что интегралы вычисляются в материальных координатах. Тогда, используя формулу Гаусса'— Остроградского (1.61)>, соотношение (2.!20), можно преобразовать к виду (2.121) ~ (р(р ч)+р 2)й =О, > а> где Ф вЂ” набла-вектор (2.30), р = р(0'; !) — плотность среды как функция материальных координат и времени; функциями тех же аргументов являются ускорение >к=, ч' (оно определяется по формуле (2.17)), массовая сила Р и тензор напряжений Е. В силу произвольности объема У(!) из (2.121) следует уравнение двиг>«ения среды в дифференциальной форме 7 Е+Р(Р— ')-О.
Ч= д",. (2.122), Согласно формулам (2.113)>, (2.1!5)Е =д'8Щ, о>(йи)ь д'% — вектор напряжений на координатной площадке . 88 . вольной точке М. Взаимодействие этого объема с остальной частью тела происходит через поверхность 3(!) и сводится к поверхностным силам, плотность. которых мы назвали напря-', ' жением и-обозначили" через а (М; т) (см.
й 23), Свгласио прин-' ципу равновесия, сформулированному в й 23, силы, распреде. ленные по новерхибсти 5(т), должны находиться в равновесии с массовыми силами, действующвми на объем У(1), причем в массовые силы следует включить силы инерции (этот вид снл выделим особо)-. Если Р(М; !) — плотность массовых сил (кроме сил инерции),-»'(М;1) — ускорение среды, то равенство нулю главного вектора всех сил, действующих иа рассматриваемый ' объем, приводит к следующему уравнению движения спдошной среды в интегральной форме: > ~ сопз1. Нетрудно проверить (см.
(2.30), .(2.32), 3 10, 11), У ' ..- - Р. Х 1~' ° %>«(06~1(тйа) 7«д ма й ь д (эчй86) э-ч " ((д'')ч*в,1, ( дй~ .дй д ::) и' -«ччч.((4)" о" >о> Ч чо '>). к : 'Ф " Используя равенства (2.123) и закон сохранения массы (см. „-$24), записываем уравнение (2122)>' в различных вариантах; Р.дои+ р (Р' — 8') -О (2.124) (8> и> и> дч> г> г м>) „'1в (йй.) !+рй (Г ") О (2126) ч.((о)ь"о">о>Ччо«>1Ч!(ч'- ~')-о э .Фу, (р=р(0', !о), а'=ч й, г =г.
К). Если в отсчетной конфигурации 0' = к> — прямоугольные декарч о '>'3 ' товы'координаты с ортами (к>=м>=е>, то уравнение (2.126)> , примет вид +~у"д«8(8>ь+ '"')1+Р (Р> — д",') О. '($4ЯО)э ' В предположениях геометрически линейной механики (см. й 21) оно преобразуется в следующее; «1 чР дачи / де> 1 ,лй дк« ~ д! ~ . (2126 (В=а«ае„е,, р>=р Е„о>-'е>).,Ф., Заменяя в (2.126)ь символ д(...)/х„на 7>оч(..к), записываем -,это уравнение в произвольных криволинейных координатах (ср.
с преобразованием формул (2.65) к виду (2.87)) ° ->к~ к > дь>х Чв" +р Р— — =0 дч к., (2 126) (т а«ач» о Р> Р о> о>, 1»>) „,д,' Как и в $23, переход в полученных здесь соотношениях к пространственным координатам осуществляется формально, пу-" тем снятия значка «Л»; ускорение чч = ч'следует вычислять по ''.'Ф' ч4> 88 формуле .(2.19). Итак, уравнение (2.122)< становится слвдующим: рч'= Ч 3+ рр ~ч'» —, + ч Чч), (2.!22)о где ч — йространствениый набла-вектор (2.18), Р = р(8', 1)— - плотность среды как функция пространственных координат и времени; функциями тех же аргументов являются ускорение >ч = ч, массовая сила г и теизор напряжений Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
