Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Гипотеза прямых нормалей аналогична гипотезе плоских се-" ,чений в теории стержней.($35). Смысл ее состоит в следующем. При деформации тонких пластин возникают большие продольные напряжения оп, по сравнению с ними касательйые напряжения о~з малы. Следовательно, продольные деформации еи велики по сравнению со сдвигами ем и при определении первых можно пренебречь вторыми, т.
е. изменением наклона нормальных элементов к срединной поверхности и нх искривлением. В то же время, определяя расстояние тачки от срединной поверхности после деформации; можно пренебречь изменением ~ .,длины нормальных волокон. Пусть и =и,е +сок (К вЂ” орт оси х) вектор перемещения срединной плоскости пластинки. Компоненту и(х1, хз) назовем йрогибом пластинки, а и!(хь хз) — ее продольными перемещениями. Угол отклонения нормали к срединной поверхности изогнутой пластинки от оси г предполагается'малым по сравнению с единицей. Практически это означает, что прогибы малы по ':, сравнению с размерами'пластинки в плане. Согласно гипотезе прямых нормалей вектор перемещения :, произвольной точки пластинки можно определить равенством и'=и+ со Хх(с, (3.112) где е(х!,хз) аае„— вектор малого поворота нормалей к сре-' ;,-.дннной плоскости. Первое слагаемое в правой части последнего ."' равенства есть перемещение оснований нормалей х О, а второе — перемещение ее точек, обусловленное малым вращением.
Дифференцируя по х~ и по х радиус-вектор точек деформированной пластинки К = х,е, + г11+ н + гор Х (с, получаем векторы й! е!+ — +х — Хй, й, 1с+озХ11 да де дх! дх! )р ' 171 касательные к материальным координатным к~ и я — линиям. По гипотезе прямых нормалей й, должен быть перпендикулярен векторам 1(и Вычисляя скалярные произведения й, 11~ и пренебрегая в них малыми нелинейными членами, находим В, ° К, в, ° (еХк)+ — — О.
дх~ Откуда получаем ыХк= — — е. д дха Подставляя это выражение в (3.! 12), будем иметь = (и, — г — ) е, + пЯс. (3.113) Таким образом, перемещения в пластинке ойределяются перемещениями ее срединной плоскости. Компоненты плоского тензора деформации е„определим по формуле (2,69), переписав ее здесь в виде ди* диа диа диа диа ди » дх дх дх, дх дх дх Подставляя в нее вектор перемещения (3.!13) и пренебрегая произведениями производных ди'/дх, по сравнению с их первыми степенями, будем иметь д'в е' =е — г »» дхдх ди ди дв дв 2е» вЂ” — — '+ — ~ + — —.
дх дх дх дх (3.114) д'в дх дх можно считать. компонентами второй квадратичной формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Первая формула (3.114) аналогична, таким образом, формуле (3.48) из теории изгйба стержня. г12 Итак, видим, что деформация пластинки состоит из двух частей. Первая, однородная по толщине, кроме линейных членов, зависящих от продольных перемещений, содержит квадратичную часть, которая учитывает влияние прогибов на деформацию средйнной плоскости пластинки. Эта часть деформации аналогична формуле удлинения оси стержня при слабом изгибе (З.бб).
Вторая часть деформации, лрнейно-изменяющаяся по толщине,.есть деформация чистого изгиба пластинки. С принятой при слабом изгибе точностью величины ЗхМ» о» -хь-+ — „, ~! Непосредственно видно, чтб ь Т»=1 о -ь М» —— ~ го»йх. ", Тн называется тензором продольных усилий, а М» — гензором „'мдменгое. В плоском сечении пластинки х~ = сопи( (хх = сопз1) / т„ ц Ряс. зо , действуют нормальное усилие Ти (Ты), касательное усилие ':Тм(Тм = Тм), изгибающий М»(Мы) и крутящий Мм(Мм = '« = Мы) моменты, отнесенные к единице длины срединной линии "сечения (рис. 30). Подставляя (3.114) и (3.116) в (3.11б), получаем следующие '' ФЪйсимости: 2Ейе»= (1 + я) Т» тТааб» (3.117) ',1 2ьаЕ дав я — — — =(1+ т) М» — М,аб».
3 дх~ дх~ ' Разрешая их относительно сил и моментов, будем имать 2ЬП Ф Т»=В((1 — т)е»+те б»), В дав 2„аЕ (3.118) ,, » — — — В~(! — т)-З вЂ” д— +тйгсб»~ В з х~ дх! с ' нарывается изаибной жесткостью пластинки. 113 В силу статической гипотезы Кирхгоффа (о„= О) деформа- ,"~иаир е,* связаны с напряжениями такими же формулами (3.80), тх, ';как и при плоском напряженном состоянии пластинки д Еен (1+ т) он — тоааб».
(3.116) Из них следует, что напряжения он (как и деформации) яв- ',ляются линейными функциями з и могут быть представлены -'н следующем виде: (3.116) Окончательно будем иметьуавенство дгбв ГГ дгмаа ') М, -а — а -г(х,дх, — ~~ — "бвг(х,ггх,+ ха ха дха дха дМ дав Х .).)(Ь гггг — ~м„д)г. (3124) дха а аа д„~) Во втором члене в контурном интеграле перейдем от дифференцирования по хг к дифференцированию по направлениям нормали и пае„и касательной 1=1 еа к кривой г., считая тройку векторов и,1, к правой (и Х1= к), дав дав дав — — п,— +гг —. Тогда будем иметь дав дав дав аа дх Величины вг -) (ат„гэ + .а. г — и.„+) г,— дбв г дгаа д0а — )М„г д, ггз — ))~ д„' биа+ д,' бв)йх,дх„(3.!25) где для краткости введены обозначения дв " дМаг Ог й/г+ Тг —, 57г = а дха ' дха (3.126) Контурные интегралы в (3.!25) дают выражение работы сил и моментов на крае пластинки на возможных перемещениях биь бв н поворотах нормали' — дбв/дп, дбв/дз. Отсюда, в частности, видим, что 17а пЯ является силой, направленнОй по оси х, приложенной к сечению пластинки с нормалью и.
В сечении пластинки, перпендикулярном оси хь действует вертикальная сила ф, отнесенная к единице длины сечения. Она слагается из переревыеаюи(ей силы Уг н суммы на ось х продольных сил Тгь Тгг, направленных по касательным к изогнутой срединной плоекости пластинки (см. рис. 32, где показаны силы в сечении хг сопз1 и углы наклона продольных сил к осям хь хг). 176 Маапапа Мпп~ Маапа~а Маг согласно закону преобразования компонент тензора являются соответственно изгибающим и крутящим моментами на контуре Ь. Складывая равенства (3.123) и (3.124) и учитывая последние три соотношения, вместо (3.122) будем иметь следующее выражение для вариации упругой энергии пластинки: Чаг 'Перерезывающие силы в пластинке аналогичны перерезы;":" вающим силам, возникающим при изгибе стержня (см. уравне::н нне моментов в стержне (3.50)), и направлены перпендикугз лярно к изогнутой срединной поверхности.
В пределах точности ,",,теории изгиба при малых поворотах они не отличаются от своих , проекций на ось з. Обратим теперь внимание на то обстоятельство, что из ука;;::; ванных выше перемещений и поворотов на крае пластинки биг, биг, бв, — бдв/дп и дбв/дз лишь первые четыре являются независимыми и могут 7гг быть взяты за обобщенные перемещения боковой по- ги ' верхности пластинки.
Пово.г' рот же образующей этой дв поверхности дбв/дз вокруг дхг нормали п полностью опре- ггг йв деляется заданием прогиба дх, .бв на Ь как функции з. хг Ввиду этого необходимо Рис 32, преобразовать последний контурный интеграл в формуле (3.125). С этой целью рассмотрим его на части границы з' < з < з", предполагая, что внутри указанного промежутка изменения з крутящий момент Мм(з) непрерывен. Интегрируя по частям, имеем + М„г(з'+ О) бв(з') — М„г(з" — О) бв(з"), . (3.127) где М,г(з'+ О) и М г(з" — О) — правый и левый пределы Мм в точках з' и з" (прогиб по смыслу должен быть непрерывной функцией з).
Из последнею равенства следует, что работу моментов — М„ги на ново)готе вокруг нормали дбв/дз можнЬ представить как работу нормальных к срединной поверхности сил, распределенных вдоль участка з'<з < з" линии Е с линейной плотностью дМ,г/дз, и сил Маг(з'+ О) и — Маг(з" — О), приложенных к концам этого участка.
Равенство (3.127) справедливо для любых возможных прогибов края пластинки. Согласно принципу возможных перемещений из равенства работы двух систем сил, приложенных к какой-либо механической системе, на любых ее возможных перемещениях, можно сделать заключение о статической эквивалентности этих двух систем сил. Таким образом, на любом (сколь угодно малом) участке з'< з < з" кривой Е непрерывно распределенные моменты — М„ги статически эквивалентны силам 177 дМы/де», распределенным вдоль этого участка, н силам Мяо(з'+ О)» и — Мы(з" — О)». приложенным к его концам.
Разобьем контур Ь на достаточно малые участки так, чтобы внутри каждого из них крутящий момент'Мы(з) был непрерывен. Заменим йа каждом участке моменты — Мып указанными статически эквивалентными им системами снл. Последнее равносильно замене этими силами касательных напряжений и о(з,г), Так как толщина пластинки мала, а разбиение контура С может быть взято достаточно мелким, то по принципу Сен-Венана такая замена может изменить напряженное состояние лишь вблизи края пластинки и не окажет существенного влияния на распределение напряжений на некотором расстоянии от него.
Выбрав два таких соседних участка кривой Е с общей граничной точкой з' и заменив на них моменты — Мып статически эквивалентными системами сил, установим, что в самой точке е' будут приложены силы — Мы(зу — 0)» и Мы(з'+,О)». В случае непрерывности крутящего момента Мы(в) в точке з' сумма этих сил будет равна нулю. Если же в' — точка разрыва момента Мы (в), то в ней будет приложена сосредоточенная сила М„, )*,,+~» =М„, (з'+ 0)» — М„, (з' — 0)'», равная скачку крутя'щего момента при переходе через эту точку. Деля контур Е на участки точками разрыва Мы(з) и суммируя интегралы вида- (3.127) по всем этим участкам, согласно сказанному будем иметь ~ Мы д дз ~ д Ьвиз+ ~~~ Мло 1я — о бв(зо)1 (3,128) с 'о где во — точки разрыва Мы(в) на Е.
Это выражение должно быть подставлено в равенство (Э.125), что приводит к добавлению к вертикальной силе Я, дополнительной силы дМы/дз и сосредоточенных снл, приложенных в точках разрыва крутящего момента. При непрерывности вторых производных от прогиба пластинки, а значит и тензора моментов (3.118), точками разрыва крутящего момента Мы = М апога являются угловые точки контура, при переходе через которые нормаль п(з) претерпевает скачок. Перейдем теперь к составлению выражения работы внешних сил, приложенных к пластинке, Она состоит из двух частей: ЬА = ЬА~ + ЬАь Первая есть работа массовых сил и сил, приложенных к основаниям пластинки г = ~й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
