Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Его общее решение при а Ф а, удобно записать' в следующем виде: ~„(1) ",, (сок аг — сова„1)+ Ал сов а„1+ Вл зйп а„Г. (3.76) л Оно состоит из вынужденных гармонических колебаний с частотой вынуждающей силы а н из свободных колебаний. Постоянные А„и В. находятся йз начальных условий задачи. Если частота вынуждающей силы близка к одной из собственных частот а ж а„то соответствующее слагаемое в ряде (3.75) становится большим и наступает, как говорят, резонанс.
При а ал вместо первого слагаемого в (3.76) имеем частное Решение (д,/2ал)Гз!пал1, котоРое можно полУчить по пРавилУ Лопиталя предельным переходом а-з а„. В этом случае амплитуда соответствующей формы движения не ограничена во времени. Если стержень растянут (сжат) постоянной продольной силой Т„ то при изучении его поперечных колебаний равенство (3.66), следует заменить полным уравнением (3.57), и тогда вместо (3.68) будем иметь уравнение з д'и з д'и д'и С "3 л — С 1) Х-Г+ дЗз ~ О, (3.77) р л з р 1б4 При й~+ )) > 0 эти уравнения дают решения, соответствующие . гармоническим колебаниям с частотами „=ей„Д+-Р.
з Собственные частоты стержня при отсутствии продольной силы „:равны сй'. Таким образом, растяжение стержня ф) 0) уве' личивает частоты его свободных колебаний, а сжатие (5( ) л' ( , уменьшает их. При й~+)) <0 ~,(1) выражается через экспоненциальные , функции вследствие чего и существуют такие сколь угодно ма''лйе начальные условия (отклонения и скорости), при которых движение не будет ограниченным.
Это означает, что прямоли, нейная форма равновесия сжатого стержня будет неустойчивой. Указанный метод исследования устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня называют динамическим. Значение )) = — й| приводит к первой эйлеровой критиче;ской силе (см, 3 35) Т, = — лзЕЦ(з. $ 37. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В данном параграфе рассматриваются задачи о деформации ,цилиндрических (призматических) тел. Во всех приводимых 'случаях ось х, декартовой системы координат направлена вдоль образующих цилиндра, а оси хь хз параллельны его основа- , ниям, " ' -П оскими называют задачи, в которых напряжения и пере- '*, и щ ния являются функциями лишь двух независимых п рел е е е ти менных, определяющих положение точки в некоторои плоское (хзхз), и, кроме того,.тензор деформаций или тензор нацряже- , инй является плоским, т.
е. е~з = езз = езз = 0 (плоское дефор- ' мированное состояние) или ам = азз — — о,з=О (плоское напря- : женное состояние). Во всех соотношениях этого параграфа тензорные индексы ;,'.(в том числе и индексы суммирования) 'принимают значения 1, ;-2, а индекс 3 будет выписываться явно. Плоская деформ а ци я. Исследуем плоскую деформа- Ийию цилиндра, при которой перемещения параллельны его осно- ',. ваниям и не зависят от координаты хз. и; = и; (х„хз), из = О. 1бб Из равенств;(Э,1) получаем .ев езз 0 пзг 0 Рз=О, — + рр, = О, о;7 = Ле,збп+ 2)зеп, ае„ диз ди( (3.78) 2еп = — +' — .
азз * та дх дх ! 6«" Статические граничные условия (3.3) на боковой поверхности цилиндра сводятся к двум: и и„;=~о (3.79) Из приведенных соотношений видим, что для существования плоской деформации необходимо, чтобы массовые силы и силы, приложенные н боковой цилиндрической поверхности, не имели составляющей по оси цилиндра и не зависели от хз. Задача о плоской деформации цилиндра двумерна н состоит в решении уравнений (3.78) (нроме последнего) в области 5 его поперечного сечения при граничных условиях (3.79) на ее границе 1.. Напряжения аз, определяются по последней формуле (3.78) после решения задачи. Они приводятся к силе, параллельной оси цилиндра и перпендикулярному ей изгибающему моменту.
Эти сила и момент могут быть «сняты»,с оснований цилиндра наложением на плоскую деформацию решений простейших за- дач о растяжении и чистом изгибе (см. 9 29). Тогда в случае длинного цилиндра по принципу Сен-Венана на ненотором уда- лении от его торцов суммарные напряжения будут незначи- тельно отличаться от истинных напряжений в цилиндре при свободных основаниях. В качестве примера рассмотрим задачу о деформации длин- ного кругового цилиндра с радиусом з(, вращающегося вокруг своей оси с постоянной угловой сноростью в. Если пренебречь весом вала, то действующие на него массовые силы окажутся равными радиальным центробежным силам Р, = в'т.
Такой вал находится в условиях плоской деформации, которую удобно исследовать в цилиндрических координатах т, О, х,. В силу осевой симметрии перемещения в вале чисто радиаль- ные и,=и(т), из=0. Деформации определяются тан же, как и в 9 Э!. е„= йи/йг, езз = и/г, е,з = О. Векторное уравнение в перемещениях (3.2)з сводится к одному скалярному (го1 и = О, б!ч и = т-Чги/йг) (86 интегрируя «отаров, получаем рв " ° а'+ 8(л+ гр) тз , Так как решение должно быть конечным при т-» О, следует по'; ложить Ь = О. Вычислив рвз (2Л+ Зр) а„=2(Л+)з)а — ( + ) и выполнив граничное условие о;, 0 при г=)(, найдем рв*)7 (2Л+ З» 8 (Л+ 2)з) (Л+ р) Окончательные значения перемещений и напряжений таковы: рвх С 2Л+ ЗИ (Л+2р) ~ Л+р /' рв'(2Л+ 3>) (®з 4 (Л + 2И! 4 (Лр+ 2)з) Н2Л + 3)з) ~ (2Л + )' ) 1 :", Напряжения а„эквивалентны силе, приложенной в центре ~: (с= 0) »нрв%' Т= 2п ~ аззтйт= — ~ —.
Чтобы снять эту силу, на полученное рещение следует наложить решение для простого сжатия ($29) — т — »рамаз азз — — — —— н)(з 2 Плоское напряженное состояние пластинки. '. Пластинна есть цилиндрическое тело, высота которого 2Ь (толи(ина пластинки) мала по сравнению с двумя другими его раза мерами. Плоскость, равноудаленная от оснований цилиндра, называетсзв срединной плоскостью пластинки. Если расположить, оси хь хз в срединной плоскости, то верхнее и нижнее основа, ния определяются уравнениями хз'= й, хз = — Ь. Линия пересе-' '.
чения срединной плоскости с цилиндрической (боковой) поверхностью образует границу, или . контур Е, срединной пло..'сности. Через и = н«е и 1 = г'„е„ обозначаем единичные векторы внешней нормали н касательной к Ь. Предполагаем, что 157. Еец — — (1 + ъ) оц ' — тоаабц а езз = у'"за=, — — е,а. (3.80) Присоединим к ним равенства даз да 2ец — — — + —. д«1 дхз ' (3.81) выражающие деформации через перемещения, Ввиду малости толщины пластинки вместо напряжений оц, дЕфОрМацИА Ец И ПЕрЕМЕщЕНИЙ из С дпетатОЧзйзй СТЕПЕНЬЮ тОЧ- ности можно рассматривать их средние по толщине значения, определяемые формулами вида л 1 оз1(х~ «з) = ~ оц с(хз. 2Л -л Среднее по толщине перемещение из, а также из(хь хз,0) равны нулю ввиду симметрии задачи относительно срединной плоскости. Осредняя (3.80), (3.81) по толщине пластинки, для средних величин получим, очевидно, равенства не отличающиеся от первоначальных. Ввиду этого знак осреднения (Л) и дальнейшем опускаем; 166 ,тройка векторов и, 1, ез правая, з — переменная длина дуги кривой Е, отсчитываемая в направлении 1 (рис.
27). Рассмотрим деформацию пластинки силами параллельными срединной плоскости. Массовые силы Г Е~е1+Езез и силы на боковой поверхности пластинки 1=11е1+(зез предполагаются четными функциями хз. Основания пластинки считаются свобод«а 'ными от напряжений: озз — — им = = озз=О при ха==Ей. Малость толщины пластинки по сравнению с другими ее размерами позволяет упростить задачу, заменив трехмер'ные уравнения теории упругости их ' двумерным аналогом. га Напряжения пз, равные нулю на основаниях пластинки хз = ~Ь, х, ввиду малости толщины можно считать пренебрежимо малыми по сравРис. 27. нению с напряжениями оц, парал- лельными срединной плоскости.
Полагая в уравнениях закона Гука (3.9) озз = О, получаем следующие приближенные соотношения: Обратимся, наконец, к первым двум уравнениям равновесия (3.1). Интегрируя нх в пределах толщины пластинки- по хз и учитывая, что в силу граничных условий на ее основаниях л дазз л -3-„- (хз- зз! л-О, -л для средних по толщине напряжений оц получаем следующие уравнения равновесия: ~ — +рЕ,-О, (3.82) , в которых под Е;(хи ха) следует понимать средние по толщине , пластинки значения массовых сил.
Уравнения (3.80) — (3.82) образуют полную систему для определения перемещений иь из деформаций еп, ень ем и напряжений ои, ом, оы в пластинке (слово «средних» в дальнейшем опускаем). Деформация езз определяется по формуле (3.80)з после решения задачи. К названным уравнениям необходимо присоединить граничные условия на контуре Е срединной плоскости пластинки. Это могут быть условия в напряжениях аа,па 11 (З) нли условия в перемещекиях и, =е,(з), из — — згз(е), 169 '", получаемые из общих граничных условий трехмерной теории ' (8.3) и (3.4) на боковой поверхности пластинки осредненнем ', 'яо толщине.
Сформулированная задача называется задачей о плоском '' напряженном состоянии пластинки', поскольку тензор напряжения в ней оц является плоским (оз1 озз = озз = 0), деформация же не плоская, так как ел»чу О. Заметим, что задачи о плоской деформации цилиндра и плоском напряженном состоянии пластинки математически идентичны.
Уравнения (3,78)з первой из них переходят в уравнения (3.80)1 второй путем формальной замены параметра Х на Х' 2хзз/(Х+ 21з) или обратно, (3.80)1 переходят в (3.78)з, если сделать замену Š— Е7(1 — тз)с т-а-т/(1 — т). Уравнения равновесия для обрих задач одинаковы. В дальнейшем, говоря об уравнениях плоской задачи теории упругости, будем для определенности иметь в виду плоское напряженное состояние. Сформулированные выше зависимости являются двумерными аналогами соотношений общей теории упругости.
Поэтому все основные результаты последней без особого труда переносятся на плоскую теорию упругости. Потенциальная энергия на единицу объема, определяемая выражением о«эв„.а/2, при помо- щи формул (2,176) Может быть выражена как положительно- определенная квадратичная форма компонент вц «плоского» тен- зора деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
