Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Предположим, что пространственные координаты прямоугольные декартовы и о, = а,„е — вектор напряжений на коор-. ' динатной площадке х, = сопз1. Тогда уравнение (2.122)о можно представить в следующих вариантах записи: до<„ до, до, Ри>< = д + Рр< и>> = д< + иа д„ ! (2 127) ~ха ~й дх +< (2.128) ха Выше приведено уравнение движения сплошной среды в различных формах. Какой из них воспользоваться, зависит от задачи, которая решается. Так, материальные координаты удобны при исследовании главным образом твердых деформируемых тел.
В этом случае естественно использование уравнений (2.122)ь (2.!24), (2.126)< 4. При решении задач механики жидкости и газа предпочтительнее уравнения в пространственных координатах (2.122)<ь (2.127), (2.128). Достаточно широкий круг прикладных задач охватывают приближенные уравнения ' (2.!26)о,ь Некоторые нз них рассматриваются в главе П1. Это будут в основном задачи статики, когда ч< = ч'= О, и уравнения движения становятся уравнениями равновесия. Полученные нами уравнения движения еплошной среды вы-' ражают лишь одно условие равновесии тела — равенство нулю главного вектора всех' действующих на него сил, включая силы инерции. Второе условие равновесия — равенство нулю главного момента тех' же сил — выполняется тождественно в силу симметрии тензора напряжений.
Покажем это, вычисляя в материальных координатах главный момент относительно начала координат системы отсчета. Момент поверхностных сил $ ФХо.)йЗ= ~ ФХ(п.х))йЗ= з«> з«> =- ~ [п (~ХИ)) йЗ= — ~ [ч (ВХВ)[йУ ч <<> — („"й. ХВ+ВХК,)1й = ч (<> = ~ !ВХ(ч В) — Й' (хХВ.)[йУ. ч (в ''Момент массовых сил г и сил инерции ~ [ВХ Р(р -ч')) ')йУ. ч и> ,,:. Главны(1 момент. всех сил ~ (1(ХФ 2+Рт(р — ч')) — %' (Вхк.))й -О. г«> 1"'Здесь первое слагаемое в Подынтегральном выражении обра!:,'щается в нуль 'в силу (2.122)<, а второе — в силу симметрии тензора напряжений. Действительно, В' (ВХВ,)=В' (бочвар„ХВ.)=д"В,ХВ.-О.
Соотношения (2.120)<, (2.121) представляют интегральную 1<4[>орму записи закона изменения количества движения в меха"м>оке спло н ш ых сред. Тот же закон для бесконечно малого объ- 2.124 — 2.128 . >,"ема среды заключен в уравнениях (2.122)<ль ( ) — ( ) Количество движения объема У(1) сплошной среды опреде',, ляется интегралом (2,129) 0(1) ~ Рч4 и оо ',:, Закон изменения количества движения сплошной среды утвер- ," '-ждает что ско скорость изменения со временем количества движеб материального объема равна главному вектору ния лю ого ее м нове хностных и масвсех действующих на этот объем внешних поверхн , сових сил.
Главный вектор сил, действующих иа рассматриваемой объем У(1) среды, равен ' ~ Рг йУ + ~ а„ йЗ, так что г (о 3 (<> '< '' должно быть 1 РчйУ= ~ ргйУ+ ~ о,йЗ. (2.!30) 3 ° > «> ч«> ли> з '' ;, Для доказательства эквивалентности равеист ( . ), в (2.120) и ' )."',-(2:!30) достаточно показать, что —; ~ РчйУ= ~ Рч йУ. г <о > «> ,; <Йспользуя закон сохранения массы, в материальных координа- -;„' тах имеем ~ очи = <рчйУ, .г (<> ча о где Уо-У(1о), Р=Р<, < Тогда о а «< 3 — рчйУ= — "РчйУ ((рч'йУ ~ Рч'йУ.
Л< ~рч о<» ' > (<> ,~<; . ая % Согласий (2.115) Ф -Момент количества, движения объема У(Г) сплошной срв((в,', относительно' начала координат системы отсчета определяетеае интегралом 1'(г) е ~' (Й Хмр) дУ. ' (2.13ф( г(п Закон изменения момента количествр движения сплошной среды состоит в том, что скорость изменения со временем момента кпличества движения любого ее материального объема равна главному моменту всех сил, действующих на данный объем. Этот закон выполняется тождественно по компонентам тензори . напряжений з> в силу его симметрии (проверить). $'2Е.
ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОИ ЭНЕРГИИ. НАЧАЛО ВОЗМО>КНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИИ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД В произвольный момент времени 7 мысленно выделим из деформируемого тела его часть У(Г), ограниченную поверхностью 8(г), и обозначим через р(М; 7) его плотность в произвольной точке М. Действующие на этот объем среды силы — поверхностные с плотностью о.(М; 7) и массовые Р(М; г) — удовлетворяют уравнениям движения„полученным в $ 25. Вычислим работу, которую совершают перечисленные силы на элементарных дополнительныхперемещениях Ьп =т(М; Г)61, сообщенных точкам рассматриваемого тела. Обозначая через ЬА плотность (в расчете на единицу массы) этой работы, получаем соотношение ЬАР(1У = ~ о„ЬП,((Я+ ~ РР ° Ьп((У. (2.132) г ((> з(ч г ((> Его преобразуем так же, как равенство (2.120)» преобразование поверхностного интеграла в объемный по формуле (1.61)> с предварительной заменой напряжения в, по' формуле Коши (2.112)>ь Так же, как н в $25, вычисления производим в материальных координатах.
Итак, вь дпдз= ~ и Х Ьп((Я= ~ Р (В ° Ьи)дУ~ 3"(о 3(» гю Ра Р деам и Поэтому в' ° Ьп ((3 ' ~ ~(т> . В) ' Ьп +'4 'а (Йа ' Ф)~ ((У' Бв> г(о, Если' точки среды по'сраьмаиию с перемещением и получили дополнительное малое пере(е(еп(ение Ь~, то при этом компоненты н6р л фьр' и Гр ..'(Я>пму и ~~ р ш ~~ :,''Отсюда дйе - дйи Х дйа Ье + Используя четвертое свойство тензоров из $7, находим ) к> д ~На дйч ~ — — Еаа. ''1>,'. При помощи формул (2.133), (2.134) соотношение (2.132) преобразуем к виду ~ ~ЬАР((У= 1 (Ф 'Е+РР) Ьп((У+ ~ д'ейе" ,дУ, г(п > в> г((> Т напряжения и массовые силы удовлетворяют уравнеак как на (2.122) ' ниям движения среды, то в силу ( .
) > 1 (Ф Е+РР) Ьп=ри* Ьп='рт' ТЬ(=-р — (т'ч) ( ° '' и го> Р 2 — ( е . 2.13 ЬАР((У 2 ~ Р—,( (и ч)аУЬ1+ ~ д' Ье,е((У. '(2.136) УЩ г (ь Кинетическая энергия любого объема ' среды У(7) опреде',>' ляется интегралом К(1)=-' ~ Рч чдУ> (2;!36) 2 у((> 67 ч т /, „рг'.ц, Тогда бсс=~в-тя!" 1 Р . „в 1в 4К ' > вг ую (2.137) 1 Р— ',С<ч ч)йУЫ ' у <с> — приращение кинетяческой энергии тела за время И ( полная производная по времени интеграла (2. 1 36 ) вычисляется так же, ка к интеграла (2.1 29) ) .
Полагая Иг= ~ бвгбв „йУ у<о 'и используя (2.137), записываем равенство (2.135) в виде ~ 6,4рйУ=бК+бН. > <с> (2.138). В силу (2.132) бК+Иг= ~ а„бойе+ ~ рР бцйУ. (2.139) < и> <' <с> П и ба=0 р брб = 0 приращение кинетической энергии тела за время И будет равно элементарной работе всех действующих на него сил, поверхностных и массовых. При И Ф 0 работа внешних сил расходуется еще на,преодоление внутренних сил взаимодействия между частицами среды, препятствующих дополнительным перемещениям этих частиц.
Поэтому говорят, что И вЂ” работа, которую надо затратить на дополнительную ефо тела соот ветствующую перемещению бц, а ( — И) является работой 'внутренних сил (напряжений) на дополнительных деформациях бви. Соотношение (2.!39) представляет теорему о кинетической энергии материального объема сплошной среды. В 2. ( .138), взятую со знаком минус, называют приращением работы.
напряжений (или элгг<гнгарной работой' напряжений) того же объема. В статике, когда К(с)= О, равенство (2.139) имеет вид бст = ~ а„бойе+ ~ рГ бпйУ. (2.140) 5 Соотношения (2.139), (2.140) получены без каких-либо огра-. ничений (за исключением гладкости) на элементарные перемещения бп. Поэтому под бп можно подразумевать как истинные приращения перемещений, полученные точками тела на .неко-, тором бесконечно малом этапе его деформации, так и ггомгтри- Я (2.141) чески возможныг пврггсгщгния, т. е. перемещения, не,нарушающие сплошности тела и условяй его закрепления. Если считать, что в (2.140) бп — геометрически возможные перемещения, то это равенство оказывается математической записью начала воз'' 'можных перемещений для' рассматриваемого объема среды.
,Начало возможных пгрггсгщгний в механике сплошных сред формулируется следующям образом: для находящегося в равновесии объема сплошной среды У сумма работ всех действующих.-на него внешних и внутренних сил на любой системе геометрически возможных перемещений должна быть равна нулю. Для этого объема ( — И) — работа внутренних сил (напряжений), а интегралы в правой части равенства (2.!40) представляют работу внешних поверхностных н массовых сил. Рассмотрим интеграл (2.138) и будем считать, что в нем приращения компонент деформации бви соответствуют истин.
ному приращению перемещения йп. Эти значения бен обозначим через йеи н перепишем (2.138), заменяя область интегрирования У(1) на Ув= У((в) (объем, который имело деформий о ,' ": руемое тело в отсчетной конфигурации). Так как йУ/йУ= =Я/д)'с (см. (2.76)), то И = ~ (4/й)'"двгйгвгйУ., (2.138), Ув В отличие от (2.138) в (2.138)> от компонент деформации завясит только подынтегральное выражение. Для целого класса реальных сплошных сред характерно существование такой скалярной функции Ф(гсс), что П й < П дас дви ' — г бвгйв = — йг =йФ, да> 1О ~ вг дввг вг б|=йс<= ~ сХФ(всс)йУ йЦФ(всс)йУ1.
(2.142) Уа ~е ,. Функция Ф(ви) является потенцИалом напряжений и в то же : время представляет собой потенциальную энергию дгфоргсации тела, отнесенную к единице его объема в отсчетной конфигурации. Определенные формулой (2.141) напряжения а." называются обобщенными напряжениями (181, Они . являются контравариантными компонентами тензор», 'ггнзора обобщенных напря-' жений Х,. По определению, В =ау»В В . (2.143) в, При малых отнОсительных удлинениях и сдвигах (8/у)'С ~ 1 (см. (2.75), (2.76)), о' д'", но тепзор истянных напряжений з1Щ~ Е но-.прежиему будет отличен от тензора обобщенных напряжв* ннй Е, (с подобной ситуацией мы уже сталкивалнсь — см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
