Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 31
Текст из файла (страница 31)
к случаю бесконечной пластинки с отверстием). При этом потребуем, чтобы напряжения и поворот стре,', милнсь к конечным значениям аоо и ооо при ~г[-о.оо. Тогда получим, что о ' о о о о . о .г' ао=йо=О, й)2, 4а1 он+поз+(Еоо, 2(л ам — ац+12ап. 1М Таким образом, окончательные выражения для . функций ф(г), ф(г), относящиеся к случаю бесконечной пластинки с отверстием, таковы: ф(г) =' — '+,'(Я'+ аФ) 1пг+ + ~ ( в + ав + ЕЕевв) г пц (г), ф (г) — (Р1 ~ ЕР(вп) ! п г + + — (авв — ап + )2ав ) г + ф,(г), (3(100) где СО ЯО ф (г)= ~„авг ~, ф (г)= ~'„Ььг (3.101) в-в в-в где а — угол между е, н вь Определитель преобразования базиса положителен ввиду конформности отображения.
Пусть ир, ив — компоненты вектора перемещения, а арр, арв, авв — компоненты тензора напряжения в базисе е,, ев. Компоненты вектора преобразуются по тем же формулам, что и векторы базиса. Отсюда легко получить равенство. и + Еив — — (и, + Еив) е ". (3.103) $6в — регулярные в рассматриваемой области функции. Эффективным методом решения плоской задачи для конечной односвязной области или для бесконечной области с одним отверстием является использование конформного отображения заданной области на круг единичного радиуса.
Наряду с плоскостью комплексной переменной г = х~ + Ехв рассмотрим плоскость комплексной переменной ь ре'в и в ней круговую область с границей р = 1 (единичная окружность с центром в начале координат). Пусть регулярная функция г =х(ь) '(8.102) задает конформное отображение области 5 на плоскости г на указанный круг в плоскости ь. Полярные координаты 'р, 8 в плоскости ~ можно рассматривать как криволинейные координаты в плоскости задаваемые соотношением (3.102). Эти последние ввиду конформности отображения являются ортогональными. Пусть ер, ев — орты касательные к координатным линиям р и 8 криволинейных координат в плосхости г.
Связь между ба'- зисами е„е, и еь ер.задается формулами ер=е,соза+е,з!па, ев= — е,з!па+в,соза, омпоненты тензора преобразуются по каждому индексу ана- ,'~огнчно компонентам вектора. Поэтому, дважды применяя пре- образование (3.103), имеем арр — авв+ 12арв = (арр + Еарв) + 1(ав + Еавв) = =((аур + (а~в) + Е(авр + Еарв)) е = ((ан + Еам) е-'Р + Е (ам + Еам) е '") е '" = = (аи — ам + 12а,в) е-'ы. Переходя к сопряженным величинам, получаем авв — ар, + 12арв = (а„— ан + Е2ам) е"". (3.104) Для вычисления экспоненциальных множителей в форму- ' лах (3.103) и (3.104) сместим точку г вдоль вектора ер в бес- '~:конечно близкую точку г + дг. Этому смещению по (3.102) со- „: ответствует радиальное смещение точки ь в близкую точку ;:--' ф+ Нь. Следовательно, можно записать Дг — еы! Дг ! Д~ е1В! ~Е~ ! "~ Отсюда находим еы рв " © "~ е~в Перейдем в функциях ф(г) и ф(г) к переменной '(.
Сохраняя ':,для ннх старые обозначения, запишем ф(г) =ф(х(ь)) =ф(~)~ ф(г) =ф (х(ь)) =ф(ь). (3.108) , Обозначая их производные по г соответственно через Ф(ь) и Ч'(ь), имеем ::Равенства (3.102) — (3.107) и равенство а р + авв = а„+ ам 'Цозволяют переписать формулы (3.93) в координатах р, 8.. Пер- . Вые две из них, определяющие напряжения и поворот, будут ',:иметь следующий вид: а + авв+ ЕЕ<~= 4Ф(~), (3,108) Ьн (ЬЕ авв — арр+ 12арв — — —, (х(~) Ф'(~) + х'(~) ту (~)).
Преобразуем к криволинейным координатам граничное усло- "' вие (3.94). Имеем ф(у) + (1) ф'(у) + ф (у) = И (у), (3.109) н' '(в) "'где у = е'в — точка на единичной окружности, а О(у) есть пра- „:; вая часть равенства (3,94), записанная как функция у, Езт Рис. 29 2 = х (ь) Я ( — + ть), где .!с —, т= (1, а+Ь а — Ь 2 ' а-1-Ь а и Ь вЂ” полуоси эллипса. Вид функций ф(ь) = ф(х(ь)) и ф(ь) = ф(х(ь)) получаем из формул (3.100), (3.101), в которых следует положить р',п=р,"1=О, сао = 0 (поворот на бесконечности яринимаем равным нулю) ф (~) — ~ Ах К) + ф, (~), ф (~) = Вх (~) + ф, (~), (3.1 10) где фо(ь), фо(ь) — регулярные в единичном круге функции и 1 1 А = — р В = — — ре-"".
2 ' 2 Бесконечная пластинка е эллиптическим отверстием. Прикладывая равномерные усилия к кромкам прямоугольной пластинки можно получить в ней однородное напряженное состояние а'„. Если, ие изменяя усилий на кромках, сделать в пластинке малое отверстие, то возникнет новое напряженное состояние о,', + и',. Опыт и расчеты показывают,что дополнительные напряжения оу 'концентрируются у края отверстия и затухают по мере удаления от него. Напряжения около отверстий могут значительно превосходить приложенные к ф пластинке внешние усилия и их фг определение имеет первостепенное значение для суждения о прочности пластинки, Таким обф задач о концентрации напряжений около отверстий.
Если размеры отверстия малы по сравнегф нию с расстояниями от границы отверстия до внешнего контура пластинки, то задачу можно значительно упростить, рассматривая бесконечную пластинку с отверстием с конечными напряжениями на бесконечности, равными о'„, Рассмотрим бесконечную пластинку с эллиптическим отверстием, растягиваемую на бесконечности силами р, направленными под углом а к оси 'х~ (рис.
29). Е!апряжения на бесконечности равны ап — 'рсоа'а, оо„=р сова з!па, оо р з!п'а. Граница отверстия свободна от напряжений. Функция, отображающая плоскость с эллиптическим отверстием на единичный круг, имеет следующий вид: "'Пддставляя ф(ь) Щ) в граничное условие на контуре отверстия (3.109) (Н(у) = 0), получаем фо (у) + ~~.- фо (у) + фо (у) = — Ах (у) — Вх (у). (3.1! 1) х (у) ' На единичной окружности у = е",у = 1/у и х (у) т -1- у' у х'. (у) ! — туо Введем функцию ~! — т~'' т+ Ьо такую, что на единичном круге К(у) = х(у)/х'(у). Тогда, раскрывая правую часть граничного условия (3.111), будем иметь фо(у)+ К(у)фо(у)+ фо(у) = — Л(А+ тВ) у — Л(Ат+ В) у. Регулярные в круге функции фо(ь), фо(ь), удовлетворив)щне этому условию, будем искать в виде сумм фо (ь) =% (ь) + фо (ь)> фо (ь) = Ф (ь) + фо (ь) подчиняя первые и вторые слагаемые в них соответственно условиям % (у) + К (у) ф( (у) + ф (у) = — Л (А + тВ) у, фо(у)+ К(у)~рг(у)+ фо(у) — И(Ат+ В) у.
Решение первой задачи очевидно: ф1(ь) = О, ф1 (Ь) = — Я (А + тВ) Ь = — -~- (! — те-"") $. Решение второй задачи определяется следующим обраэомо ф~(~) — Л(А +В)~ +(е'~.— )г„ фо (ь) — К (ь) фо (ь) = -ф (епа — т) ь -; — — ь -. Подставляя найденные значения фо(ь),фо(ь) в формулы (8.1101, определяем ф©='4' [-'+(""-т) 1 ,)У Г1 (1+„Р ма) г ось о-1 ф © = — — "' ~- е-'~ + 1 — а)ь' По формулам (3.108), (3.107) можно вычислить напряжения, ":, Наибольший интерес представляют максимальные напряжения, которые всегда имеют, место на контуре отверстия.
Поскольку 1ээ граница отверстия свободна от действия внешних сил, иа ией орр — — орз = 0 и по первой формуле (3.108) при р = 1 имеем овз = 4йе Ф (Т) 4йе ч' (т) и'(Т) ' Подставляя найденное значение ф'(ь) и и'(ь), получаем 1 — и" + 2и соз 2а — 2 соз 2 (В + а) зо Р ! Р 1 — 2исоззв+и Пусть а = О„т, е. растяжение пластинки происходит в направлении оси х!. Тогда о 1 + 2и — из — 2 соз 28 Ез Р-! Р 1 — 2т соз 28+ из Максимум этой функции достигается при 0 = ~п/2 (в концах малой.оси эллипса) 3 — и г Ьь шах(озо) ! =- — р= ~1+ 2-) р. Коэффициентом концентрации напряжений называется отношение максимального напряжения к напряжению на' бесконечности р.
В данном случае он равен 1+26/а. Для пластинки с круговым отверстием (д = а) коэффициент концентрации равен трем. й 88. ИЗГИБ ПЛАСТИНОК Теория изгиба тонких 'пластинок имеет большое прикладное значение ввиду их широкого использования во многих областях техники. На 'практике обычно условия нагружения пластинки или условия закрепления ее краев исключают возможность сильного изгиба. Такой изгиб при малых деформациях был бы возможен лишь по. поверхности нулевой гауссовой кривизны (например, цилиндрической или конической), поскольку известно, что именно в такую поверхность может быть изогнута плоскость без растяжений и сжатий и образования складок.
Поэтому для большинства технических приложений оказывается достатачной теория, предполагающая малые прогибы пластинки (малые по сравнению с размерами пластинки в плане). Аналогично случаю слабого изгиба стержней (й 35), эта теория является нелинейной. Она становится линейной лишь в случае очень слабого изгиба, когда прогибы малы по сравнению с. толщиной пластинки. - Напомним,'что под пластинкой понимается цилиндр малой ' высоты 2Ь. Оси х!,.хз декартовой системы координат располагаются в плоскости, равноудаленной от оснований цилиндра (в срединной плоскости пластинки), третья ось х, = х направлена перпендикулярно к основаниям.
170 Как и в предыдущем параграфе, тензорные индексы прннн*,: Мают значения 1, 2 н на них распространяется правило сумми„;,рования; третий индекс х будет выписываться явно. В основе приближенной теории изгиба пластинки лежат :.' след щие предположения (гипотезы Кирхгоффц). '. Г ервое (называемое гипотезой. прямых нормалей) гласит: ",:.Йрямые волокна, перпендикулярные до деформации к средин':.„' ной плоскости пластинки, после деформации остаются прямыми ,.'...н перпендикулярными к изогнутой срединной поверхности и не .,3 изменяют своей длины. Второе (статическая гипотеза Кирхгоффа) формулируется следующим образом. Нормальные напряжения о„, действую'. щие нв площадках, параллельных срединной Ооверхности пла:,'., стинки, малы по сравнению с продольными найряжениями оп и ими можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
