Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Во всех перечисленных случаях а) — д) первые критические силы равны. »я«Е! Р1 = —, где постоянная й в случаях а) — д) равна соответственно й = 4; 1; 0,25; 2,046; 1. й 36. кОлеБАния Стержней Уравнение малых продольных колебаний стержня, при которых смещения направлены вдоль его оси, получим, добавляя в левой части второго уравнения (3.57) силу инерцни — РВд»в/д!л, отнесенную к единице длины осн стержня, дт д«в — — р — = 0 дг да где Т=Т,=ЕЯ вЂ” (нспользуются формулы (3,49) и'(3.55) при дв и =О), Подставляя Т из второго уравнения в первое, получаем длв д«в /е а' — — — О, а= »/ —. (3.61) дг' ды ' »/ р Это одномерное волновое уравнение со скоростью а продоль'ных волн в стержне. Для полной постановки задачи необходимо задать начальные н граничные условия.
Первые сводятся к заданию в начальный момент времени 1 = 0 перемещения в и скорости д1и/д! во всех точках оси стержня ои(х~ 0) = оио(г), д ~ ио(г). дв Граничные условия могут быть самыми разнообразными. На свободном конце (г 1) сила Т ' равна' нулю и мы имеем 149 , дв/дг(, ~ = О. Если конец (г = 0) заделан, то на нем Если на стержень не действуют внешние силы, то говорят о его свободных (собственных) колебаниях. Решение, соответствующее свободным колебаниям с часто; той в, ищется в виде' !и(г, !) (Агава!+ В в1п в!) Ф(г). (3.62) '. Подставляя его в уравнение (3.61) н сокращая на общнй вре. менной множитель, получаем Ф" + (вг/ао) Ф= О, откуда следует : Так как 0 Ф О, то получаем частотное уравнение в! сов — = О, о -„'.
пз которого находим собственные частоты: в„=(2й — 1) — ", Й=!, 2, 3, ... ол Им соответствуют собственные формы колебаний (㻠— 1) яг Ф» (г) = в)п (3.63) (3.64) ." Общее решение определяется в виде ряда слагаемых вида ,; (3.62), соответствующих различным собственным частотам и ;:„формам (3.63), (3.64) ти(г, !) = Х (А»созе»1+ В» в(п в»!) Ф» (г). Г! Постоянные А» н В» определяются нз начальных условий дв 1 юЬ-о= 2, А»Ф»=во!Х), д! ~ о ~ В»э»Ф» = ио(г) Это разложения в ряды Фурье по формам. собственных колебаний функций, задающих начальные условия. 149 вг вг Ф = С сов — + 0 в1п —. о астоты н с оответствующне нм формы свободных колебаний им, что конец определяются из граничных условий.
Предположим, "; стержня г = О заделан, а другой конец г=1 свободен. Тогда ',1р(О) = О, Ф'(1) = О, н мы получаем С=О 0 — сов — "=О. в д о Ввиду очевидных равенств ! ~ фос(г — 2 ° о о (й ~п; ортогональность собственных форм) коэффициенты указанных разложений определяются интегралами ! 2 Г 2 Г Ао = — ) шеф«с(г, воВо = — ) оофос(г. (3.65) о о Предположим, например, что стержень был растянут силой Р, приложенной к правому концу, и в начальный момент 1= 0 внезапно освобожден без сообщения его точкам начальной скорости. Начальное относительное удлинение стержня будет аво Р ег' ая ' Отсюда Подставляя это значение шо и начальную скорость со(г) = 0 в (3.65), после несложных вычислений находим 8е! Ао — — ( — 1) ' (2» 1)...
Во=О, и решением задачи будет ряд 8е! Ч ! (-1)о+' . (2й — 1) иг (2й — !) ит в= — ~ — зш и! .й. (2й — 1Р 2! соз 2! о ! Рассмотрим продольные колебания стержня с грузом на конце. Конец стержня г = 0 заделан, а к концу г =1 прикреплен груз с массой т, Граничные условия будут ° дв 1 д'в и!(О, 1)=0, — ЕБ — ~ =т —,~ дг(е ! дп 1« Второе из них есть уравнение движения груза т, на который со стороны стержня действует сила — Т(1,1). Как и выше, получаем частотное уравнение рй! — 1д — —— и и !и и формы колебаний фо = з)п(ооог/а).
В правой части частотного уравнения стоит отношение массы стержня к массе груза. Если это -отношение мало, то мало и отношение в11/а (в!— первая, основная, частота колебаний), н тогда Эта система приводится к одному уравнению четвертого порядка для прогиба и(г,1) д"и дои р(г, !) с' — + — = — ' дг' дп рз (3.67) и с' = —. 8' р с При отсутствии внешней погонной нагрузки вместо последнего уравнения имеем (3.68) д'и д'и с' — + — =О дг4 д!о Рассмотрим свободные поперечные колебания стержня, один конец которого г=О заделан, а другой г=1 свободен. Согласно (3.66) имеем следующие граничные условия: и!'-о а* ~, аг, ~,- = а,, ~ =О. (3.69) Отыскивая частное решение уравнения (3.68) в виде (3.62), для формы колебания ф(г) получаем уравнение о!' ф!ч — уф= О, йо = —,.
го (3.70) Граничные условия для ф(г) получаем из (3.69) р(0) ф'(0) = О, р" (1) ф'" (1) = О. Таким образом, аналогично общему случаю свободных колебаний упругого тела (3 33) мы имеем задачу на собственные значения: найти такие значения и" (собственные значении), при < ; е! у!ЕВ11т частоте колебаний груза на безмассовой «пру', жине» с жесткостью Е5/1.
В предельном случае РИ/т-» оо получаем частотное уравнение для стержня со свободным правым концом. Уравнения малых поперечных колебаний стержня, при ко- . торых смещения перпендикулярны к его оси (и! = 0), получим, добавив в левой части уравнения (3.57)! силу инерции. Счи' тая, что продольная сила отсутствует (Т, = 0) из (3.56), (3.57) имеем — — р:о — о +,о (г, 1) = О! (3.66) дМ д'и которых .задача (3.70), (3.7!) 'имеет ненулевые решения ~р(г) , (собственные функции).
Докажем для рассматриваемой задачи сформулированные в,й 83 свойства собственных частот н форм колебаний. П усть ф , >р, — собственные функции, отвечающие собствен-. .ным значениям Й' н Й'„. Умножая уравнение (3.70) для ф„ нв ф, и интегрируя его в промежутке (О, !), будем иметь „(ф , >р,) (>р , ф„), где (7", и) означает скалярное пронзав. двине функций, т. е. интеграл от ~й по промежутку (О,!).
Интегрируя по частям два раза, получим (>РГ ф ) ф ф !а — ~Р>дР,!о+ бр~ ф ). Виеинтегральные члены обращаются в нуль в си (3.71 силу условий ( . ) (так же в случае других однородных граничных условий). Таким образом, имеем равенство 4 и и Й»>(ф»» ф») '(ф>ь> ф») (3.72) н аналогичное ему, получающееся перестановкой индексов т н и. Вычитая одно из другого, имеем (» — »'„)(ф, ч>„) (3.73) Докажем вещественность н положительность собственных чисел. Допустим обратное,-т. е.
что существует. комплексное собственное число»„н соответствующая ему комплексная собственная функция ф . Тогда очевидно комплексно сопряженные им величины»' н ф тоже будут соответствующими друг другу собственным числом н собственной функцией. Подставляя и ф, =ф в (3.72) и учитывая положительность скалярных произведений (>р, ф ) и (ф", ф"), получаем, что Й' > 0 Собственные'функции можно теперь считать вещественными. Из (3.78) при Й;»~Й', следует их ортогоиальиост1и ( )=' О (из чь п).
ч»», >р») об В курсах математической физики показывается ,'9, 22,' с ствениые функции образуют полную систему функцйй на ), что промежутке (О, !), т. е. любая функция 7(г) (удовлетворяющая довольно общим условиям) может быть разложена в р Ф р по системе собственных функций >р (г). ряд урье Линейно-независимыми решениями уравнения (3.70) яв. ляются сЬ»г, зп»г, соз»г, з!п»г. Вместо иих во многих случаях удобнее использовать следующие их линейные комбийации (функции А.
Н. Крылова): 1 ф1(»г) ~ з (СЬ Йг + сов Йг), фз(»г) = з (зЬ Йг+ з(п Йг), ч>з(»г) ~~-и з(сЬ Йг — сов Йг)> >)>1(Йг) = — (з)1 Йг — з1п Йг) 2 гс 1ЭЗ > , удовлетэоряющие равенствам ф~ ф1 ~ ((=1; 2, 3, 4; ф, ф>) и >р,(0) -"1, Ч>з(О) фэ(О) =фз(0)= О. Подчиняя общее решение уравнения (3.70) >р (г) = С,>(>, + Сзфз + Сзфз + С4ф~ ' граничным условиям (3.71), находим .
С, = С, О, С,ф, (Й!).+ С>ф,(Й!) О, С,ф, (»!) + С„М, (Й!) 0 ; Ненулевое решение этой системы получаем, приравнивая нулю ',*,;еа определитель, что приводит к частотному уравнению сЫИ'соз»! = — ! . (3.74) ,; являющиеся решением уравнения (3.70) при » -,~('-~ '/и - пи л '~/ и Вольшое значение в технике имв10т колебания, вызываемые , периодическими внешними силами.
Последние можно предста.- ,' вить в виде тригонометрических рядов Фурье, н пользуясь прин, ципом наложения решвний, рассматривать действие отдельных , гармоник. Рассмотрим выирждвииыв поперечные колебания стержня, '. дозбуждаемые простой' периодической нагрузкой вида р(г, !) * " э и(г)совой. Граничные условия иа концах однородны (оба , нонКа заделаны; оба конца шарнирно оперты; один конец Корни этого уравнения Й ! ((= 1, 2, 3, ...; Й>1= 1,875; Йз! 4,694; Й,! = 7,855; ...) являются собственными значениями ' задачи (3.70), (3.71). По инм находятся частоты свободных ко- , лебаний >э~=с~»>.
Собственные функции, как нетрудно видеть, определяются равенством ф;(г) =ф,(Й,!) ф,(»1г) — ф> (»1!) ф,(»,г). Дальнейшее решение задачи о свободных колебаниях приводит к нахождению разложений начальных условий и(г, 0) и,(г), -8.„-~, . ио(э) ди 1 „.. в ряды Фурье по функциям ф~(г) и не отличается от изложен- ' . ного выше. Вслн концы стержня шарнирно опарты, то вместо ($.71) ' имеем условия ф(О) = р" (О) = ф(!)= ри(!)-О, которым удовлетворяют функции ф„(г) = з1п-Т-> и(г, 7) = ~ ~„(1)фл(г) (3.75) заделан, другой шарнирно оперт; один конец заделан, другой свободен).. Общее решение уравнения (3.67) будем искать в виде ряда Фурье по формам собственных поперечных колебаний стержня фл(г) Рассмотрим простой случай шарнирнр опертого на обеих концах стержня.
Решение уравнения (3.77) будем искать в виде (3 75), где ф„(г) — функции (3.74), удовлетворяющие граничным условиям шарнирного опирания. Для )„(1) получаем уравнения )и+сзйз(йз+)з)1 =О, й = ли. для чего правую часть уравнения представим аналогичным рядом рбь 1) рх =соза1 ~ д„ф„(г), л ! где РЗд„— коэффициенты разложения функции д(г). Подставляя оба ряда в уравнение (3.67) н учитывая, что согласно (3.70) ф„'ч (г) = й'ф (г); поело сравнения членов с одинаковыми ф.(г) получим уравнения для определения коэффициентов 7„(1) ряда (3.75) а27 ч соз а1 Это уравнение вынужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы с собственной частотой а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
