Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 24
Текст из файла (страница 24)
яия), при которых краевая задача Ь(тт) + юзчч =О, я в 1з О, чг~~„— — 0 (3,31) (в означают здесь поделенные на временной множитель нацря.- жеикя) 'имеет ненулевые решения. иа Числа в и соответствующие им ненулевые решения ю-задачи ' (3.31) называются соответственно чистотами к формами сво- >> бодиых колебаний (собственными чистотами и собственными '. формами).
В случае механической системы с конечным числом !: степеней свободы число собственных частот совпадает с числом „: ее степеней свободы, и общее движение сястемы складывается .!> из конечного числа независимых простых гармонических коле- =. баний. В рассматриваемом же случае сплошного упругого тела (системы с бесконечным числом степеней свободы) имеется бесконечная последовательность собственных, частот и форм ыы ,,-"ю~ (я = 1,2,3, ...). Обычно частоты являются корнями неко- ;;. торого трансцендентного уравнения.
Отметим простые важные свойства собственных форм н частот колебаняй: а) собственные частоты юл и соответствующие ; им формы юй вещественны (гэаь> 0);. б) собственные формы ' тч, ю„отвечающие различным собственным частотам(ю Ф ю„), ;.:. ертогойальны, т. е. (У вЂ” объем тела, р = сопз1) ю «„дУ =О. Доказательство этих положений основывается на положи- .„тельной определенности упругого тютенцнала и по сути не от- ' личается от доказательства аналогичных свойств для малых ',:колебаний системы с конечным числом степеней свободы. Ниже :,.„' (в $36) это доказательство будет проведено для частного слу- ,'.чая поперечных колебаний стержня. В качестве примера выведемуравнение для определения Час- ' тот свободных радиальных колебаний-полой сферы с внутрен- ,.ним радиусом )г, и внешним )ть Уравнение Ламе (3.28) в случае чисто радиальных колеба- л()знй, прн которых (см.
5 31) го(н О, б(ч и = г'дг'и/дг, где )1й(г, 1) — смещение вдоль радиуса, принимает следующий вид: „6 ;Подставляя в него и (д/Иг)<р(т)соз(И+у) н вводя новую- >р переменную х йг (й=ю/сь), получаем следующее уравне-' ,,"Мие для определения функции <р: .',М:. еьр 3 ' е>р —,+- — + р-о, »х~ х Ех >тоощее решение которого имеет вид <р (а з!и йг+ й соз йг)/г. ;Вычисляя напряжение вко получас м е ° 4ст в з и >:;. — = — с й~р —— р с . г вт .',(временной множитель здесь опущен). 6 з ме 129 Предположим, что границы г = Я, и г=Я2 свободны о1 напряжений. Тогда, подставляя ~р(г) в последнюю формулу и приравнивая в„нулю при г Яь )ть получаем следующую систему уравнений относительно постоянных а и б: [(х — й'Я',) з!и й)~, — нЯ, соз й)Ц а+ + [нМ, з(п йР, +(н' — йхН) сов й)Ц () О, 4сг 2 (1 — 2т) 1 — т Второе уравнение получаем из первого заменой Я, 'на Я,, Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю.
Приравнивая определитель нулю, находим частотное уравнение хИ1 + (22Я1, — и) (КИ, иИх+ (а'(222 — и) (К Из й'Дх — к — ийР,1КИ, й й~ — к — иИх )К'Ир Корни этого уравненияй', й,' ... определяют собственные час'тоты по формуле а = схй. Рассмотрим предельный случай тонкой сферической оболочки. Тогда ((2 — Я~ Ь й. (т ((т )(1). Подставляя в частотное уравнение Яз= Я+Ь, разлагая его правую часть по степеням й и отбрасывая члены выше первого порядка малости, получкам (И)' — к (3 — и) [ИР О. Отсюда имеем их~'-,и —.,~, -и„г- „ 2й Наличие в предельном случае тонкой оболочки только одной частоты колебания соответствует тому, что такую оболочку можно в пределе рассматривать как систему с одной степенью свободы (конечно, только в случае радиальных колебаний).
Полученное для нее значение частоты совпадает с тем, которое вычисляется в приближенной теории тонких оболочек. й за. унругне волны Пусть в неограниченной упругой среде (массовыми снламн пренебрегаем) вектор перемещения зависит только от координаты х, и времени й В этом случае говорят о плоских волн<щ, распространяющихся параллельно оси хь Уравнение (3.28) распадается на три независимых одномерных волновых уравнения: х д'и, д'и ' з д'и~ ' д'их сс —,' = — '-. ст —,=— дх~ др дх~~ др (уравнение для их такое же, как и для их), каждое из которых имеет общее решение вида и = / (х, — с() + д (х, + с() (с = с, для и = и~ и с = ст для и = им из), где / и д — произвольные функции.
Представленное общее решение одномерного волнового уравнения является наложением двух волн — прямой и обратной,— распространяющихся в противоположные стороны со скоростью с (направление распространения волны /(х~ — с() совпадает с направлением оси х~). Численное значение каждого слагаемого остается постоянным на плоскости, перпендикулярной к оси хь которая перемещается вдоль оси со скоростью с в ту или другую сторону. Таким образом, очевидно, что всякую плоскую волну можно представить в виде суммы двух волн — продольной цд = =(иь 0,0), распространяющейся со скоростью сс вдоль направления смещения частиц, и поперечной нт = (О, иь из), распространяющейся со скоростью сг в направлении, перпендикулярном смещению частиц. Очевидные равенства го1ць = О, 6(чиг — — 0 показывают, что первая волна не вызывает вращения частиц среды, а вторая не изменяет их объема.
Скорости сс и с, называют еще скоростями звука в данной среде. Как видно из формул (3.29), они зависят от упругих свойств и плотности среды. Их отношение (3.32) (поскольку т) 0) зависит только от коэффициента Пуассона ч среды. В качестве примера укажем, что для стали сс = 6000 м/с, сг = 3200 м/с, а для воздуха сс = 330 м/с, сг = О. Поперечная составляющая скорости звука в воздухе равна нулю, так как воздух практически не сопротивляется деформации сдвига.
Используя предыдущие результаты, петру)()но записать выражение для плоских продольных и поперечных волн, распространяющихся в направлении орта и: их = и) (и )С вЂ” сс(), нг = 3!(п Н вЂ” сг(). 'Здесь !х= х ех, з — орт ортогональный к п, указывающий направление смещений в поперечной волне. Важный частный случай представляют гармонические волны, в которых поле перемещений является периодической функ- 4 пней времени. Согласно предыдущим формулам в плоской гармонической волне перемещение является функцией ( — и м/с, где с в скорость, а п — орт, указывающий направление распро!. странения волны.
Простую гармоническую волну с частотой ы : 'можно представить в комплексном виде а = Йе А ехр ! (м( — к !х), й = па/с, (3.33) би 131 где А — постоянный комплексный вектор, длина которого определяет амплнтуду волны; вектор к называется волновым вентороло. Для продольной (поперечной) волны с = сь (ст), а направление и коллиыеарно (перпеыднкулярно) и. Произвольная.
волна может быть представлена в виде сумт мы, плоских гармонических волн с разнымн волновыми векторами, частотами н амплитудами. Такое представление основано на возможности разложения периодической функция в 'ряд Фурье нлн выражения непериодической функции в виде интеграла Фурье и на прйнцнйе наложения волн. В безграничной упругой среде продольные н поперечныв волны могут существовать независимо друг от друга.
Если же среда нмеет границы, то существование одного типа волн вообще невозможно ввиду наличия граничных условий. Покажем это на примере упругого полупространства х~ ) 0 с жестко закрепленной нлн свободной грани- В цей. Предположнм, что в нем возын- пт з ' х~ кает плоская продольная волна', па- 1 в„в, дающая под углом Оо к оси х| (рыс, 21) цо — А,п,ехрг(вг — й,х, — й,хД, (2.34) где Ао — — сопз1 — заданная амйлытуда волны; по = ( — соз Оо, — з(п Оо) — направление ее распространения; со — чаРис. 21. стота.
Здесь н далее знак вещественной части опущен. Еогласно (3.32) компоненты волнового вектора определяются по частоте оо равенствами с„й, = — от соз Оо, ссйо = — со з(п Оо. Прн отличной от нуля амплитуде смешение (3.34) не будет удовлетворять граничным условиям на плоскости х, = О. Поэтому наряду с падающей волной должны возникать отраженные волны. При наличны симметрии задачи отыосительно плоскости хохо векторы смещения этих волн не должны зависеть'от х,.
Будем искать решение в виде суммы' падающей (3.34) н отраженыых плоских продольной н поперечной волн и = ио+ ис+ ит~ ис = Апсехр1(оо1 — йгсх~ — йосхо), ит Ве, Х п„ехр((сог — йцх, — йотхо). Здесь пы пт — орты, указывавшие направления отраженных волн, А н  — нх амплитуды. Если Ос и От — углы отражения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
